2.1 Arbeid, energi og effekt

$$W = F s \cos\theta,$$

der $\theta$ er vinkelen mellom kraftretningen og forflytningsretningen.

Er kraften rettet langs bevegelsen, er $\theta = 0^\circ$ og $\cos\theta = 1$, slik at $W = Fs$. Står kraften vinkelrett på bevegelsen, er $\theta = 90^\circ$ og $\cos\theta = 0$: kraften gjør ikke noe arbeid i det hele tatt.

Enheten for arbeid og energi er joule: $1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m} = 1\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}^2$.

Ett joule er lite: å løfte en melkekartong på 1 kg én meter opp krever knapt 10 J. Derfor møter du ofte kilojoule ($1\ \text{kJ} = 10^3$ J) og megajoule ($1\ \text{MJ} = 10^6$ J) i eksamensoppgaver. Enheten skal alltid stå på svaret — manglende enhet koster ett poeng.

Fortegnet i $W = Fs\cos\theta$ er ikke pynt — det forteller hvilken vei energien går:

- Positivt arbeid ($0^\circ \le \theta < 90^\circ$): kraften drar med bevegelsen og tilfører legemet energi.
- Negativt arbeid ($90^\circ < \theta \le 180^\circ$): kraften virker mot bevegelsen og tapper legemet for energi. Friksjon gjør alltid negativt arbeid på et legeme som glir: $\theta = 180^\circ$ gir $\cos\theta = -1$, altså $W_R = -Rs$.
- Null arbeid ($\theta = 90^\circ$): kraften står vinkelrett på forflytningen og påvirker ikke energiregnskapet.

Feil fortegn på friksjonens arbeid er en av de vanligste feilene i hele energi-blokken.

Tyngden $G = mg$ peker alltid rett ned. Derfor:

- På vannrett strekning gjør tyngden null arbeid ($\theta = 90^\circ$). Dette er et poeng som går igjen på eksamen, og det er gratis poeng når du har sett det én gang.
- Nedover gjør tyngden positivt arbeid: $W_G = +mgh$, der $h$ er høydefallet.
- Oppover gjør tyngden negativt arbeid: $W_G = -mgh$.

Legg merke til at bare høydeforskjellen teller — ikke hvor lang eller kronglete veien er.

$$E_k = \tfrac{1}{2}mv^2.$$

Legg merke til kvadratet: dobler du farten, firedobles den kinetiske energien. Det er derfor bremselengden firedobles ved dobbel fart (se kap. 1.1) — og det er en av de mest testede kvalitative innsiktene i faget.

$$W_{\text{netto}} = \Delta E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2.$$

Setningen gjelder uansett om kreftene er konstante eller ikke, og uansett om banen er rett eller krum — derfor er den kraftigere enn bevegelsesligningene fra kap. 1.1, som krever konstant akselerasjon. Vi utnytter dette for fullt i kap. 2.2.

$$E_p = mgh.$$

Størrelsen $h$ er den loddrette høyden over nullnivået — ikke lengden av veien opp dit. En kloss som dras 5,0 m opp et skråplan og ender 2,0 m høyere, har fått $E_p = mg\cdot 2{,}0\ \text{m}$.

Bare endringer i potensiell energi har fysisk betydning, så du kan legge nullnivået ($h = 0$) der du vil — vanligvis der legemet ender opp, eller ved bakken.

To krav fra løsningsforslagene: si i besvarelsen hvor du har lagt nullnivået, og behold det samme nullnivået gjennom hele regnestykket. Å bytte nullnivå midtveis er en klassisk kilde til feil svar.

$$E_f = \tfrac{1}{2}kx^2.$$

Enheten til $k$ er N/m. Også her står kvadratet sentralt: dobler du sammentrykkingen, firedobles energien. Formelen står på formelarket; du skal kunne bruke den, ikke pugge den.

$$E = E_k + E_p = \tfrac{1}{2}mv^2 + mgh.$$

Uten friksjon og luftmotstand er denne summen konstant gjennom bevegelsen. Det er energibevaringsprinsippet, og det er hovedverktøyet i kap. 2.2.

$$P = \frac{W}{t}.$$

Enheten er watt: $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$. En vanlig LED-pære bruker rundt 8 W, en vannkoker 2000 W, en syklist i motbakke kanskje 200 W.

Å blande sammen energi (joule) og effekt (watt) er en klassisk enhetsfeil som koster poeng.

$$P = \frac{W}{t} = \frac{Fs}{t} = Fv.$$

Dette er standardformelen i alle «finn motorens effekt»-oppgaver. Nøkkelen ved konstant fart: da er $\Sigma F = 0$, så drivkraften er nøyaktig like stor som summen av motkreftene (friksjon, luftmotstand og komponenten av tyngden langs bakken). Finn motkreftene først, så har du $F$.

$$\eta = \frac{\text{nyttig energi}}{\text{tilført energi}} = \frac{\text{nyttig effekt}}{\text{tilført effekt}}.$$

$\eta$ er et tall mellom 0 og 1 og oppgis oftest i prosent. Resten går tapt, som regel til varme. En elmotor kan ha $\eta \approx 0{,}9$, en bensinmotor $\eta \approx 0{,}25$.

Summen av arbeidene fra alle kreftene som virker på legemet: $W_{\text{netto}} = \sum W_i$. Det er denne summen — ikke arbeidet fra én enkelt kraft — som er lik $\Delta E_k$.

Alternativt kan du finne nettokraften først og regne $W_{\text{netto}} = F_{\text{netto}}\,s$ når nettokraften er konstant og peker langs bevegelsen. Begge veier gir samme svar.

Energi kan verken oppstå eller forsvinne, bare skifte form. I mekanikken betyr det at det som «forsvinner» av mekanisk energi når friksjonen virker, dukker opp igjen som varme.

Prinsippet er grunnlaget for hele kap. 2.2, der vi skriver det som $E_1 = E_2 + R\cdot s$.

Når friksjonen gjør negativt arbeid, blir den mekaniske energien til indre energi i materialene — molekylene beveger seg raskere, og temperaturen stiger. Energien er ikke borte, men den kan ikke uten videre hentes tilbake som mekanisk energi.

Dette er koblingen mellom mekanikken og termofysikken (Del 4).

$$1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W}\cdot 3600\ \text{s} = 3{,}6\cdot 10^{6}\ \text{J} = 3{,}6\ \text{MJ}.$$

Dukker opp i oppgaver om strømforbruk og solceller. Omregningen kan du utlede på stedet fra $W = Pt$ — den trenger ikke pugges.

En konservativ kraft (som tyngden) gjør et arbeid som bare avhenger av start- og sluttpunktet, ikke av veien mellom dem. Derfor kan vi lagre virkningen i en potensiell energi $E_p = mgh$.

En ikke-konservativ kraft (som friksjon) gjør et arbeid som avhenger av veilengden: jo lengre vei, jo mer energi tapt. Derfor får friksjonen aldri en potensiell energi, men står i regnskapet som leddet $R\cdot s$.

Sammenhengen er $E_{\text{tilført}} = E_{\text{nyttig}} + E_{\text{tapt}}$, og virkningsgraden er $\eta = E_{\text{nyttig}}/E_{\text{tilført}}$. I oppgavetekster er «motoren bruker …» tilført, mens «løfter lasten …» er nyttig.

Tre enheter som stadig forveksles:

- Joule (J) er energi og arbeid: $1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m} = 1\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}^2$.
- Newtonmeter (N·m) er samme enhet som joule når det gjelder arbeid.
- Watt (W) er effekt, altså energi per tid: $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$.

En rask kontroll: får du «joule» ut av et regnestykke der spørsmålet var «hvor stor effekt», har du glemt å dele på tiden.