2.2 Energibevaring — og når kinematikken er forbudt

$$E_1 = E_2, \qquad \text{det vil si} \qquad \tfrac12 mv_1^2 + mgh_1 = \tfrac12 mv_2^2 + mgh_2.$$

Indeks 1 er et valgt startpunkt og indeks 2 et valgt sluttpunkt. Du trenger ikke vite noe som helst om det som skjer mellom dem — heller ikke hvilken form banen har.

Fire trinn, i denne rekkefølgen:

1. Velg nullnivå for høyden, og skriv i besvarelsen hvor det ligger (som regel i det laveste punktet).
2. Velg punkt 1 og punkt 2 — der du kjenner flest størrelser.
3. Skriv ned $E_1$ og $E_2$ ledd for ledd, med både fart- og høydeledd. Ledd som er null (fordi $v = 0$ eller $h = 0$) skriver du opp og stryker, slik at sensor ser at du har vurdert dem.
4. Løs for den ukjente, og sett inn tall til slutt.

Regnskapet skal stå på papiret som en ligning før du regner. Det er der begrunnelsespoengene ligger.

På en buet friksjonsfri bane vil energimetoden gi $v = \sqrt{2gh}$. Setter du inn $a = g$ og $s = h$ i $2as = v^2$, får du tilfeldigvis det samme tallet — men resonnementet er galt, for legemet faller ikke fritt og akselerasjonen er ikke $g$ langs banen.

Løsningsforslagene er tydelige på at et riktig tall fra et ugyldig resonnement ikke gir poeng. Sagt på en annen måte: i dette faget er metodevalget en del av svaret, ikke bare et middel til å komme fram til det.

$$E_1 = E_2 + R\cdot s.$$

I ord: energien du startet med, er lik energien du har igjen, pluss det friksjonen tok. Her er $R$ friksjonskraften og $s$ den strekningen legemet faktisk glir mens friksjonen virker.

Skriv regnskapet på denne formen, med alle tre leddene positive, så unngår du fortegnsrot. Å sette friksjonsleddet på feil side (eller glemme det) er en av de vanligste feilene i hele Del 2.

To måter å finne $R\cdot s$ på, avhengig av hva oppgaven gir deg:

- Er friksjonstallet oppgitt: $R = \mu N$. På vannrett underlag er $N = mg$, på et skråplan med helning $\theta$ er $N = mg\cos\theta$ (se kap. 1.3).
- Er farten oppgitt både før og etter: regn ut energitapet som differansen $E_1 - E_2$, og finn friksjonskraften som $R = (E_1 - E_2)/s$.

Merk at $s$ er strekningen langs underlaget, ikke høydeforskjellen. På et skråplan med lengde $L$ og helning $\theta$ er $s = L$, mens $h = L\sin\theta$.

Snoren i en pendel trekker alltid langs snoren, altså inn mot opphengspunktet. Kula beveger seg langs en sirkelbue, og bevegelsesretningen står da vinkelrett på snoren i hvert eneste punkt.

Med $\theta = 90^\circ$ i $W = Fs\cos\theta$ blir snordragets arbeid null. Derfor holder det å ta med tyngden i energiregnskapet, selv om snordraget er en stor kraft. Nøyaktig samme argument gjelder normalkraften fra en glatt bane: den står vinkelrett på bevegelsen og gjør ikke arbeid.

$$h = L(1 - \cos\theta)$$

over bunnpunktet. Uttrykket kommer av at den loddrette avstanden fra opphengspunktet ned til kula er $L\cos\theta$ i utgangsstillingen og $L$ i bunnpunktet; differansen mellom de to er $L - L\cos\theta$.

Med $h$ på plass er resten standard: $v = \sqrt{2gh}$ i bunnpunktet, når vi ser bort fra luftmotstand.

Tyngdens arbeid avhenger bare av start- og sluttpunktets høyde, ikke av veien mellom dem. Det er derfor vi kan erstatte hele bevegelsen med to tall — $E_1$ og $E_2$ — og slippe å følge banen.

Friksjonen har ikke denne egenskapen: den tar mer energi jo lengre vei legemet glir. Derfor står friksjonen i regnskapet som et eget ledd $R\cdot s$ og ikke som en potensiell energi.

Den mekaniske energien $E = E_k + E_p$ er ikke bevart når friksjonen virker — den lekker ut. Den totale energien er alltid bevart: det som forsvinner fra $E$, dukker opp som indre energi (varme) i underlag og legeme.

Når en oppgave spør «hvor ble energien av?», er det dette svaret som forventes: den ble til varme i flatene som gnisser mot hverandre.

$$h = L\sin\theta.$$

Vanlig feil: å sette $h = L$. Da får du for stor potensiell energi og dermed for stor fart. Sjekk alltid at $h < L$ — sinus av en vinkel er aldri større enn 1.

Massen forsvinner fra svaret i alle disse standardtilfellene, fordi den står som faktor i hvert ledd i regnskapet:

- fart nederst i friksjonsfri bane: $v = \sqrt{2gh}$;
- fart i bunnpunktet av en pendel;
- stopplengde på vannrett underlag: $s = v^2/(2\mu g)$;
- akselerasjon ved gliding på vannrett underlag: $a = \mu g$.

Massen forsvinner ikke når oppgaven spør om energi, arbeid eller kraft — der er den avgjørende.

Ruller en kule eller et hjul, går en del av energien til å sette rotasjonen i gang. Rotasjonsenergi er ikke pensum i dette emnet, og oppgavene er formulert slik at du skal se bort fra den.

I praksis betyr det at «en kule triller ned» og «en kloss sklir ned» behandles helt likt i energiregnskapet. Skriv gjerne én setning om at du ser bort fra rotasjonsenergi — det viser at forenklingen er bevisst.

Luftmotstand er en varierende kraft: den vokser med farten. Derfor kan du aldri bruke bevegelsesligningene for konstant akselerasjon i en oppgave der luftmotstanden er med.

I energiregnskapet håndteres den som friksjon: et tapsledd $F_{\text{luft}}\cdot s$ med den gjennomsnittlige motstandskraften, eller — enda vanligere i oppgaver — som en oppgitt tapt energimengde.

De to er nære slektninger, og begge er gyldige:

- Arbeid–energi-setningen $W_{\text{netto}} = \Delta E_k$ er best når oppgaven oppgir krefter og strekninger direkte, og når det ikke er noen høydeforskjell.
- Energibevaring $E_1 = E_2 + R\cdot s$ er best når høyder inngår, fordi tyngdens arbeid da er pakket inn i $mgh$ og du slipper å regne det ut for seg.

Bruker du begge på samme oppgave, får du samme svar — den ene er en omskrivning av den andre.

Energiregnskapet gir deg fart, høyde, strekning og energi. Det gir deg ikke tiden bevegelsen tar, og heller ikke akselerasjonen underveis.

Spør oppgaven «hvor lang tid …», må du enten bruke kinematikken (hvis akselerasjonen er konstant) eller kombinere med Newtons 2. lov. Det er et vanlig andretrinn i eksamensoppgaver: først fart via energi, deretter tid via kinematikk på det rette partiet.

$$\tfrac12 kx^2 + mgh_1 + \tfrac12 mv_1^2 = mgh_2 + \tfrac12 mv_2^2 + R\cdot s.$$

Typisk oppsett: en fjær skyter en kloss oppover et plan, eller en støtdemper tar opp bevegelsesenergien til en vogn. Behandle fjærenergien akkurat som potensiell energi — den er lagret og kan hentes ut igjen.

$$\frac{E_1 - E_2}{E_1},$$

altså tapet delt på det du startet med, og oppgir svaret i prosent. Legg merke til at nevneren er startenergien — å dele på sluttenergien er en klassisk feil som gir et for stort tall.

Denne størrelsen er sentral i støtoppgavene i kap. 2.3.

$$\bar{F} = \frac{E_1 - E_2}{s}.$$

Svaret skal presenteres som nettopp det: «den gjennomsnittlige motstandskraften over strekningen var … N». Å kalle den «friksjonskraften» uten forbehold er unøyaktig når kraften varierer.

Et energidiagram er to eller tre søyler som viser hvordan den samme totale energien er fordelt på $E_p$, $E_k$ og tap, i utvalgte punkter av bevegelsen. Søylene er like høye i alle punkter når det ikke er friksjon; med friksjon vokser tapssøylen mens de to andre til sammen krymper.

Diagrammet er et raskt kontrollverktøy: summerer søylene dine til noe annet enn startenergien, har du mistet et ledd.

Ber oppgaven deg «vise at $v = \sqrt{2gh}$» eller «vise at farten er uavhengig av massen», er det utledningen som gir poeng — ikke tallet.

Oppskriften: skriv opp regnskapet med symboler, si hvilke ledd som er null og hvorfor, forkort bort det som forkortes, og avslutt med en setning om hva resultatet betyr («farten avhenger bare av høydeforskjellen, ikke av massen eller banens form»). Sett aldri inn tall før utledningen er ferdig.