4.3 Magnetfelt fra strøm | Fysikk 2

Magnetfelt generert av elektrisk strøm, Biot-Savarts lov og Ampères lov.

45 min

12 oppgaver

Magnetfelt fra rett lederMagnetfelt fra strømløkkeSolenoiderBiot-Savarts lovAmpères lov

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Magnetfelt og magnetiske krefter

Brukes videre i

4.4Magnetisk kraft på strømførende leder

Fra enkeltladninger til strøm

I forrige kapittel lærte vi at magnetfelt utøver kraft på enkeltladninger i bevegelse (Lorentzkraften). Men hva skjer når vi har milliarder av ladninger som beveger seg sammen – altså en elektrisk strøm?

Siden strøm er bevegelse av ladninger, vil et magnetfelt også utøve kraft på en strømførende leder. Denne kraften er grunnlaget for:

- Elektromotorer – omdanner elektrisk energi til rotasjon
- Høyttalere – omdanner elektriske signaler til lydbølger
- Galvanometre – måler elektrisk strøm
- Elektromagnetiske bremser – brukes i tog og elbiler

Historisk betydning:
Oppdagelsen av at strømførende ledere utøver krefter på hverandre førte til definisjonen av ampere som SI-enhet for strøm. Inntil 2019 var ampere definert ved kraften mellom to parallelle ledere!

Utledning av kraft på strømførende leder

La oss utlede formelen for kraft på en strømførende leder fra Lorentzkraften.

Forutsetninger:
- En rett leder med lengde $L$ befinner seg i et uniformt magnetfelt $\vec{B}$
- Strømmen $I$ går gjennom lederen
- Vinkelen mellom lederen og magnetfeltet er $\theta$

Utledning:
Hver ladning $q$ i lederen beveger seg med drifthastighet $v_d$ og opplever kraften:
$F_{\text{ladning}} = qv_dB\sin\theta$

Antall ladninger i lederen er $N = nAL$ , der:
- $n$ = ladningstetthet (antall per volum)
- $A$ = lederens tverrsnittsareal
- $L$ = lederens lengde

Total kraft på alle ladningene:
$F = N \cdot qv_dB\sin\theta = (nAL) \cdot qv_dB\sin\theta$

Vi vet at strømmen er $I = nAqv_d$ , så:
$F = IL \cdot B\sin\theta = BIL\sin\theta$

Dette gir oss hovedformelen for kraft på strømførende leder.

Kraft på strømførende leder

**Magnetisk kraft på strømførende leder:**

\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}

**Størrelse:**

F = BIL\sin\theta

der: - $F$ = kraft (N) - $B$ = magnetisk fluktetthet (T) - $I$ = strøm (A) - $L$ = lengden av lederen i magnetfeltet (m) - $\theta$ = vinkel mellom strømretning og magnetfelt **Spesialtilfeller:** - $\theta = 90°$: $F = BIL$ (maksimal kraft) - $\theta = 0°$ eller $180°$: $F = 0$ (ingen kraft) **Kraftretningen** bestemmes av høyrehåndsregelen: - Fingre i strømretningen - Bøy mot $\vec{B}$ - Tommel viser kraftretningen

Høyrehåndsregelen for strømførende ledere

For å finne kraftretningen på en strømførende leder i magnetfelt:

Metode 1: Høyrehåndsregelen
1. Pek fingrene i strømretningen (fra + til -)
2. Bøy fingrene mot magnetfeltets retning $\vec{B}$
3. Tommelen peker i kraftretningen

Metode 2: FBI-regelen
Med høyre hånd:
- Force (kraft) = tommel
- B-felt = pekefinger
- I (strøm) = langfinger

De tre fingrene peker vinkelrett på hverandre.

Viktig:
- Kraften er alltid vinkelrett på både strømretningen og magnetfeltet
- Hvis strømmen snur retning, snur også kraften
- Hvis magnetfeltet snur retning, snur også kraften

Eksempel:
Strøm mot høyre (+x), magnetfelt inn i arket (+z) → kraft oppover (+y)

✏️Kraft på en rett leder

Oppgave:
En rett leder med lengde 20 cm bærer en strøm på 5,0 A. Lederen befinner seg i et uniformt magnetfelt på 0,30 T, vinkelrett på strømretningen. Beregn kraften på lederen.

Løsning:

Gitt:
- $L = 20$ cm $= 0,20$ m
- $I = 5,0$ A
- $B = 0,30$ T
- $\theta = 90°$ (vinkelrett)

Bruker formelen:
$F = BIL\sin\theta$

$F = 0,30 \times 5,0 \times 0,20 \times \sin 90°$

$F = 0,30 \times 5,0 \times 0,20 \times 1 = 0,30 \text{ N}$

Svar: Kraften på lederen er 0,30 N.

Kommentar: Retningen på kraften bestemmes av høyrehåndsregelen basert på strøm- og feltretning.

Kraft mellom parallelle strømførende ledere

To parallelle strømførende ledere vil utøve magnetiske krefter på hverandre. Dette skjer i to steg:

Steg 1: Hver leder skaper et magnetfelt rundt seg (fra kapittel 4.1):
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Steg 2: Den andre lederen befinner seg i dette feltet og opplever en kraft.

Resultat:
- Parallelle strømmer (samme retning) → lederne tiltrekkes
- Antiparallelle strømmer (motsatt retning) → lederne frastøtes

Intuisjon:
Tenk på magnetfeltlinjene:
- Parallelle strømmer: feltlinjene mellom lederne peker motsatt vei og "kansellerer" → lavere trykk mellom lederne → tiltrekning
- Antiparallelle strømmer: feltlinjene mellom lederne peker samme vei og "forsterkes" → høyere trykk mellom lederne → frastøtning

Kraft mellom parallelle ledere

**Kraft per lengdeenhet mellom to parallelle ledere:**

\frac{F}{L} = \frac{\mu0 I1 I2}{2\pi d} $der: - $F/L$ = kraft per lengdeenhet (N/m) - $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A (permeabiliteten i vakuum) - $I_1, I_2$ = strømmene i de to lederne (A) - $d$ = avstand mellom lederne (m) **Utledning:** Leder 1 skaper feltet $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$ ved leder 2. Kraft på leder 2:$ F = B1 I2 L = \frac{\mu0 I1}{2\pi d} \cdot I2 L

\frac{F}{L} = \frac{\mu0 I1 I_2}{2\pi d}

**Retning:** - Samme strømretning → **tiltrekning** (kraft mot hverandre) - Motsatt strømretning → **frastøtning** (kraft fra hverandre)

Den historiske definisjonen av ampere

2 \times 10^{-7}

✏️Kraft mellom parallelle ledere

Oppgave:
To parallelle ledere er plassert 5,0 cm fra hverandre. De bærer strømmer på henholdsvis 10 A og 15 A i samme retning.

a) Beregn kraften per meter mellom lederne.
b) Tiltrekkes eller frastøtes lederne?

Løsning:

a) Kraft per meter:

Gitt:
- $I_1 = 10$ A, $I_2 = 15$ A
- $d = 5,0$ cm $= 0,050$ m
- $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A

$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10 \times 15}{2\pi \times 0,050}$

$\frac{F}{L} = \frac{4 \times 10^{-7} \times 150}{2 \times 0,050} = \frac{6 \times 10^{-5}}{0,10} = 6,0 \times 10^{-4} \text{ N/m}$

b) Retning:
Strømmene går i samme retning, så lederne tiltrekkes.

Svar:
a) Kraft: $6,0 \times 10^{-4}$ N/m = 0,60 mN/m
b) Lederne tiltrekkes

Dreiemoment på strømsløyfe i magnetfelt

En rektangulær strømsløyfe i et magnetfelt opplever et dreiemoment som får den til å rotere. Dette er prinsippet bak elektromotorer.

Analyse av kreftene:
Betrakt en rektangulær sløyfe med sider $a$ (parallell med rotasjonsaksen) og $b$ (vinkelrett på aksen):

1. Sidene parallelle med B-feltet: Opplever kraft, men kreftene danner et par som skaper dreiemoment
2. Sidene vinkelrette på B-feltet: Opplever kraft langs rotasjonsaksen → ingen dreiemoment

Kraftparet:
- Kraft på hver side: $F = BIa$
- Momentarm (når sløyfen står vinkelrett): $b/2$
- Dreiemoment fra begge sider: $\displaystyle \tau = 2 \times F \times \frac{b}{2}\sin\phi = BIab\sin\phi$

Der $\phi$ er vinkelen mellom sløyfens normalvektor og magnetfeltet.

Areal: $A = ab$ , så:
$\tau = BIA\sin\phi$

Dreiemoment på strømsløyfe

**Dreiemoment på strømsløyfe i magnetfelt:**

\tau = NBIA\sin\phi

der: - $\tau$ = dreiemoment (N·m) - $N$ = antall viklinger i sløyfen - $B$ = magnetisk fluktetthet (T) - $I$ = strøm (A) - $A$ = sløyfens areal (m²) - $\phi$ = vinkel mellom sløyfens normalvektor og $\vec{B}$ **Magnetisk dipolmoment:**

\mum = NIA $Dreiemomentet kan skrives:$ \tau = \mum B \sin\phi

**Spesialtilfeller:** - $\phi = 90°$: $\tau = NBIA$ (maksimalt dreiemoment) - $\phi = 0°$ eller $180°$: $\tau = 0$ (likevekt) **Merk:** Ved $\phi = 0°$ er likevekten **stabil**, ved $\phi = 180°$ er den **ustabil**.

Den elektriske motoren

En elektrisk likestrømsmotor utnytter dreiemomentet på en strømsløyfe til å skape kontinuerlig rotasjon.

Hovedkomponenter:
1. Rotor (anker): Roterende del med spolede viklinger
2. Stator: Fast del med permanentmagneter eller elektromagneter
3. Kommutator: Roterende kontaktring som snur strømretningen
4. Børster: Stasjonære kontakter som overfører strøm til rotor

Virkemåte:

1. Strøm gjennom rotorens viklinger skaper et magnetfelt
2. Rotorens felt interagerer med statorens felt → dreiemoment
3. Rotoren roterer mot likevektsposisjonen
4. Kommutatoren snur strømretningen akkurat når rotoren passerer likevekt
5. Dreiemomentet fortsetter i samme rotasjonsretning
6. Kontinuerlig rotasjon oppnås

Effekt:
$P = \tau \omega$

der $\omega$ er vinkelhastigheten (rad/s).

Anvendelser:
- Elektriske kjøretøy
- Vifter og pumper
- Elektroverktøy
- Harddisker

Galvanometeret

Et galvanometer er et presisjonsinstrument for å måle små elektriske strømmer. Det bruker dreiemomentet på en strømsløyfe til å gi et visuelt utslag.

Konstruksjon:
1. En lett spole viklet på en ramme
2. Permanentmagnet som skaper et radialt magnetfelt
3. Fjær som gir et motdreiemoment proporsjonalt med utslaget
4. Nål eller speil festet til spolen

Virkemåte:

Når strøm går gjennom spolen:
1. Magnetisk dreiemoment: $\tau_B = NBIA$
2. Fjærens motdreiemoment: $\tau_f = k\theta$
3. I likevekt: $NBIA = k\theta$

$\theta = \frac{NBIA}{k}$

Utslagsvinkelen $\theta$ er proporsjonalt med strømmen $I$ .

Følsomhet:
$S = \frac{\theta}{I} = \frac{NBA}{k}$

Høy følsomhet krever:
- Mange viklinger ( $N$ )
- Sterkt magnetfelt ( $B$ )
- Stort areal ( $A$ )
- Svak fjær (liten $k$ )

Anvendelser:
- Basis for analoge amperemetre og voltmetre
- Seismografer
- Laser-skannere

Høyttaleren

En dynamisk høyttaler omdanner elektriske signaler til lydbølger ved hjelp av magnetisk kraft på en strømførende spole.

Konstruksjon:
1. Permanent magnet: Skaper et sterkt, radialt magnetfelt i luftgapet
2. Svingspole: Lett spole viklet rundt en sylinder, plassert i luftgapet
3. Membran (kone): Festet til svingspolen, vibrerer og skaper lyd
4. Ramme: Holder komponentene på plass

Virkemåte:

1. Lydsignalet (vekselstrøm) sendes gjennom svingspolen
2. Magnetisk kraft på spolen: $F = BIL$
3. Kraften varierer med strømmen (lydsignalet)
4. Spolen og membranen vibrerer frem og tilbake
5. Membranen komprimerer og ekspanderer luften
6. Lydbølger forplanter seg ut i rommet

Frekvensrespons:
- Kraften følger strømsignalet umiddelbart
- Membranen har treghet og resonans
- Ulike høyttalerstørrelser for ulike frekvenser:
- Store (woofer): lave frekvenser
- Mellomstore: mellomtoner
- Små (tweeter): høye frekvenser

Kraftberegning:
For en spole med $N$ viklinger, radius $r$ , og strøm $I$ :
$F = NB(2\pi r)I = 2\pi NBrI$

✏️Kraft i høyttaler

Oppgave:
En høyttalers svingspole har 50 viklinger med radius 2,5 cm. Spolen befinner seg i et magnetfelt på 1,2 T. Maksimal strøm er 0,80 A.

a) Beregn maksimal kraft på svingspolen.
b) Hvis membranen har masse 15 g, hva blir maksimal akselerasjon?

Løsning:

a) Maksimal kraft:

Total lengde av leder i magnetfeltet:
$L = N \times 2\pi r = 50 \times 2\pi \times 0,025 = 7,85 \text{ m}$

Kraft:
$F = BIL = 1,2 \times 0,80 \times 7,85 = 7,5 \text{ N}$

b) Maksimal akselerasjon:

$a = \frac{F}{m} = \frac{7,5}{0,015} = 500 \text{ m/s}^2$

Svar:
a) $F_{max} = 7,5$ N
b) $a_{max} = 500$ m/s² ≈ 50g (50 ganger tyngdeakselerasjonen)

Kommentar: Den høye akselerasjonen er nødvendig for å skape de raske vibrasjonene som kreves for høye frekvenser.

📝Oppgave 4.25

En rett leder bærer strøm mot høyre (→). Magnetfeltet peker inn i arket (⊗). Hvilken retning har kraften på lederen?

📝Oppgave 4.26

To parallelle ledere bærer strøm i motsatt retning. Hva skjer?

📝Oppgave 4.27

Hva er hovedfunksjonen til kommutatoren i en likestrømsmotor?

📝Oppgave 4.28

En rett kobberledning med lengde 50 cm og masse 25 g er hengt opp horisontalt i to vertikale tråder. Ledningen befinner seg i et horisontalt magnetfelt på 0,40 T som står vinkelrett på ledningen.

a) Hvor stor strøm må gå gjennom ledningen for at spenningen i trådene skal bli null?
b) I hvilken retning må strømmen gå i forhold til magnetfeltet?

📝Oppgave 4.29

To lange, parallelle ledere er plassert 8,0 cm fra hverandre. De bærer strømmer på 20 A og 30 A i samme retning.

a) Beregn kraften per meter på hver leder.
b) Tiltrekkes eller frastøtes lederne?
c) Hvor mange meter av lederne må til for at kraften skal bli 1,0 N?

📝Oppgave 4.30

En leder med lengde 30 cm bærer en strøm på 8,0 A. Lederen befinner seg i et uniformt magnetfelt på 0,25 T.

a) Beregn kraften på lederen når vinkelen mellom leder og felt er 90°.
b) Beregn kraften når vinkelen er 45°.
c) Ved hvilken vinkel er kraften halvparten av maksimalverdien?

📝Oppgave 4.31

En rektangulær spole med 100 viklinger har dimensjoner 4,0 cm × 6,0 cm. Spolen bærer en strøm på 2,0 A og befinner seg i et magnetfelt på 0,50 T.

a) Beregn det magnetiske dipolmomentet til spolen.
b) Beregn maksimalt dreiemoment på spolen.
c) Ved hvilken vinkel mellom spolens normalvektor og B-feltet er dreiemomentet 75% av maksimum?

📝Oppgave 4.32

En stiv, rektangulær ledersløyfe med masse 50 g har dimensjoner 10 cm × 15 cm. Sløyfen er hengt opp slik at den kan rotere fritt om en horisontal akse langs den ene 10 cm-siden. Sløyfen befinner seg i et horisontalt magnetfelt på 0,30 T som er vinkelrett på rotasjonsaksen.

a) Hvis sløyfen bærer en strøm på 5,0 A, hvor stor vinkel vil den innstille seg på i forhold til vertikalen?
b) Hva er den maksimale strømmen sløyfen kan bære før den vipper helt rundt?

📝Oppgave 4.33

En liten likestrømsmotor har en rotor med 200 viklinger. Hver vikling har areal 4,0 cm². Rotoren befinner seg i et magnetfelt på 0,20 T. Ved en strøm på 1,5 A roterer motoren med konstant vinkelhastighet 300 rad/s.

a) Beregn maksimalt dreiemoment på rotoren.
b) Beregn gjennomsnittlig dreiemoment (hint: middelverdien av $|\sin\phi|$ over én periode er $2/\pi$ ).
c) Beregn motorens mekaniske effekt.
d) Hvis motoren har en virkningsgrad på 70%, hvor stor elektrisk effekt tilføres?

📝Oppgave 4.34

Et galvanometer har en rektangulær spole med 500 viklinger og areal 1,5 cm². Spolen befinner seg i et radialt magnetfelt på 0,25 T. Fjærkonstanten for torsjonfjæren er $k = 2,0 \times 10^{-6}$ N·m/rad.

a) Beregn utslagsvinkelen når strømmen er 50 µA.
b) Hva er galvanometerets følsomhet (utslag per µA)?
c) Galvanometeret skal brukes som voltmeter med fullt utslag ved 10 V. Hvilken motstand må kobles i serie?

📝Oppgave 4.35

En høyttalers svingspole har 80 viklinger med gjennomsnittlig radius 3,0 cm. Spolen befinner seg i et radialt magnetfelt på 1,0 T. Membranens masse (inkludert spole) er 20 g.

a) Beregn kraften på membranen ved en strøm på 0,50 A.
b) Spolen drives med en sinusformet strøm $I = I_0\sin(\omega t)$ der $I_0 = 0,50$ A. Beregn membranens maksimale hastighet ved frekvensen 100 Hz (anta at membranen oppfører seg som en fri masse).
c) Beregn amplituden til membranens svingning ved 100 Hz.

📝Oppgave 4.36

To lange, parallelle ledere A og B er festet vertikalt med avstand $d = 10$ cm. En tredje leder C med masse 5,0 g og lengde 20 cm kan gli friksjonsløst langs A og B som skinner. Alle tre lederne bærer strøm på 10 A.

a) Hvis strømmen i A og B går oppover, og strømmen i C går mot høyre (sett forfra), finn nettokraften på C fra A og B.
b) Skal strømmen i C gå samme vei som i A og B, eller motsatt vei, for at C skal holdes oppe av magnetisk kraft?
c) Hvor stor må strømmen i C være for at C skal sveve (balansere mot tyngden)?

Oppsummering

Kraft på strømførende leder:
$\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}$
$F = BIL\sin\theta$

- Kraften er maksimal når leder og felt er vinkelrette ( $\theta = 90°$ )
- Kraften er null når leder og felt er parallelle ( $\theta = 0°$ )

Høyrehåndsregelen:
- Fingre i strømretning
- Bøy mot B-felt
- Tommel viser kraftretning

Kraft mellom parallelle ledere:
$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$

- Samme strømretning → tiltrekning
- Motsatt strømretning → frastøtning

Dreiemoment på strømsløyfe:
$\tau = NBIA\sin\phi$

der $\phi$ er vinkelen mellom spolens normalvektor og $\vec{B}$ .

Magnetisk dipolmoment:
$\mu_m = NIA$

Anvendelser:
- Elektromotor: Kommutator snur strømmen for kontinuerlig rotasjon
- Galvanometer: Utslagsvinkel proporsjonal med strøm: $\displaystyle \theta = \frac{NBIA}{k}$
- Høyttaler: Kraft $F = BIL$ driver membranen

Historisk:
Ampere var definert via kraft mellom parallelle ledere (frem til 2019).

Neste kapittel:
Vi skal lære om elektromagnetisk induksjon – når magnetfelt skaper elektrisk strøm.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.