Tilbake
5.4
Alle fag for Høyskole

5.4 Ladd partikkel i elektrisk og magnetisk felt

Akselerasjon over spenning, sirkelbane i magnetfelt — og nullarbeids-poenget fasiten alltid vil ha.

60 min
12 oppgaver
Ladd partikkel i elektriskmagnetisk felt
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Forkunnskaper

Sist du var her. Dette er et av bokas tunge kapitler, og det bygger på stoff som ligger et stykke tilbake. Her er de tre verktøyene ferdig oppfrisket, så du slipper å bla:

- Fra kap. 5.1: en ladning som akselereres fra ro gjennom spenningen UU, får farten v=2qU/mv = \sqrt{2qU/m}, fordi det elektriske arbeidet W=qUW = qU blir kinetisk energi.
- Fra kap. 1.4: et legeme i sirkelbane med fart vv og radius rr har sentripetalakselerasjonen a=v2/ra = v^2/r, så den resulterende kraften mot sentrum er F=mv2/rF = mv^2/r.
- Fra kap. 1.2: en kraft vinkelrett på bevegelsen gjør ikke arbeid.

Vil du ha mer bakgrunn, ligger Magnetisk kraft på ladninger og Magnetisk kraft på strømførende ledere i Fysikk 2-boka.

Kapitlet tar rundt 60 minutter og er delt i fire løkker med pausepunkter.

Løkke 1 — Akselerasjon og magnetisk kraft (~14 min)

Nordlyset er fysikkens mest spektakulære eksempel på dette temaet. Ladde partikler fra sola kommer inn mot jorda, fanges av jordas magnetfelt og spiraler ned mot polene, der de kolliderer med luftmolekyler og får dem til å lyse. Alt du trenger for å forstå hovedtrekkene, er to formler.

Akselerasjon over en spenning
En ladning qq med masse mm som starter i ro og akselereres gjennom spenningen UU, får farten

qU=12mv2⟹v=2qUmqU = \tfrac12 mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}

Dette er energibevaring: det elektriske arbeidet W=qUW = qU går i sin helhet over til kinetisk energi. Farten øker som kvadratrota av spenningen — firedobler du UU, dobles vv.

Magnetisk flukstetthet BB
Magnetisk flukstetthet BB er størrelsen som beskriver hvor sterkt et magnetfelt er. SI-enheten er tesla (T), og 1 T=1 N/(A m)1\ \text{T} = 1\ \text{N}/(\text{A}\,\text{m}).

Til sammenligning: jordas magnetfelt er rundt 5⋅10−5 T5\cdot10^{-5}\ \text{T}, en kjøleskapsmagnet noen få 10−2 T10^{-2}\ \text{T}, og en MR-maskin 1,5–3 T.

Advarsel om symbolet: i dette delkapitlet betyr BB magnetisk flukstetthet. I Del 3 (fluidmekanikk) betyr B=ρVgB = \rho V g oppdrift. Se symbollisten nederst.

Magnetisk kraft på en ladning i bevegelse
En ladning qq som beveger seg med farten vv vinkelrett på et magnetfelt BB, kjenner kraften

F=qvBF = qvB

Kraften står vinkelrett på både farten og feltet. To spesialtilfeller er verdt å merke seg:

- står ladningen stille (v=0v = 0), er kraften null,
- beveger den seg langs feltlinjene, er kraften også null.

Generelt gjelder F=qvBsin⁡θF = qvB\sin\theta, der θ\theta er vinkelen mellom v⃗\vec v og B⃗\vec B. I eksamensoppgavene er θ=90∘\theta = 90^\circ, så F=qvBF = qvB.

Kryss- og prikk-notasjon

Et magnetfelt som peker inn i papirplanet, tegnes som kryss (×\times) — som halen på en pil som forsvinner fra deg. Et felt som peker ut av planet, tegnes som prikker — spissen på en pil som kommer mot deg.

Notasjonen er nødvendig fordi feltet, farten og kraften i disse oppgavene ligger i tre innbyrdes vinkelrette retninger, og papiret bare har to.

✏️Eksempel 1: Elektron akselerert og inn i et magnetfelt (sjanger L)

Et elektron starter i ro, akselereres gjennom en spenning på 1,2 kV1{,}2\ \text{kV} og sendes deretter vinkelrett inn i et magnetfelt med B=2,5 mTB = 2{,}5\ \text{mT}.

a) Finn farten inn i feltet.
b) Hvor stor magnetisk kraft virker på elektronet i det øyeblikket det kommer inn?

Elektronets masse er 9,109⋅10−31 kg9{,}109\cdot10^{-31}\ \text{kg} (tabell).

a) Det elektriske arbeidet blir kinetisk energi:

v=2qUm=2⋅1,602⋅10−19⋅12009,109⋅10−31 m/s=4,22⋅1014 m/sv = \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1200}{9{,}109\cdot10^{-31}}}\ \text{m/s} = \sqrt{4{,}22\cdot10^{14}}\ \text{m/s}

v=2,05⋅107 m/sv = 2{,}05\cdot10^{7}\ \text{m/s}

Rimelighet: rundt 7 % av lysfarten — raskt, men ikke så raskt at vi trenger å bekymre oss.

b) Farten er vinkelrett på feltet, så

F=qvB=1,602⋅10−19 C⋅2,05⋅107 m/s⋅2,5⋅10−3 T=8,2⋅10−15 NF = qvB = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}\cdot2{,}05\cdot10^{7}\ \text{m/s}\cdot2{,}5\cdot10^{-3}\ \text{T} = 8{,}2\cdot10^{-15}\ \text{N}

Enhetskontroll: C⋅(m/s)⋅T=C⋅(m/s)⋅N/(A m)=N\text{C}\cdot(\text{m/s})\cdot\text{T} = \text{C}\cdot(\text{m/s})\cdot\text{N}/(\text{A}\,\text{m}) = \text{N}, siden C/s=A\text{C/s} = \text{A} ✓

Konklusjon: farten er 2,05⋅107 m/s2{,}05\cdot10^{7}\ \text{m/s} og kraften 8,2⋅10−15 N8{,}2\cdot10^{-15}\ \text{N}.

📝Oppgave 1
(Innstegsoppgave.)

a) Skriv 2,5 kV2{,}5\ \text{kV} i volt, 0,80 mT0{,}80\ \text{mT} i tesla og 12 cm12\ \text{cm} i meter.
b) Et proton akselereres fra ro gjennom 800 V800\ \text{V}. Finn farten. Protonets masse er 1,673⋅10−27 kg1{,}673\cdot10^{-27}\ \text{kg}.

— naturlig pausepunkt —

Løkke 2 — Nullarbeids-poenget og sirkelbanen (~16 min)

Nå kommer kjernen i hele kapitlet: det ene resonnementet løsningsforslagene alltid ber om, og den ene formelen alt annet henger på.

Nullarbeids-prinsippet for magnetisk kraft
Den magnetiske kraften står alltid vinkelrett på farten. En kraft vinkelrett på bevegelsen gjør ikke arbeid. Derfor:

W=0⟹Ek er konstant⟹v er konstantW = 0 \quad\Longrightarrow\quad E_k \text{ er konstant} \quad\Longrightarrow\quad v \text{ er konstant}

Magnetfeltet endrer altså bare retningen til farten, aldri størrelsen. Partikkelen kan gå tusen runder i feltet uten å bli det minste raskere eller langsommere.

Slik skriver du det på eksamen: «Kraften F=qvBF = qvB står vinkelrett på farten. Arbeid krever en kraftkomponent langs bevegelsen, så kraften gjør ikke arbeid. Da er den kinetiske energien — og dermed farten — konstant; bare retningen endres.»

Sirkelbanen og baneradien
Er farten vinkelrett på feltet, er den magnetiske kraften konstant i størrelse og alltid rettet mot ett punkt: sentrum. Det er nøyaktig betingelsen for jevn sirkelbevegelse. Sett den magnetiske kraften lik den nødvendige sentripetalkraften:

qvB=mv2r⟹r=mvqBqvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{mv}{qB}

Radien vokser med massen og farten, og synker når ladningen eller feltet øker. Tunge, raske partikler går i vide baner; lette partikler i trange.

Omløpstiden i banen
Fordi farten er konstant, er omløpstiden banelengden delt på farten:

T=2πrv=2πmqBT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}

Legg merke til at vv faller ut: omløpstiden er uavhengig av farten (og av radien). Alle partikler av samme type bruker like lang tid på én runde i samme felt, enten de går trangt eller vidt.

✏️Eksempel 2: Baneradius og omløpstid (sjanger L)

Elektronet fra Eksempel 1 har farten 2,05⋅107 m/s2{,}05\cdot10^{7}\ \text{m/s} og går inn vinkelrett på et felt med B=2,5 mTB = 2{,}5\ \text{mT}.

a) Finn baneradien.
b) Finn omløpstiden, og forklar hvorfor elektronets kinetiske energi er den samme etter tre runder som ved starten.

a) Den magnetiske kraften er sentripetalkraften:

qvB=mv2r⟹r=mvqBqvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{mv}{qB}

r=9,109⋅10−31 kg⋅2,05⋅107 m/s1,602⋅10−19 C⋅2,5⋅10−3 T=1,87⋅10−234,01⋅10−22 m=4,7⋅10−2 mr = \frac{9{,}109\cdot10^{-31}\ \text{kg}\cdot2{,}05\cdot10^{7}\ \text{m/s}}{1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}\cdot2{,}5\cdot10^{-3}\ \text{T}} = \frac{1{,}87\cdot10^{-23}}{4{,}01\cdot10^{-22}}\ \text{m} = 4{,}7\cdot10^{-2}\ \text{m}

Altså 4,7 cm4{,}7\ \text{cm} — en bane som lett får plass på et laboratoriebord.

b) Omløpstiden:

T=2πrv=2π⋅4,67⋅10−2 m2,05⋅107 m/s=1,4⋅10−8 s=14 nsT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot4{,}67\cdot10^{-2}\ \text{m}}{2{,}05\cdot10^{7}\ \text{m/s}} = 1{,}4\cdot10^{-8}\ \text{s} = 14\ \text{ns}

Kontroll med den andre formelen: T=2πmqB=2π⋅9,109⋅10−311,602⋅10−19⋅2,5⋅10−3 s=1,4⋅10−8 sT = \dfrac{2\pi m}{qB} = \dfrac{2\pi\cdot9{,}109\cdot10^{-31}}{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot2{,}5\cdot10^{-3}}\ \text{s} = 1{,}4\cdot10^{-8}\ \text{s} ✓

Hvorfor er energien uendret? Den magnetiske kraften står til enhver tid vinkelrett på farten. Arbeid krever en kraftkomponent langs bevegelsen, og den finnes ikke her. Kraften gjør derfor ikke arbeid, og etter energibevaring er den kinetiske energien uendret — like stor etter tre runder som ved starten. Det eneste kraften har gjort, er å dreie fartsretningen.

Konklusjon: radien er 4,7 cm4{,}7\ \text{cm}, omløpstiden 14 ns14\ \text{ns}, og den kinetiske energien er konstant gjennom hele banen.

📝Oppgave 2
(Sjanger L.) Protonet fra oppgave 1 har farten 3,9⋅105 m/s3{,}9\cdot10^{5}\ \text{m/s} og sendes vinkelrett inn i et magnetfelt med B=0,35 TB = 0{,}35\ \text{T}.

a) Finn baneradien.
b) Finn omløpstiden.

📝Oppgave 3
(Sjanger Q — kvalitativ forklaring. «Sjanger Q» er bokas navn på de rene «forklar/begrunn»-deloppgavene, som utgjør 25–40 % av eksamen.)

En medstudent skriver: «Magnetfeltet bremser partikkelen, for det virker en kraft mot bevegelsen.»

Forklar i 2–4 setninger hva som er galt, og skriv det riktige resonnementet.

— naturlig pausepunkt —

Løkke 3 — Retninger og q/mq/m-logikken (~14 min)

Halvparten av poengene i sjanger L handler om retning. Her er verktøyet.

Høyrehåndsregelen

For en positiv ladning finner du kraftretningen slik: pek høyre hånds fingre i fartsretningen v⃗\vec v, krum dem inn mot feltretningen B⃗\vec B — da peker tommelen i kraftretningen F⃗\vec F.

En variant som mange finner lettere: la pekefingeren peke i v⃗\vec v, langfingeren i B⃗\vec B, og tommelen gir F⃗\vec F når de tre står vinkelrett på hverandre.

Det avgjørende: for en negativ ladning (for eksempel et elektron) peker kraften motsatt vei av det regelen gir. Regn alltid først som om ladningen var positiv, og snu til slutt hvis den er negativ. Skriv snuoperasjonen i besvarelsen — det er der poengene forsvinner.

✏️Eksempel 3: Retning på kraften (sjanger L + Q)

Et magnetfelt peker inn i papirplanet. En partikkel beveger seg mot høyre i planet.

a) Hvilken vei virker kraften hvis partikkelen er et proton?
b) Hvilken vei virker kraften hvis partikkelen er et elektron?
c) Beskriv banene.

a) Bruk høyrehåndsregelen for den positive ladningen: fingrene mot høyre (v⃗\vec v), feltet inn i planet (B⃗\vec B). Tommelen peker oppover i planet.

Kraften på protonet er altså rettet oppover i det øyeblikket vi ser på, og protonet begynner å svinge oppover. Sentrum for banen ligger rett over protonet — se figuren i Løkke 2, som viser nøyaktig dette tilfellet.

b) Elektronet er negativt. Regelen gir fortsatt «oppover» for en positiv ladning, men for elektronet snur vi: kraften peker nedover.

c) Begge går i sirkelbaner med konstant fart, men de svinger til hver sin side: protonet kjennes trukket oppover og går derfor rundt mot urviseren slik vi ser figuren, elektronet med urviseren. Radiene er forskjellige, fordi r=mv/(qB)r = mv/(qB) avhenger av massen.

Konklusjon: samme felt og samme fartsretning gir motsatte kraftretninger for de to ladningstypene — fortegnet på ladningen er ikke en detalj, det er halve svaret.

📝Oppgave 4
(Sjanger L — retning.) Et magnetfelt peker ut av papirplanet (tegnet med prikker). Et proton beveger seg oppover i planet.

a) Hvilken vei peker den magnetiske kraften på protonet?
b) Hva blir svaret om partikkelen i stedet er et elektron med samme fartsretning?

q/mq/m-forholdet og avbøyning
Skriver du baneradien som

r=mvqB=vB⋅mqr = \frac{mv}{qB} = \frac{v}{B}\cdot\frac{m}{q}

ser du at radien ved gitt fart og felt bestemmes av forholdet m/qm/q — eller omvendt: avbøyningen bestemmes av spesifikk ladning q/mq/m. Stor q/mq/m gir liten radius og kraftig avbøyning.

Dette er nøkkelen til å sammenligne stråletyper:

- β\beta-partikler er elektroner: q/mq/m er enormt, så de bøyes kraftig av.
- α\alpha-partikler er heliumkjerner med q=2eq = 2e og masse rundt 4 u4\ \text{u}: q/mq/m er tusenvis av ganger mindre, så de bøyes nesten ikke.
- γ\gamma-stråling er fotoner uten ladning og bøyes ikke i det hele tatt.

✏️Eksempel 4: Alfa mot beta i samme felt (sjanger L + P)

En α\alpha-partikkel (q=2eq = 2e, m=4,0 um = 4{,}0\ \text{u}) og en β\beta-partikkel (et elektron) sendes inn i samme magnetfelt med samme fart, vinkelrett på feltet.

Hvor mange ganger større er baneradien til α\alpha-partikkelen? Bruk 1 u=1,6605⋅10−27 kg1\ \text{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}\ \text{kg}.

Sett opp forholdet. Ved samme vv og BB er r=vB⋅mqr = \dfrac{v}{B}\cdot\dfrac{m}{q}, så

rαrβ=(m/q)α(m/q)β\frac{r_\alpha}{r_\beta} = \frac{(m/q)_\alpha}{(m/q)_\beta}

Regn ut de to forholdene. For α\alpha: m=4,0⋅1,6605⋅10−27 kg=6,64⋅10−27 kgm = 4{,}0\cdot1{,}6605\cdot10^{-27}\ \text{kg} = 6{,}64\cdot10^{-27}\ \text{kg} og q=2e=3,204⋅10−19 Cq = 2e = 3{,}204\cdot10^{-19}\ \text{C}:

(mq)α=6,64⋅10−273,204⋅10−19 kg/C=2,07⋅10−8 kg/C\left(\frac{m}{q}\right)_\alpha = \frac{6{,}64\cdot10^{-27}}{3{,}204\cdot10^{-19}}\ \text{kg/C} = 2{,}07\cdot10^{-8}\ \text{kg/C}

For β\beta (elektron): (mq)β=9,109⋅10−311,602⋅10−19 kg/C=5,69⋅10−12 kg/C\left(\dfrac{m}{q}\right)_\beta = \dfrac{9{,}109\cdot10^{-31}}{1{,}602\cdot10^{-19}}\ \text{kg/C} = 5{,}69\cdot10^{-12}\ \text{kg/C}.

rαrβ=2,07⋅10−85,69⋅10−12=3,6⋅103\frac{r_\alpha}{r_\beta} = \frac{2{,}07\cdot10^{-8}}{5{,}69\cdot10^{-12}} = 3{,}6\cdot10^{3}

Konklusjon: α\alpha-partikkelens bane er rundt 3600 ganger videre enn β\beta-partikkelens. I praksis betyr det at β\beta-strålingen krøller seg sammen i en trang sirkel mens α\alpha-strålingen nesten går rett fram.

Rimelighet: α\alpha-partikkelen er over 7000 ganger tyngre, men har bare dobbelt så stor ladning — at forholdet lander på noen tusen, stemmer.

Merk forutsetningen: dette gjelder ved samme fart. Sammenligner du i stedet ved samme kinetiske energi, blir tallet et annet, fordi vv da avhenger av massen.

📝Oppgave 5
(Sjanger L + Q.) En kilde sender ut både α\alpha-, β\beta- og γ\gamma-stråling inn i et magnetfelt.

a) Rangér de tre stråletypene etter hvor kraftig de bøyes av, og begrunn med r=mv/(qB)r = mv/(qB).
b) Hvordan kan et magnetfelt brukes til å avgjøre om en ukjent stråling er γ\gamma-stråling?

— naturlig pausepunkt —

Løkke 4 — Ledere, massespektrometeret og nordlyset (~16 min)

Til slutt: hvor magnetfeltet kommer fra, og de to anvendelsene arkivet bruker.

Magnetfelt fra en rett strømførende leder
Rundt en lang, rett leder med strømmen II er magnetfeltet i avstanden rr fra lederen

B=kmIrB = k_m\frac{I}{r}

der km=2,0⋅10−7 T m/Ak_m = 2{,}0\cdot10^{-7}\ \text{T}\,\text{m/A} er den magnetiske konstanten (formelarket).

Feltlinjene er konsentriske sirkler om lederen. Retningen finner du med høyrehåndsregelen for ledere: legg høyre tommel langs strømretningen, og de krummede fingrene viser feltretningen.

Den magnetiske konstanten kmk_m
km=2,0⋅10−7 T m/Ak_m = 2{,}0\cdot10^{-7}\ \text{T}\,\text{m/A} er proporsjonalitetskonstanten i uttrykket for feltet rundt en rett leder. Den hentes fra formelarket.

Merk at dette er et annet kk enn Coulomb-konstanten i kap. 5.1. Derfor har den fått indeksen mm for «magnetisk» — hold de to fra hverandre i besvarelsen.

Kraft mellom to parallelle ledere
To parallelle ledere med avstand dd og strømmene I1I_1 og I2I_2 virker på hverandre med kraften per lengdeenhet

FL=kmI1I2d\frac{F}{L} = k_m\frac{I_1I_2}{d}

Sammenhengen følger av de to andre: leder 1 lager feltet B=kmI1/dB = k_mI_1/d ved leder 2, og strømmen i leder 2 kjenner en magnetisk kraft i dette feltet.

Retningen: strøm i samme retning gir tiltrekning, strøm i motsatt retning gir frastøtning. (Motsatt av hva mange forventer ut fra ladninger — merk deg det.)

✏️Eksempel 5: Felt fra en leder og kraft mellom to (sjanger L)
a) En lang rett leder fører strømmen 15 A15\ \text{A}. Hvor stor er den magnetiske flukstettheten 5,0 cm5{,}0\ \text{cm} fra lederen?

b) To parallelle ledere ligger 8,0 cm8{,}0\ \text{cm} fra hverandre og fører 12 A12\ \text{A} og 20 A20\ \text{A} i samme retning. Hvor stor kraft virker på en 2,5 m2{,}5\ \text{m} lang strekning, og hvilken vei?

a)

B=kmIr=2,0⋅10−7 T m/A⋅15 A5,0⋅10−2 m=6,0⋅10−5 TB = k_m\frac{I}{r} = 2{,}0\cdot10^{-7}\ \text{T}\,\text{m/A}\cdot\frac{15\ \text{A}}{5{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m}} = 6{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}

Altså 60 μT60\ \mu\text{T} — omtrent på størrelse med jordas magnetfelt. Det er derfor et kompass reagerer når du holder det inntil en strømførende ledning.

b) Kraft per lengdeenhet:

FL=kmI1I2d=2,0⋅10−7⋅12⋅208,0⋅10−2 N/m=6,0⋅10−4 N/m\frac{F}{L} = k_m\frac{I_1I_2}{d} = 2{,}0\cdot10^{-7}\cdot\frac{12\cdot20}{8{,}0\cdot10^{-2}}\ \text{N/m} = 6{,}0\cdot10^{-4}\ \text{N/m}

F=FL⋅L=6,0⋅10−4 N/m⋅2,5 m=1,5⋅10−3 NF = \frac{F}{L}\cdot L = 6{,}0\cdot10^{-4}\ \text{N/m}\cdot2{,}5\ \text{m} = 1{,}5\cdot10^{-3}\ \text{N}

Retning: strømmene går samme vei, så lederne trekkes mot hverandre (se figuren over).

Konklusjon: feltet er 6,0⋅10−5 T6{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}, og kraften er 1,5⋅10−3 N1{,}5\cdot10^{-3}\ \text{N} tiltrekkende.

Rimelighet: noen tidels millinewton på 2,5 m ledning er ubetydelig i praksis — men i store koblingsanlegg med tusenvis av ampere blir de samme kreftene så store at samleskinnene må festes mekanisk.

📝Oppgave 6
(Sjanger L.) To parallelle ledere ligger 6,0 cm6{,}0\ \text{cm} fra hverandre. Den ene fører 25 A25\ \text{A}, den andre 10 A10\ \text{A}, i motsatt retning.

a) Finn den magnetiske flukstettheten som den første lederen lager ved den andre.
b) Finn kraften per meter mellom lederne, og si hvilken vei den virker.

Massespektrometeret
Et massespektrometer bestemmer massen til ioner ved å måle baneradien i et kjent magnetfelt.

Ionet akselereres over spenningen UU og sendes inn vinkelrett på feltet BB. Kombinerer du qU=12mv2qU = \tfrac12 mv^2 med r=mv/(qB)r = mv/(qB), faller farten ut:

m=qB2r22Um = \frac{qB^2r^2}{2U}

Måler du rr, kjenner du massen. Dette er hvordan isotoper skilles fra hverandre: to ioner med samme ladning men litt ulik masse treffer detektoren på litt ulikt sted.

✏️Eksempel 6: Massespektrometer (sjanger L)

Et enkeltladd ion (q=eq = e) akselereres gjennom 2,5 kV2{,}5\ \text{kV} og sendes vinkelrett inn i et magnetfelt med B=0,40 TB = 0{,}40\ \text{T}. Baneradien måles til 8,0 cm8{,}0\ \text{cm}.

Finn ionets masse, både i kilogram og i atommasseenheter (1 u=1,6605⋅10−27 kg1\ \text{u} = 1{,}6605\cdot10^{-27}\ \text{kg}).

Utled sammenhengen først. Fra akselerasjonen: v=2qU/mv = \sqrt{2qU/m}. Sett inn i r=mv/(qB)r = mv/(qB) og kvadrer:

r2=m2v2q2B2=m2q2B2⋅2qUm=2mUqB2⟹m=qB2r22Ur^2 = \frac{m^2v^2}{q^2B^2} = \frac{m^2}{q^2B^2}\cdot\frac{2qU}{m} = \frac{2mU}{qB^2} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{qB^2r^2}{2U}

Sett inn tall:

m=1,602⋅10−19 C⋅(0,40 T)2⋅(8,0⋅10−2 m)22⋅2500 Vm = \frac{1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}\cdot(0{,}40\ \text{T})^2\cdot(8{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m})^2}{2\cdot2500\ \text{V}}

Teller: 1,602⋅10−19⋅0,16⋅6,4⋅10−3=1,64⋅10−221{,}602\cdot10^{-19}\cdot0{,}16\cdot6{,}4\cdot10^{-3} = 1{,}64\cdot10^{-22}. Nevner: 50005000.

m=3,28⋅10−26 kgm = 3{,}28\cdot10^{-26}\ \text{kg}

I atommasseenheter:

3,28⋅10−26 kg1,6605⋅10−27 kg/u=19,8 u≈20 u\frac{3{,}28\cdot10^{-26}\ \text{kg}}{1{,}6605\cdot10^{-27}\ \text{kg/u}} = 19{,}8\ \text{u} \approx 20\ \text{u}

Konklusjon: ionets masse er 3,3⋅10−26 kg3{,}3\cdot10^{-26}\ \text{kg}, altså rundt 20 u20\ \text{u} — det passer med neon-20.

Rimelighet: et atom på 20 u er et lett grunnstoff, og massen 10−26 kg10^{-26}\ \text{kg} er den riktige størrelsesordenen for enkeltatomer ✓

📝Oppgave 7
(Sjanger L — massespektrometer.) Et enkeltladd ion akselereres gjennom 4,0 kV4{,}0\ \text{kV} og sendes vinkelrett inn i et magnetfelt med B=0,50 TB = 0{,}50\ \text{T}. Baneradien måles til 6,0 cm6{,}0\ \text{cm}.

a) Finn ionets masse i kilogram.
b) Uttrykk massen i atommasseenheter, og foreslå hvilket grunnstoff det kan være.

Nordlys og jordas magnetfelt

Ladde partikler fra sola treffer jordas magnetfelt. Kommer farten inn på skrå, kan den deles i en komponent langs feltet og en vinkelrett på det. Den vinkelrette komponenten gir sirkelbevegelse; den langsgående er upåvirket, siden kraften er null langs feltet.

Resultatet er en skruebane (spiral) rundt feltlinjene. Partiklene følger linjene ned mot polene, der de kolliderer med luftmolekyler i den øvre atmosfæren og får dem til å lyse.

Dette forklarer to observasjoner: at nordlyset er sterkest nær polene, og at jordas magnetfelt fungerer som et skjold — de fleste partiklene blir ledet bort i stedet for å treffe atmosfæren ved ekvator.

📝Oppgave 8
(Sjanger L + Q — nordlyskontekst.) Et proton med farten 5,0⋅105 m/s5{,}0\cdot10^{5}\ \text{m/s} kommer inn vinkelrett på jordas magnetfelt, som der har B=4,0⋅10−5 TB = 4{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}.

a) Finn baneradien.
b) Forklar i 2–4 setninger hvorfor protonet ikke bremses opp av magnetfeltet, og hva som skjer hvis farten i stedet kommer inn på skrå mot feltlinjene.

📝Oppgave 9
(Sjanger L — krevende, dimensjonering baklengs.) Et elektron akselereres fra ro gjennom 500 V500\ \text{V} og sendes vinkelrett inn i et magnetfelt.

a) Hvor stor må BB være for at baneradien skal bli 3,0 cm3{,}0\ \text{cm}?
b) Hvis du firedobler akselerasjonsspenningen og vil ha samme radius, hvordan må BB endres? Begrunn med formlene, uten å regne på nytt.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Tesla
Tesla (T) er SI-enheten for magnetisk flukstetthet:

1 T=1 NA m=1 V sm21\ \text{T} = 1\ \frac{\text{N}}{\text{A}\,\text{m}} = 1\ \frac{\text{V}\,\text{s}}{\text{m}^2}

Enheten er stor: jordas felt er bare rundt 5⋅10−5 T5\cdot10^{-5}\ \text{T}. Derfor møter du ofte millitesla (mT) og mikrotesla (µT) i oppgaver.

Når er den magnetiske kraften null?

Kraften er F=qvBsin⁡θF = qvB\sin\theta, der θ\theta er vinkelen mellom farten og feltet. Den er null i tre tilfeller:

- ladningen er null (γ\gamma-stråling, nøytroner),
- ladningen står stille (v=0v = 0),
- farten er parallell (eller antiparallell) med feltet (sin⁡θ=0\sin\theta = 0).

Maksimal kraft får du når farten står vinkelrett på feltet, θ=90∘\theta = 90^\circ — det er tilfellet i alle regneoppgavene i dette kapitlet.

Elektrisk felt mot magnetfelt

De to feltene virker helt ulikt på en ladning:

Elektrisk feltMagnetfelt
KraftF=qEF = qEF=qvBsin⁡θF = qvB\sin\theta
Krever bevegelse?NeiJa
KraftretningLangs feltet (for positiv ladning)Vinkelrett på både vv og BB
Gjør arbeid?JaNei
Endrer farten?JaNei, bare retningen

Denne tabellen svarer på halvparten av de kvalitative halene i sjangeren.

Skruebane (bør kjenne til)

Kommer farten inn på skrå mot feltet, deles den i en komponent vinkelrett på feltet (som gir sirkelbevegelse) og en komponent langs feltet (som er upåvirket).

Resultatet er en skruebane: en spiral rundt feltlinja, med konstant fart langs linja og konstant omløpstid. Dette er merket «bør kjenne til» — det trengs for å forstå nordlyset kvalitativt, men regnes sjelden på.

Sentripetalkraft — repetisjon
Et legeme i jevn sirkelbevegelse med fart vv og radius rr har akselerasjonen a=v2/ra = v^2/r rettet mot sentrum, og trenger derfor den resulterende kraften

F=mv2rF = \frac{mv^2}{r}

Sentripetalkraft er ikke en ny kraft — det er rollen en kraft har. I kap. 1.4 var det tyngden eller snordraget; her er det den magnetiske kraften.

Høyrehåndsregelen for ledere

Legg høyre tommel langs strømretningen i lederen. Da viser de krummede fingrene feltretningen rundt lederen.

Feltlinjene er konsentriske sirkler om lederen, og feltet avtar som 1/r1/r — merk at det er første potens, ikke kvadratet som i Coulombs lov.

Isotopskille i massespektrometeret
To ioner med samme ladning men ulik masse får ulik radius:

r=1B2mUq⟹r∝mr = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}} \quad\Longrightarrow\quad r \propto \sqrt{m}

Radien går altså som kvadratrota av massen. Klor-35 og klor-37 skilles fordi 37/35=1,028\sqrt{37}/\sqrt{35} = 1{,}028 — nesten 3 % forskjell i radius, nok til to tydelig atskilte flekker på detektoren.

Magnetosfæren som skjold
Magnetosfæren er området rundt jorda der jordas magnetfelt dominerer. Ladde partikler fra sola avbøyes av feltet og ledes langs feltlinjene mot polene i stedet for å treffe atmosfæren jevnt over hele kloden.

Uten dette skjoldet ville partikkelstrålingen ved bakken vært langt kraftigere. Nordlyset er det synlige tegnet på at skjoldet virker.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.