1.3 Friksjon, skråplan og bremsing

$$R = \mu N,$$

der $N$ er normalkraften mellom flatene og $\mu$ er friksjonstallet. Retningen er alltid motsatt av bevegelsen.

Legg merke til hva formelen ikke inneholder: kontaktflatens størrelse og legemets fart. En bred kloss og en smal kloss av samme masse har samme friksjonskraft mot samme underlag. Legg også merke til at $R$ avhenger av $N$, ikke direkte av $mg$ — og på skråplan er de to forskjellige.

$$\mu = \frac{R}{N}.$$

Fordi både $R$ og $N$ måles i newton, har $\mu$ ingen enhet. Typiske verdier: stål mot stål med olje rundt 0,05; tre mot tre rundt 0,4; gummi mot tørr asfalt 0,7–0,9; ski mot snø 0,05–0,1. Verdiene hentes fra tabell eller oppgis i oppgaven — de skal ikke pugges.

Friksjonstallet hører til paret av flater, ikke til det ene legemet. «Friksjonstallet til gummi» er en meningsløs opplysning; «friksjonstallet mellom gummi og våt asfalt» er meningsfullt.

$$R \le R_{\text{maks}} = \mu_s N.$$

Dytter du på et tungt skap med 100 N uten at det flytter seg, er hvilefriksjonen nøyaktig 100 N. Dytter du med 200 N og det fortsatt står, er den 200 N. Først når du overstiger $R_{\text{maks}}$, løsner skapet.

Konsekvensen for oppgaveløsning: i statiske oppgaver regner du aldri $R = \mu N$ først — du finner $R$ fra kraftbalansen, og bruker $\mu N$ bare som grensesjekk.

Friksjonen når legemet faktisk glir, $R = \mu N$ med glidefriksjonstallet $\mu$. Den er i praksis konstant, uavhengig av farten, og litt mindre enn den maksimale hvilefriksjonen ($\mu < \mu_s$).

At $\mu_s > \mu$ er hele forklaringen på to hverdagsfenomener: det er tyngre å få et skap i gang enn å holde det i bevegelse, og en bil bremser kortere når dekkene ruller på grensen av å slippe enn når de er låst og skrenser. Det siste er grunnen til at blokkeringsfrie bremser (ABS) virker: de holder dekket i hvilefriksjonsområdet i stedet for å låse hjulet.

I FYS1001-oppgaver oppgis oftest bare ett friksjonstall, og da bruker du det både i statiske og glidende tilfeller — men si i så fall at du gjør det.

$$\Sigma F_x = -R = -\mu N = -\mu mg = ma \ \Rightarrow\ a = -\mu g.$$

Massen faller ut. Retardasjonen ved bremsing avhenger ikke av massen — bare av friksjonstallet og $g$. En lastebil og en personbil med samme dekk og samme underlag har i prinsippet samme bremselengde.

Dette er et yndet kvalitativt spørsmål, og svaret krever nettopp utregningen over: massen står i både kraften ($\mu mg$) og tregheten ($ma$), og forkortes bort.

$$s = \frac{v_0^2}{2\mu g}.$$

Formelen inneholder alt det viktige: bremselengden vokser med kvadratet av farten, og den er omvendt proporsjonal med friksjonstallet. Halveres $\mu$ (våt asfalt i stedet for tørr), dobles bremselengden. Denne formelen brukes også baklengs — fra målt bremsespor tilbake til farten før bremsingen — og det er nettopp den regningen «havarikommisjon»-oppgavene bygger på (kap. 2.4).

På et skråplan velger vi aksene langs planet og normalt på planet — aldri vannrett og loddrett. Grunnen er at bevegelsen skjer langs planet, så akselerasjonen normalt på planet er null, og den ligningen gir deg normalkraften gratis.

Prisen er at tyngden, som peker rett ned, må dekomponeres i de nye retningene. Det er hele regnearbeidet i et skråplanproblem — og det gjøres én gang for alle i de to neste definisjonene.

$$N = mg\cos\theta.$$

Normalkraften er altså mindre enn tyngden, og desto mindre jo brattere planet er. Ved $\theta = 0$ (vannrett) blir $N = mg$, og ved $\theta = 90^\circ$ (loddrett vegg) blir $N = 0$ — legemet berører ikke lenger underlaget.

Konsekvensen for friksjonen er viktig: $R = \mu N = \mu mg\cos\theta$, ikke $\mu mg$. Å skrive $N = mg$ på skråplan er den hyppigst påpekte feilen i denne sjangeren.

$$G_{\parallel} = mg\sin\theta.$$

Dette er kraften som driver legemet nedover skråplanet. Sammen med friksjonen langs planet bestemmer den bevegelsen.

Sjekk alltid komposantene mot ytterpunktene: ved $\theta = 0$ er $mg\sin\theta = 0$ (ingen drivkraft på flat mark), og ved $\theta = 90^\circ$ er $mg\sin 90^\circ = mg$ (fritt fall langs en loddrett vegg). Blander du $\sin$ og $\cos$, faller du på denne testen umiddelbart — det er den raskeste selvkontrollen du har.

$$mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta = ma \ \Rightarrow\ a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta).$$

For et legeme som er i bevegelse oppover (friksjonen peker nedover langs planet, sammen med tyngdekomposanten), med positiv retning oppover:

$$-mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta = ma \ \Rightarrow\ a = -g(\sin\theta + \mu\cos\theta).$$

Massen faller ut i begge tilfeller. Legg merke til fortegnet i parentesen: minus når legemet går ned, pluss når det går opp — fordi friksjonen alltid virker mot bevegelsen. Det er derfor du må tegne et nytt frilegemediagram når bevegelsesretningen snur.

$$mg\sin\theta \le \mu_s\, mg\cos\theta.$$

Massen forkortes bort, og siden $\sin\theta/\cos\theta = \tan\theta$, blir vilkåret rent geometrisk:

$$\boxed{\tan\theta \le \mu_s \ \Rightarrow\ \text{legemet blir liggende.}}$$

Dette er et av de vakreste resultatene i mekanikken: om noe sklir, avhenger bare av hellingen og friksjonstallet — ikke av massen. Et tungt og et lett legeme av samme materiale sklir ved nøyaktig samme vinkel.

Vinkelen der det så vidt begynner å skli, $\theta_{\max} = \arctan\mu_s$, kalles friksjonsvinkelen, og den brukes til å måle friksjonstall: vipp planet til legemet løsner, og les av vinkelen.

Uten friksjon kommer du ingen vei: det er nøyaktig opplevelsen av å prøve å gå på blank is. Den øvre grensen for hvor kraftig du kan akselerere, er derfor $R_{\text{maks}} = \mu_s mg$, som gir

$$a_{\max} = \mu_s g.$$

Merk at det er hvilefriksjonen som driver et rullende hjul: kontaktpunktet mellom dekk og vei glir ikke. Begynner hjulet å spinne, går du over til glidefriksjon, som er mindre — og da får du dårligere fremdrift. Det er samme fysikk som gjør at ABS-bremser virker.

Blokkeringsfrie bremser (ABS) hindrer hjulet i å låse seg. Fysikken bak er at maksimal hvilefriksjon er større enn glidefriksjon, $\mu_s > \mu$:

- Låst hjul: dekket skrenser over asfalten, og bremsekraften er glidefriksjonen $\mu mg$.
- Rullende hjul på grensen: kontaktpunktet glir ikke, og bremsekraften kan være opp mot $\mu_s mg$, altså større.

I tillegg gir et rullende hjul deg styring, mens et låst hjul bare følger med dit bilen alt beveger seg. Dette er en klassisk kvalitativ deloppgave, og et fullgodt svar nevner begge delene: større bremsekraft og beholdt styring.

For en kloss $m_1$ på vannrett bord, koblet over en trinse til et hengende lodd $m_2$:

$$\text{klossen:}\quad S - \mu m_1 g = m_1 a, \qquad \text{loddet:}\quad m_2 g - S = m_2 a.$$

Lagt sammen faller $S$ ut, og

$$a = \frac{(m_2 - \mu m_1)g}{m_1 + m_2}.$$

Sjekk fortegnet før du svarer: blir telleren negativ, betyr det at loddets tyngde ikke greier å overvinne friksjonen, og systemet står stille — akselerasjonen er null, ikke negativ. En «vis at»-oppgave som ikke holder ubetinget, skal ha betingelsen skrevet ut: uttrykket over gjelder når $m_2 > \mu m_1$.

Vinkelen $\theta_{\max} = \arctan\mu_s$ der et legeme så vidt begynner å skli på et skråplan. Den er en praktisk måte å måle friksjonstall: legg gjenstanden på et plan, vipp langsomt, og les av vinkelen i det den løsner. Da er $\mu_s = \tan\theta_{\max}$.

Fordi vilkåret er uavhengig av massen, virker metoden like godt med en mynt som med en murstein — så lenge materialene er de samme. Typiske friksjonsvinkler: ski mot snø 3–6°, gummi mot tørr asfalt 35–42°.

$$\text{helling i prosent} = 100 \cdot \tan\theta.$$

En stigning på 8 % svarer til $\theta = \arctan 0{,}08 = 4{,}6^\circ$. For små vinkler er $\sin\theta \approx \tan\theta$, så du kan sette $mg\sin\theta \approx 0{,}08\,mg$ uten merkbar feil — men skriv at du gjør tilnærmingen. Ved store vinkler holder den ikke: ved $30^\circ$ er $\tan\theta = 0{,}58$ mens $\sin\theta = 0{,}50$.

Motstanden et hjul møter fordi dekk og underlag deformeres når hjulet ruller — ikke det samme som glidefriksjon, siden kontaktpunktet ikke glir. Den regnes på samme form, $F = \mu_r N$, men med et mye mindre tall: for sykkeldekk på asfalt er $\mu_r$ omtrent $0{,}004$, for bildekk rundt $0{,}01$.

I FYS1001-oppgaver oppgis rullemotstand oftest rett som en kraft i newton, sammen med luftmotstanden («rullemotstand og luftmotstand er til sammen 22 N»). Da skal du bare legge den inn som en bakoverrettet kraft i frilegemediagrammet — du trenger ikke skille de to.

I en sving er det friksjonen fra veien på dekkene som leverer den kraften som endrer bevegelsesretningen. Grensen for hvor fort du kan kjøre gjennom svingen, settes derfor av friksjonstallet — og det er nettopp grunnen til at glatt vei er farligst i kurver, ikke på rettstrekninger.

Regningen for dette (og for dosert sving, der veibanen heller innover) hører til sirkelbevegelse og kommer i kap. 1.4. Poenget her er bare å ha sett at friksjonen kan endre retningen på farten, ikke bare størrelsen.