1.1 Rettlinjet bevegelse: kinematikk med konstant akselerasjon

$$\bar{v} = \frac{s}{t}.$$

Her er $s$ strekningen i meter (m), $t$ tiden i sekunder (s), og farten måles i meter per sekund (m/s). Gjennomsnittsfarten sier ingenting om hva som skjedde underveis — en tur på 60 km som tok én time gir $\bar{v} = 16{,}7$ m/s enten du kjørte jevnt eller sto i kø halve tiden. Streken over $v$ betyr «gjennomsnitt av».

$$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad \text{når } \Delta t \text{ er svært liten}.$$

Når en oppgave sier «farten er 15 m/s etter 4 sekunder», er det momentanfarten som menes. I resten av boka betyr $v$ alltid momentanfart, mens gjennomsnittsfart skrives $\bar{v}$. Ved konstant akselerasjon henger de sammen på en enkel måte: $\bar{v} = \tfrac12(v_0 + v)$.

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}.$$

Enheten er meter per sekund i andre, $\text{m/s}^2$. Les den høyt som «så mange meter per sekund raskere for hvert sekund»: $a = 2{,}0$ $\text{m/s}^2$ betyr at farten øker med 2,0 m/s hvert sekund. Akselerasjon er ikke det samme som stor fart — et fly i marsjfart på 250 m/s har akselerasjon null, mens en sykkel som så vidt begynner å rulle, har akselerasjon forskjellig fra null.

$$1\ \text{km/t} = \frac{1\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}} = \frac{1}{3{,}6}\ \text{m/s}.$$

Praktisk: del på 3,6 for å komme fra km/t til m/s, og gang med 3,6 den andre veien. 90 km/t er altså 25 m/s, og 20 m/s er 72 km/t. Gjør omregningen først, før noe settes inn i en formel — dette er den vanligste enhetsfeilen i faget, og den koster 1 poeng hver gang.

Forutsetningen som må være oppfylt for at ligningene i dette kapitlet skal gjelde: akselerasjonen må ha samme verdi og samme retning hele veien. Det holder i praksis for jevn bremsing på rett vei, for fritt fall uten luftmotstand, og for en heis som starter jevnt.

Det holder ikke når banen er krum (en buet sklie, en pendel), når kraften varierer (en fjær, luftmotstand som vokser med farten), eller når underlaget skifter underveis. I de tilfellene skal du bruke energimetoden i kap. 2.2. Å bruke $2as = v^2 - v_0^2$ på en krum bane gir ingen uttelling — heller ikke når tallet blir riktig. Skriv derfor alltid én setning om hvorfor akselerasjonen er konstant før du bruker ligningene.

Farten etter tiden $t$ er startfarten pluss den fartsendringen akselerasjonen har rukket å skape. Bruk denne når oppgaven kobler fart og tid og du ikke bryr deg om strekningen. Ved bremsing er $a$ negativ (hvis du regner bevegelsesretningen som positiv), og ligningen gir da hvor lang tid det tar før $v = 0$: $t = -v_0/a$.

Strekningen er den du ville tilbakelagt med konstant fart $v_0$, pluss et bidrag fra akselerasjonen som vokser med kvadratet av tiden. Bruk denne når tiden er kjent eller søkt sammen med strekningen. Starter bevegelsen fra ro ($v_0 = 0$), forenkles den til $s = \tfrac12 at^2$.

Den eneste av de tre som ikke inneholder tiden. Bruk den når oppgaven gir deg fart og strekning, men ikke tid — det klassiske bremse-tilfellet. Løst for strekningen ved stopp ($v = 0$) gir den

$$s = \frac{v_0^2}{2|a|},$$

som er formelen bak hele kvadratlov-poenget senere i kapitlet.

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}.$$

En rett, stigende linje betyr konstant positiv akselerasjon; en vannrett linje betyr konstant fart ($a = 0$); en synkende linje betyr bremsing ($a < 0$). Er kurven krum, er akselerasjonen ikke konstant — og da er bevegelsesligningene i dette kapitlet ugyldige. Grafen er altså også gyldighetssjekken din.

$$s = \text{areal under } v\text{–}t\text{-kurven}.$$

Grunnen er at areal = fart · tid = strekning for hvert lille tidsintervall. I praksis deler du figuren i rektangler og trekanter og summerer. Et areal under aksen (negativ fart) svarer til bevegelse motsatt vei. Dette trikset virker også når akselerasjonen ikke er konstant — derfor er arealmetoden ofte redningen i oppgaver der ligningene ikke gjelder.

$$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}.$$

En rett linje betyr konstant fart; en vannrett linje betyr at legemet står stille. Er grafen krum og stadig brattere, øker farten. Momentanfarten i et bestemt øyeblikk finner du som stigningstallet til tangenten i det punktet. Vær nøye på hvilken graf du har foran deg: en rett, skrå linje betyr konstant fart i en posisjon–tid-graf, men konstant akselerasjon i en fart–tid-graf.

$$g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$$

(verdien hentes fra formelarket; noen sett bruker $9{,}8$ eller $10$ $\text{m/s}^2$). Størrelsen $g$ heter tyngdeakselerasjonen. Fritt fall er altså bare et spesialtilfelle av konstant akselerasjon, og de tre ligningene gjelder med $a = g$ — så lenge du er konsekvent med hva som er positiv retning. En vanlig avtale er å regne nedover som positiv når legemet faller, og oppover som positiv når det kastes opp.

Merk: $g$ er ikke det samme som gravitasjonskonstanten. Den skrives $\gamma$ i denne boka og dukker opp i kap. 1.4.

$$s = \frac{v_0^2}{2|a|}.$$

Strekningen er proporsjonal med kvadratet av farten. Dobler du farten, blir bremselengden fire ganger så lang; tredobler du farten, blir den ni ganger så lang. Dette er en av de mest brukte kvalitative deloppgavene i faget, og den skal kunne besvares uten ny utregning: siden $|a|$ er den samme, gir $2v_0$ i telleren faktoren $2^2 = 4$.

Fellen ligger i å tenke lineært («dobbel fart, dobbel bremselengde»). Kvadrat- og fjerdegradslover er felles for flere temaer i faget — intensitet avtar som $1/r^2$, utstrålt effekt vokser som $T^4$ — og lineær-tenkning er en av de hyppigst påpekte feilene i arkivet.

Den konstante farten et fallende legeme til slutt får når luftmotstanden er blitt like stor som tyngden. Da er summen av kreftene null, akselerasjonen blir null, og farten slutter å øke. På en fart–tid-graf ser du terminalfarten som den verdien kurven flater ut mot — den vannrette asymptoten.

Underveis mot terminalfarten er akselerasjonen ikke konstant (den avtar fra $g$ mot null), og derfor gjelder ikke bevegelsesligningene i dette kapitlet i den fasen. Skal du regne på et fall med luftmotstand, må du enten lese av grafen eller bruke energi- og kraftbetraktninger (kap. 1.2 og kap. 2.2). Terminalfarten selv leser du derimot rett av grafen — det er en typisk eksamensdeloppgave.

Farten ved det tidspunktet du velger som $t = 0$ i oppgaven. Nullen i indeks betyr «ved start». Alle tre bevegelsesligningene inneholder $v_0$, og det vanligste spesialtilfellet er $v_0 = 0$ («starter fra ro», «slippes», «står stille»), som får to av leddene til å falle bort. Vær oppmerksom på at $t = 0$ er ditt valg: i en tofase-oppgave setter du gjerne klokka til null på nytt når fase to begynner, og da er sluttfarten fra fase én startfarten i fase to.

Ordet for akselerasjon som er rettet motsatt av bevegelsen, altså en oppbremsing. En retardasjon på $3{,}75\ \text{m/s}^2$ svarer til akselerasjonen $a = -3{,}75\ \text{m/s}^2$ når bevegelsesretningen regnes som positiv. Merk språket: oppgaver spør ofte om «retardasjonen», og da forventes et positivt tall med enhet $\text{m/s}^2$ — men i selve regningen må fortegnet være negativt. Skriv gjerne begge deler i svaret, slik at det ikke er tvil om hva du mener.

Bevegelse langs en rett linje beskrives med fortegn: du velger én retning som positiv, og alt som peker motsatt vei får minus. Valget er fritt, men må være det samme gjennom hele oppgaven, og det skal stå skrevet («jeg regner nedover som positiv retning»). Sensorkravet om at egne symboler og konvensjoner skal innføres, gjelder nettopp dette. Faller et legeme og du har valgt oppover som positiv, er både $v$ og $a$ negative — og regnestykket går like fint opp.

Antall meningsbærende sifre i et tallsvar. Er de oppgitte dataene gitt med to sifre (som $12$ km/t og $6{,}0$ s), skal svaret oppgis med to–tre sifre — ikke med hele kalkulatorrekka. $0{,}8333333$ $\text{m/s}^2$ skrives $0{,}83$ $\text{m/s}^2$. Regelen i FYS1001 er 2–3 gjeldende siffer, og trekk gis bare ved grove eller gjennomgående brudd. Rund av til slutt, ikke underveis: avrunder du i mellomregningen, kan feilen vokse gjennom kjeden.

Strekningen kjøretøyet tilbakelegger fra føreren oppdager faren til bremsen faktisk virker. I denne fasen er farten uendret, altså er $s = v_0 t_{\text{reaksjon}}$, og strekningen er proporsjonal med farten — ikke med kvadratet. Samlet stopplengde er summen av reaksjonsstrekning og bremselengde, og fordi de to leddene vokser ulikt med farten, har den samlede stopplengden ingen enkel proporsjonalitet. Dette er en yndet felle i deloppgaver som ber om «stopplengden» og ikke «bremselengden» — les nøye hvilket av de to ordene som står.