1.2 Newtons lover og frilegemediagrammet

En påvirkning som kan endre farten eller retningen til et legeme, eller deformere det. Kraft er en vektor: den har både størrelse og retning, og to krefter på samme legeme legges sammen som vektorer, ikke som tall. Enheten er newton (N), og $1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$ — akkurat den kraften som gir 1 kg massen akselerasjonen 1 $\text{m/s}^2$.

Krefter deles i to typer: kontaktkrefter, som krever berøring (normalkraft, snordrag, friksjon, luftmotstand), og fjernkrefter, som virker på avstand (tyngden, og senere elektriske og magnetiske krefter). Alle krefter i et frilegemediagram skal kunne knyttes til noe konkret som virker på legemet — er du i tvil om hva som lager kraften, er den sannsynligvis ikke der.

I praksis regner vi resultanten komponentvis: velg to vinkelrette akser, summer alle kraftkomposantene langs $x$, og alle langs $y$:

$$\Sigma F_x = F_{1x} + F_{2x} + \dots, \qquad \Sigma F_y = F_{1y} + F_{2y} + \dots$$

Da blir vektorregning til to vanlige regnestykker med fortegn.

$$\Sigma F = 0 \iff \text{farten er konstant (også null)}.$$

Loven brukes baklengs på eksamen, og det er det som er poenget: står det «beveger seg med konstant fart» eller «henger i ro», vet du umiddelbart at kreftene balanserer, og du får ligninger uten å kjenne akselerasjonen. Legg merke til at konstant fart ikke krever noen kraft — det er en av de mest utbredte hverdagsmisforståelsene i fysikk. En bil trenger motorkraft i marsjfart bare fordi luftmotstand og rullemotstand må oppveies.

Egenskapen ved et legeme som gjør at det motsetter seg fartsendring. Massen $m$ er målet på tregheten: dobbelt så stor masse gir halvparten så stor akselerasjon av samme kraft. Treghet forklarer hverdagsopplevelser som at du kastes forover i bilen når den bremser — kroppen din fortsetter i den farten den hadde, helt til beltet leverer kraften som bremser deg. Treghet er ikke en kraft og skal aldri tegnes som en pil i et frilegemediagram.

$$\Sigma F_x = 0 \quad \text{og} \quad \Sigma F_y = 0.$$

Nesten alle «finn kraften»-oppgaver i faget løses ved å sette opp disse to. For utstrakte legemer som kan rotere (stiger, planker, kraner) kommer et tredje krav i tillegg — momentbalansen $\Sigma M = 0$ i kap. 1.5.

$$\Sigma F = ma.$$

Akselerasjonen peker samme vei som resultantkraften. Loven brukes komponentvis, én ligning for hver akse:

$$\Sigma F_x = ma_x, \qquad \Sigma F_y = ma_y.$$

Dette er den mest brukte ligningen i faget, og den binder sammen de to halvdelene av mekanikken: kreftene gir deg $a$, og $a$ settes inn i bevegelsesligningene fra kap. 1.1 for å finne fart og strekning. Merk at $ma$ står på høyre side: det er resultatet av kreftene, ikke en kraft i seg selv.

$$G = mg,$$

der $m$ er massen i kilogram og $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ er tyngdeakselerasjonen (hentes fra formelarket). Tyngden måles i newton. En person med masse 70 kg har tyngden $G = 70\ \text{kg} \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 = 687\ \text{N}$.

Notasjonen er viktig i dette faget: $G$ betyr tyngden (en kraft), aldri gravitasjonskonstanten. Gravitasjonskonstanten skriver vi $\gamma$ (kap. 1.4). Blander du de to, blir både formler og enheter uforståelige for den som retter.

Dagligtalen bruker «vekt» om begge deler, og det er kilden til mange feil. I fysikk: sier oppgaven «en kloss på 12 kg», er 12 kg massen, og tyngden er noe du må regne ut. Sier den «en kraft på 12 N», er det allerede en kraft.

En figur der ett legeme er tegnet for seg selv (isolert fra omgivelsene), med alle kreftene som virker på det tegnet inn som piler. Rutinen har fem trinn:

1. Isoler legemet. Tegn det som en enkel firkant eller et punkt. Alt annet — gulv, snor, hånd — forsvinner og erstattes av kreftene de utøver.
2. Tegn alle kreftene med riktig retning, og navngi dem med bokas symboler: $G$ (tyngden), $N$ (normalkraft), $R$ (friksjon), $S$ (snordrag).
3. Velg akser. Legg gjerne $x$ langs bevegelsen.
4. Dekomponer de skrå kreftene langs aksene.
5. Sett opp $\Sigma F = ma$ for hver akse.

Bare krefter som virker på legemet skal med. Kreftene legemet utøver på andre hører hjemme i deres diagrammer. Og aldri tegn $ma$ som en pil: det er resultatet av kreftene, ikke en av dem.

Kraften et underlag presser vinkelrett («normalt») ut på et legeme som ligger inntil det. Den er alltid rettet bort fra flaten, og størrelsen er ikke gitt på forhånd — den innstiller seg akkurat slik at legemet ikke synker gjennom underlaget, og finnes derfor fra kraftligningen loddrett på flaten.

På et vannrett gulv uten andre loddrette krefter blir $N = mg$. Men det er et resultat, ikke en definisjon: drar du samtidig oppover i en skrå snor, blir $N$ mindre, og på et skråplan blir $N = mg\cos\theta$ (kap. 1.3). Å skrive $N = mg$ på autopilot er en av de hyppigste feilene i faget.

Kraften en stram snor, tau eller kjetting trekker med, alltid rettet langs snoren og bort fra legemet — en snor kan dra, aldri dytte. I dette faget regner vi snorer som ideelle: masseløse og uten strekk. Konsekvensen er viktig: snordraget er da like stort i begge ender, og går snoren over en friksjonsfri trinse, endrer trinsa bare retningen på kraften, ikke størrelsen.

Symbolet $S$ er bokas notasjon. Møter du $T$ (for «tension») i andre bøker, er det samme størrelse — men bruk $S$ her, og definer symbolet i besvarelsen din uansett hva du velger.

Kraften fra underlaget langs flaten, som motsetter seg at legemet glir. Den peker alltid motsatt av bevegelsen (eller motsatt av den bevegelsen som er i ferd med å starte). I dette kapitlet trenger du bare å vite at den er der, at den heter $R$, og at den skal tegnes langs flaten i frilegemediagrammet. Sammenhengen $R = \mu N$ og hele skråplan-behandlingen kommer i kap. 1.3.

Merk symbolkollisjonen: $R$ er friksjonskraft i mekanikken, men resistans i kretskapitlene i Del 5. De opptrer aldri i samme oppgave, men symbollisten i hvert delkapittel sier hvilken betydning som gjelder.

$$F_x = F\cos\theta, \qquad F_y = F\sin\theta.$$

Regelen for godt aksevalg: legg den ene aksen langs bevegelsesretningen. Da blir akselerasjonen null langs den andre aksen, og den ligningen gir deg gratis den ukjente normalkraften eller snordraget. På et skråplan legger vi derfor aksene langs og normalt på planet, ikke vannrett og loddrett.

Vær nøye med hvilken funksjon som hører til hvilken komposant: det er vinkelen din som avgjør om det blir $\sin$ eller $\cos$. Tegn trekanten, ikke puggede regler.

$$F_{A \to B} = -F_{B \to A}.$$

De to kreftene i et slikt par er alltid av samme type (begge er kontaktkrefter, eller begge er tyngdekrefter), de virker samtidig, og — dette er nøkkelen — de virker på to forskjellige legemer. Derfor kan de aldri oppheve hverandre i ett og samme frilegemediagram.

Et eksempel: du står på gulvet. Gulvet dytter opp på deg med normalkraften $N$; du dytter ned på gulvet med en like stor kraft. Den siste tegner du ikke i ditt eget frilegemediagram — den virker på gulvet.

Et par krefter som hører sammen etter 3. lov. Fella som gir trekk hvert år: å tro at normalkraften $N$ og tyngden $G$ på et legeme som ligger i ro er et kraftpar etter 3. lov. Det er de ikke, av to grunner:

- de virker på samme legeme (klossen), mens 3. lovs par alltid virker på hver sitt;
- de er av ulik type ($G$ er en fjernkraft fra jorda, $N$ er en kontaktkraft fra bordet).

At de tilfeldigvis er like store, følger av Newtons 1. lov ($\Sigma F = 0$), ikke av den 3. Sjekken er enkel: de riktige partnerne er «klossen trykker på bordet» (partner til $N$) og «klossen trekker jorda opp» (partner til $G$).

$$\Sigma F = N - G = ma \ \Rightarrow\ N = m(g + a).$$

Her er $a$ positiv når akselerasjonen peker oppover og negativ når den peker nedover — uansett hvilken vei heisen beveger seg. Kortformen $N = m(g \pm a)$ dekker begge, men skriv alltid ut fortegnsresonnementet.

Fire tilfeller: heisen setter i gang oppover eller bremser på vei ned ⇒ $a$ oppover ⇒ vekta viser mer. Heisen setter i gang nedover eller bremser på vei opp ⇒ $a$ nedover ⇒ vekta viser mindre.

$$N = m(g - g) = 0,$$

og vekta viser null. Legg merke til hva som ikke har skjedd: tyngden er den samme som før — jorda trekker fortsatt i deg med $mg$. Det som er borte, er kontaktkraften fra underlaget. Derfor er «vektløshet» i romfart et misvisende ord: astronauter i bane er ikke utenfor jordas gravitasjon, de er i kontinuerlig fritt fall rundt den (kap. 1.4).

Et oppsett der to legemer er koblet med en stram snor, typisk over en trinse. Fordi snoren er uten strekk, har de samme fart og samme akselerasjon til enhver tid (bare i hver sin retning), og fordi snoren er masseløs og trinsa friksjonsfri, er snordraget $S$ det samme i begge ender.

To fremgangsmåter, begge godtatt:

- Per legeme: sett opp $\Sigma F = ma$ for hvert legeme for seg, med $S$ som ukjent i begge. To ligninger, to ukjente ($a$ og $S$).
- Systemligningen: se de to som ett legeme med samlet masse. Da er snordraget en indre kraft som faller ut, og bare de ytre kreftene står igjen. Dette gir $a$ raskt — men du må tilbake til ett av legemene for å finne $S$.

Bruk systemligningen når bare akselerasjonen er spurt om, og regn per legeme når snordraget skal frem.

Deler du et sammensatt system inn i «systemet» og «omgivelsene», er indre krefter de som virker mellom delene av systemet (snordraget mellom to klosser, kraften mellom hest og vogn), mens ytre krefter kommer utenfra (tyngde, friksjon fra bakken, normalkraft).

Indre krefter opptrer alltid i par etter 3. lov og summerer seg derfor til null for systemet som helhet. Konsekvens: et system kan aldri akselerere seg selv med indre krefter. Dette er grunnen til at systemligningen virker, og det er hele forklaringen på hest–vogn-paradokset.

Kraften fra lufta på et legeme som beveger seg gjennom den, alltid rettet motsatt av farten. Den vokser med farten — for de fartene faget behandler, omtrent som kvadratet av farten — og den avhenger av tverrsnittet og formen til legemet.

Konsekvensen for oppgaver: så snart luftmotstanden er med, er akselerasjonen ikke konstant, og bevegelsesligningene fra kap. 1.1 er ugyldige i den fasen. Det du derimot alltid kan si, er hva som skjer til slutt: farten vokser til luftmotstanden er blitt like stor som tyngden, og da er $\Sigma F = 0$ og farten konstant — terminalfarten. Deloppgaver som ber deg «forklare hvorfor fallskjermhopperen får konstant fart», besvares med akkurat denne kraftbalansen.

$$1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2.$$

Definisjonen er ren Newtons 2. lov: én newton er den kraften som gir massen 1 kg akselerasjonen 1 $\text{m/s}^2$. Å kunne skrive newton om til grunnenheter er nyttig når du vil enhetssjekke en utregning: kommer det ut $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$ der du forventet en kraft, er du på rett vei. Til sammenligning veier en liten eplebit rundt 1 N, og en voksen person har en tyngde på 600–900 N.

Avgjørelsen om hvilket legeme (eller hvilken gruppe legemer) du isolerer i frilegemediagrammet. Valget er fritt, men det avgjør hvor mye arbeid du får: isolerer du bare det ene loddet, får du med snordraget som ukjent; tar du begge som ett system, faller snordraget ut fordi det blir en indre kraft.

Regelen: spør hva oppgaven vil ha. Skal du finne akselerasjonen, ta hele systemet. Skal du finne en indre kraft (snordrag, kontaktkraft mellom to klosser), må du isolere ett av legemene. Skriv alltid hvilket system du har valgt — det er en del av begrunnelsen.

Modellantakelsene som gjør trinseoppgaver løsbare: snoren har ingen masse og strekker seg ikke, og trinsa har ingen friksjon og ingen treghet. Konsekvensene er de to du bruker i regningen — samme snordrag i begge ender og samme fart og akselerasjon for begge legemene.

Antakelsene er idealiseringer. En tung snor ville hatt ulikt drag øverst og nederst (den må jo bære sin egen tyngde), og en trinse med friksjon ville «spist» av kraften. På eksamen er antakelsene enten oppgitt eller underforstått — men nevner du dem i én setning, viser du nettopp den typen gyldighetsbevissthet som skiller toppbesvarelsene.

Kraften fra en sammentrykt eller strukket fjær, rettet slik at den vil føre fjæra tilbake til naturlig lengde. For små utslag er den proporsjonal med utslaget: $F = kx$, der $k$ er fjærkonstanten (enhet N/m) og $x$ er utslaget fra naturlig lengde. Fjærkraften er altså ikke konstant — den vokser med utslaget — og derfor gjelder ikke bevegelsesligningene for konstant akselerasjon på en fjærbevegelse. I dette faget trenger du fjæra først og fremst som energilager i kap. 2.1; som kraft dukker den opp i kraftbalanser (en badevekt er i praksis en fjær).