1.4 Sirkelbevegelse, gravitasjon og satellittbaner

Bevegelse langs en sirkelbane der størrelsen på farten er konstant, men retningen endrer seg hele tiden. Fordi fart er en vektor, er en retningsendring også en fartsendring — og dermed en akselerasjon.

Dette er den vanskeligste tankebiten i kapitlet, så det er verdt å si det tydelig: en bil som kjører 60 km/t gjennom en rundkjøring, akselererer, selv om speedometeret står stille. Akselerasjonen peker ikke forover, men innover mot sentrum av sirkelen, vinkelrett på farten. Farten er alltid tangentiell — langs sirkelen — og akselerasjonen alltid radiell — inn mot sentrum.

$$a = \frac{v^2}{r},$$

rettet inn mot sentrum av banen. Her er $v$ farten langs banen (m/s) og $r$ baneradien (m).

Legg merke til at farten står i andre potens: dobler du farten gjennom samme sving, firedobles akselerasjonen — og dermed kraften som må til. Det er hele forklaringen på hvorfor det er farten, og ikke svingens skarphet, som først blir kritisk når du kjører for fort inn i en kurve. Liten radius gir også stor akselerasjon: en skarp sving krever mer enn en slak.

$$\Sigma F_{\text{radiell}} = \frac{mv^2}{r}.$$

Dette er ikke en ny kraft du skal tegne inn i frilegemediagrammet. Det er en betingelse som de kreftene du allerede har, må oppfylle. I hver oppgave må du derfor identifisere hvilken virkelig kraft som gjør jobben:

- bøtte i loop: snordraget og tyngden;
- bil i sving: friksjonen fra veien;
- satellitt: gravitasjonen;
- ladd partikkel i magnetfelt: den magnetiske kraften (kap. 5.4).

Å tegne en egen pil merket «sentripetalkraft» i tillegg til de virkelige kreftene er en av de dyreste feilene i sjangeren — da har du talt samme kraft to ganger.

$$\Sigma F_{\text{radiell}} = +\frac{mv^2}{r}.$$

Konsekvensen er at en kraft som peker mot sentrum, går inn med pluss, og en kraft som peker bort fra sentrum, går inn med minus. Fordi «mot sentrum» betyr nedover i toppen av en loop og oppover i bunnen, skifter fortegnene på tyngden mellom de to punktene — og det er nettopp der oppgavene skiller kandidatene.

Skriv konvensjonen i besvarelsen din: «Jeg regner radiell retning inn mot sentrum som positiv.» Det er en av de retningskonvensjonene sensor krever at du innfører.

$$N - G = \frac{mv^2}{r} \ \Rightarrow\ N = m\left(g + \frac{v^2}{r}\right).$$

Normalkraften er altså større enn tyngden i bunnen — og det er nøyaktig følelsen av å presses ned i setet nederst i en berg-og-dal-bane. Forholdet $N/G$ er den «g-kraften» fornøyelsesparker snakker om.

Merk at $N$ aldri blir null i bunnen. Å sette $N = 0$ der er en dokumentert feil: kontakten kan ikke brytes i et punkt der underlaget må presse oppover for å holde legemet i banen.

$$G + N = \frac{mv^2}{r} \ \Rightarrow\ N = m\left(\frac{v^2}{r} - g\right).$$

Her kan $N$ bli null — og det er hele poenget. Kjører vogna sakte, blir $mv^2/r$ liten, og til slutt trengs ingen hjelp fra banen: tyngden alene er nok til å holde vogna i sirkelen. Går den enda saktere, er tyngden for stor, vogna forlater banen, og den faller innover som et vanlig kast.

Merk hva som er likt og hva som er ulikt: størrelsen $mv^2/r$ er den samme i topp og bunn (samme fart, samme radius), men $N$ er dramatisk forskjellig, fordi tyngden bytter fortegn i den radielle ligningen.

$$G + 0 = \frac{mv^2}{r} \ \Rightarrow\ mg = \frac{mv^2}{r} \ \Rightarrow\ v = \sqrt{gr}.$$

Massen forkortes bort: minstefarten avhenger bare av radien. For en loop med radius 8,0 m er $v_{\min} = \sqrt{9{,}81 \cdot 8{,}0}\ \text{m/s} = 8{,}9\ \text{m/s}$, uansett om det er en tom vogn eller en full.

Dette er standardresultatet i sjangeren, og det er verdt å legge merke til hvordan vi kom dit: ikke ved å pugge formelen, men ved å sette kontaktkraften lik null i den radielle ligningen. Samme grep besvarer «hvor fort må bøtta svinges?», «når mister bilen kontakt på toppen av en bakke?» og «hva er minste fart i en loop?».

$$\mu mg = \frac{mv^2}{r} \ \Rightarrow\ v_{\max} = \sqrt{\mu g r}.$$

Massen forkortes bort igjen: grensefarten i en sving er uavhengig av bilens masse. En full lastebil og en liten bil skrenser ut i samme fart gjennom samme sving med samme dekk.

Legg merke til hvor følsom grensen er for underlaget: halveres $\mu$ (isete vei), synker $v_{\max}$ med faktoren $\sqrt{2} \approx 1{,}4$, altså rundt 30 %. Det høres lite ut — men fordi kravet vokser med kvadratet av farten, er det nok til at en fart som var trygg på tørr vei, ikke er det på is.

Følelsen av å bli presset utover i en sving er reell, men den skyldes treghet, ikke en kraft utover. Kroppen din vil fortsette rett frem (Newtons 1. lov), mens bilen svinger innunder deg; døra presser deg innover, og du kjenner det som at noe presser deg ut.

I et frilegemediagram tegnet fra bakken (som er det vi alltid gjør i dette faget) finnes det ingen kraft utover. Tegner du en, får du null resultant og dermed ingen sirkelbevegelse — som er selvmotsigende. Bruk derfor ordet bare når du forklarer en følelse, og aldri i en kraftligning.

Riktig formulering på eksamen: «Passasjeren kjennes presset utover fordi kroppen har treghet og vil fortsette rett frem, mens den eneste virkelige kraften, friksjonen fra setet, peker innover.»

$$F = \gamma\frac{mM}{r^2}.$$

Kraften virker langs linja mellom dem, er alltid tiltrekkende, og er like stor på begge (Newtons 3. lov). Avstanden står i andre potens i nevneren: dobler du avstanden, blir kraften en firedel.

Notasjonen er kritisk i dette faget: gravitasjonskonstanten skrives $\gamma$ (gamma), fordi $G$ er reservert for tyngden $G = mg$. Bruker du $G$ om konstanten, kolliderer symbolene midt i en oppgave der begge inngår.

$$\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2,$$

hentes fra formelarket — den skal ikke pugges. Den er ekstremt liten, og det er grunnen til at gravitasjon bare merkes når minst én av massene er astronomisk stor: to personer én meter fra hverandre trekker på hverandre med under en milliarddel av en newton.

I satellittoppgaver er det ofte produktet $\gamma M$ som er den praktiske størrelsen. For jorda er

$$\gamma M = 6{,}67\cdot10^{-11} \cdot 5{,}97\cdot10^{24}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg} = 3{,}98\cdot10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2.$$

Med de mer nøyaktige tabellverdiene ($\gamma = 6{,}674\cdot10^{-11}$ og $M = 5{,}972\cdot10^{24}$ kg) blir produktet $3{,}99\cdot10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$, og det er den verdien oppgavene i dette kapitlet oppgir.

Jordas masse og radius ($6{,}37\cdot10^{6}$ m) står også i tabellverket.

$$\gamma\frac{mM}{r^2} = \frac{mv^2}{r}.$$

Satellittens masse $m$ står på begge sider og forkortes bort. Én $r$ forkortes også, og vi står igjen med

$$v = \sqrt{\frac{\gamma M}{r}}.$$

Banefarten avhenger bare av baneradien (og av sentrallegemets masse) — ikke av satellittens masse. En romstasjon på 400 tonn og en skrue som har løsnet fra den, går i samme bane med samme fart. Dette er det kvalitative poenget oppgavene ber om, og du skal vise forkortingen, ikke bare påstå resultatet.

Legg merke til at farten avtar med radien: jo høyere bane, jo saktere går satellitten.

$$T = \frac{2\pi r}{v}.$$

Kombinerer du dette med $v = \sqrt{\gamma M/r}$, kan du regne begge veier: fra radius til omløpstid, eller fra omløpstid til radius. Den siste veien er den vanligste på eksamen (geostasjonær bane), og da er det ryddigst å løse for $r$:

$$T = \frac{2\pi r}{\sqrt{\gamma M/r}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\gamma M}} \ \Rightarrow\ r = \sqrt[3]{\frac{\gamma M T^2}{4\pi^2}}.$$

Du trenger ikke pugge den siste formen — men du må kunne komme dit fra de to du kjenner. Det er nettopp den typen omforming «må kunne brukes aktivt» betyr.

$$\frac{\gamma M}{r^2} = \frac{3{,}99\cdot10^{14}}{(6{,}77\cdot10^{6})^2}\ \text{m/s}^2 = 8{,}7\ \text{m/s}^2,$$

altså nesten 90 % av verdien på bakken. Grunnen til at de svever, er at både stasjonen og astronauten er i fritt fall rundt jorda med samme akselerasjon. Kontaktkraften mellom dem forsvinner, akkurat som i heisen med røket vaier i kap. 1.2 — og det er kontaktkraften vi kjenner som «vekt».

En bane er altså ikke en flukt fra gravitasjonen, men et fall som aldri treffer bakken: satellitten faller like fort som jordoverflaten krummer seg bort under den.

$$\tan\theta = \frac{v^2}{gr}.$$

Massen forkortes bort her også. For hver dosering finnes altså én fart der friksjon ikke er nødvendig i det hele tatt — grunnen til at motorbaner og jernbanekurver doseres etter fartsgrensen.

Dette resultatet er «bør kjenne til»-stoff: det kan komme som en kvalitativ deloppgave («hvorfor doseres veier i svinger?»), men sjelden som full regning.

I sirkelbevegelse med konstant fart er hele akselerasjonen radiell (innover), og det er derfor du bare trenger den radielle ligningen. Endrer farten seg samtidig (en vogn som akselererer gjennom en sving), får du i tillegg en tangentiell akselerasjon — men i FYS1001-oppgaver er farten oppgitt i det punktet du regner på, så du slipper unna med den radielle ligningen alene.

Dagligtalens forhold mellom normalkraften og tyngden, $N/(mg)$. Å oppleve «3 g» betyr at underlaget presser med tre ganger tyngden din — det er en kraft, ikke en akselerasjon, selv om navnet antyder noe annet.

I bunnen av en loop er $N/(mg) = 1 + v^2/(gr)$, som gir 3,75 for eksempelet i dette kapitlet. Vanlige berg-og-dal-baner ligger på 3–5, jagerflypiloter tåler 9 i korte perioder med drakt, og ved fritt fall er tallet 0. Størrelsen er nyttig som rimelighetssjekk: får du 40 g i en fornøyelsespark, har du regnet feil.

$$mg - N = \frac{mv^2}{r} \ \Rightarrow\ N = m\left(g - \frac{v^2}{r}\right).$$

Legg merke til at fortegnene her er speilvendte av loopens toppunkt: nå peker $N$ bort fra sentrum (oppover, mens sentrum er under veien), så den går inn med minus. Bilen mister veigrepet når $N = 0$, altså ved $v = \sqrt{gr}$ — samme grensefart som i loopen. Det er derfor du «letter» over en bakketopp hvis du kjører for fort.

Sammenhengen med farten følger av at én runde er $2\pi r$:

$$v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f.$$

Oppgaver oppgir gjerne «40 omdreininger per minutt» i stedet for en fart; da regner du først om til én omdreining per $60/40 = 1{,}5$ s, altså $T = 1{,}5$ s, og deretter til $v$.