7.1 Føringsstandarden: slik skriver du en A-besvarelse

Garantien for at en kontinuerlig funksjon ikke kan hoppe over en verdi. Navngis i alle «vis at det finnes en løsning»-oppgaver (sjanger I). Setning: er $f$ kontinuerlig på $[a,b]$ og $y$ ligger mellom $f(a)$ og $f(b)$, finnes $c\in(a,b)$ med $f(c)=y$. Føringskrav: nevn kontinuitet, vis fortegnsskifte, navngi setningen.

Spesialtilfellet av MVT der endepunktene har samme verdi: er $f$ kontinuerlig på $[a,b]$, deriverbar på $(a,b)$ og $f(a)=f(b)$, finnes $c\in(a,b)$ med $f'(c)=0$. Motoren i hjelpefunksjonsbevis. Føringskrav: sjekk begge forutsetningene før du bruker den.

Setningen om at en sekant er parallell med en tangent et sted: er $f$ kontinuerlig på $[a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$, finnes $c\in(a,b)$ med $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Brukes også som ulikhetsmaskin $|f(b)-f(a)|\le K|b-a|$.

Verktøyet for grenser der en funksjon klemmes mellom to andre. Er $g(x)\le f(x)\le h(x)$ nær $a$ og $\lim g=\lim h=L$, så er $\lim f=L$. I sjanger H uttales begrensetheten ($|\sin|\le 1$/$|\cos|\le 1$) før klemma settes opp — sensor krever det eksplisitt.

Garantien for at maksimum og minimum faktisk finnes: en funksjon som er kontinuerlig på et lukket og begrenset intervall $[a,b]$, antar både største og minste verdi der. Brukes til å begrunne globalt ekstremum i optimering — forutsetningen om lukket intervall må nevnes.

Broen mellom derivasjon og integrasjon. Del 1: $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$ for kontinuerlig $f$. Del 2: $\int_a^b f=F(b)-F(a)$ når $F'=f$. Navngis når du deriverer et integral (sjanger J).

Når den øvre grensen i et integral selv er en funksjon $g(x)$, må FTC ganges med den indre deriverte: $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt=f(g(x))\cdot g'(x)$. Å glemme faktoren $g'(x)$ er en dokumentert felle.

For en grense på ubestemt form $[0/0]$ eller $[\infty/\infty]$: $\displaystyle \lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ når høyresiden finnes. Føringskrav: marker den ubestemte formen $[0/0]$ før hver anvendelse; regelen gjelder ikke for ikke-ubestemte uttrykk.

Avgjør konvergens ved å klemme mot et kjent integral/rekke: er $0\le f\le g$ og $\int g$ konvergerer, konvergerer $\int f$; er $f\ge g\ge 0$ og $\int g$ divergerer, divergerer $\int f$. Sammenligningsintegralet navngis som konvergent/divergent $p$-integral.

Alternativ til direkte sammenligning: hvis $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L$ med $0<L<\infty$, har $\int f$ og $\int g$ samme oppførsel (begge konvergerer eller begge divergerer). Ofte enklere når ulikhetene i direkte sammenligning er vanskelige å sette opp.

Referanseintegralene alt sammenlignes med. $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ konvergerer $\Leftrightarrow p>1$; $\int_0^1 x^{-p}\,dx$ konvergerer $\Leftrightarrow p<1$. Legg merke til at både grensen ($1$) og retningen på ulikheten byttes mellom de to — en klassisk forvekslingsfelle.

Rekkeversjonen: $\sum_{n=1}^\infty n^{-p}$ konvergerer $\Leftrightarrow p>1$. Harmonisk rekke ($p=1$) divergerer. Brukes som referanse i sammenligningstester for rekker (Del 6-stoff, tynt arkivbelagt).

For et polynom med reelle koeffisienter: er $z_0$ en rot, er også $\bar{z_0}$ en rot. Konjugatparet multipliseres til den reelle kvadratiske faktoren $(z-z_0)(z-\bar{z_0})=z^2-2\,\mathrm{Re}(z_0)z+|z_0|^2$. Gjelder ikke for polynomer med komplekse koeffisienter.

Et polynom av grad $n\ge 1$ har nøyaktig $n$ komplekse røtter regnet med multiplisitet. Brukes til å vite hvor mange røtter du leter etter, og til å vite at faktoriseringen er komplett når gradtallene stemmer.

Regnereglen for potenser i polarform: $(re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}$, altså $r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$. Oppskrift for høye potenser: polarform, gang vinkelen, reduser mod $2\pi$, tilbake til kartesisk. Samme formel gir $n$-te røtter baklengs.

Arbeidsformen for følgekonvergens: en monoton og begrenset følge konvergerer. For en voksende følge som er oppad begrenset finnes grensen (og er $\le$ enhver øvre skranke). I fikspunktoppgaver: vis monotoni og begrensethet før du regner grensen fra $L=g(L)$.

Kriteriet for at en kvadratisk matrise $M$ har en invers: $M$ er inverterbar hvis og bare hvis $\det M\ne 0$. Føringskrav i sjanger B/C: regn determinanten synlig og konkluder — $\det M=0$ betyr singulær (ingen invers).

Snarvei én vei: er $f$ kontinuerlig i $a$ og $\lim_{x\to a}f'(x)=b$ finnes, så er $f$ deriverbar i $a$ med $f'(a)=b$. Aldri baklengs: at grensen ikke finnes betyr ikke at $f$ er ikke-deriverbar — da må differansekvotienten brukes.

Implikasjonen som går én vei: er $f$ deriverbar i $a$, er $f$ kontinuerlig i $a$. Den kan ikke snus — $|x|$ er kontinuerlig, men ikke deriverbar i $0$. Nyttig som første steg: er $f$ ikke kontinuerlig, er den heller ikke deriverbar.

Bokas viktigste føringsregel: «svar som ikke er begrunnet, får 0 poeng selv om de er riktige» (ordrett instruks 2012–2016, videreført siden). Poeng gis for resonnementet, ikke for tallet. Et riktig sluttsvar uten mellomregning er verdt like mye som blankt.

Føringsstandarden for substitusjon i integraler: sett opp $u$, $du/dx$ og $dx$ i en egen boks, og bytt grensene ved bestemte integraler ($x$-grenser → $u$-grenser). Uten boksen og de nye grensene er substitusjonen ikke dokumentert.

Huskeregelen for hvilken faktor som blir $u$ i $\int u\,v'=uv-\int v\,u'$: Logaritme, Inverse trig, Algebra (polynom), Trigonometri, Eksponential — velg $u$ tidligst i rekka. Føringskrav: skriv hvilken faktor som er $u$ og hvilken som er $v'$.

Et uegentlig integral må skrives som en grense: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (og tilsvarende ved en singularitet). Aldri «sett inn $\infty$» som om det var et tall — regn det endelige integralet først, så ta grensen.

Føringen som bærer drøfting (sjanger K): en tegnet/beskrevet fortegnslinje for $f'$ (monotoni) eller $f''$ (konveksitet) som viser hvor uttrykket er positivt/negativt. En konklusjon om voksende/avtakende uten fortegnsskjema er et føringstrekk.

Den verbale setningen som avslutter hvert delpunkt og svarer direkte på spørsmålet («Altså er $f$ deriverbar i $0$ med $f'(0)=0$»), fulgt av markert sluttsvar. Uten den er delpunktet halvferdig, uansett hvor riktig regningen er.

Retten — gitt i eksamensinstruksen — til å bruke resultater fra tidligere delpunkter selv om de står ubesvart. Skriv «antar fra (a) at …» og bruk det videre; da vurderes senere delpunkter selvstendig og gir full uttelling.

Kravet om å skrive ulikheten $|\sin(\cdot)|\le 1$ (eller $|\cos(\cdot)|\le 1$) eksplisitt før du klemmer en oscillerende funksjon. Det er begrensetheten som gir klemmerammen $-|x|^k\le x^k\,\mathrm{trig}\le|x|^k$ — hoppes den over, mangler selve argumentet.

Føringskravet om å skrive den ubestemte formen $[0/0]$ eller $[\infty/\infty]$ eksplisitt før hver L'Hôpital-anvendelse (gjentatt bruk = ny markering). Uten markeringen er det ikke vist at regelens forutsetning er oppfylt.

Verktøyet deriverbarhet i et punkt må vises med: $f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Å derivere uttrykket og sette inn er ikke gyldig bevis der definisjonen etterspørres (skjøtepunkter, oscillasjonsfamilien) — emnets mest dokumenterte felle.

Kravet om at et konstruert eksempel må følges av en sjekk krav-for-krav. «Angi en følge som er begrenset, men ikke konvergent» er ikke besvart før du har verifisert begge egenskapene for ditt eksempel. Eksempel uten verifikasjon = halvt svar.