5.1 Elektrostatikk: Coulomb-kraft, felt og kraftbalanse

Coulombs lov:

$$F = k\,\frac{q_1q_2}{r^2} = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{3{,}0\cdot10^{-9}\cdot5{,}0\cdot10^{-9}}{(4{,}0\cdot10^{-2})^2}\ \text{N}$$

Teller: $8{,}99\cdot10^{9}\cdot1{,}5\cdot10^{-17} = 1{,}35\cdot10^{-7}$. Nevner: $1{,}6\cdot10^{-3}$.

$$F = 8{,}4\cdot10^{-5}\ \text{N} = 84\ \mu\text{N}$$

Retning: ladningene har ulike fortegn, så kreftene er tiltrekkende — hver kule trekkes mot den andre langs linja mellom dem. De to kreftene er like store og motsatt rettet (Newtons tredje lov).

Rimelighet: $10^{-5}$ N er omtrent tyngden av et sandkorn. Det stemmer med at nanocoulomb er svært små ladninger.

Kraften fra $A$ ($r = 2{,}0\cdot10^{-2}$ m):

$$F_A = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{4{,}0\cdot10^{-9}\cdot1{,}0\cdot10^{-9}}{(2{,}0\cdot10^{-2})^2}\ \text{N} = 9{,}0\cdot10^{-5}\ \text{N}$$

Kraften fra $B$ ($r = 4{,}0\cdot10^{-2}$ m):

$$F_B = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{2{,}0\cdot10^{-9}\cdot1{,}0\cdot10^{-9}}{(4{,}0\cdot10^{-2})^2}\ \text{N} = 1{,}1\cdot10^{-5}\ \text{N}$$

Summer med fortegn:

$$F = F_A - F_B = 9{,}0\cdot10^{-5}\ \text{N} - 1{,}1\cdot10^{-5}\ \text{N} = 7{,}9\cdot10^{-5}\ \text{N}$$

Konklusjon: kraften på $C$ er $7{,}9\cdot10^{-5}\ \text{N}$ rettet mot høyre, altså bort fra $A$.

Rimelighet: $C$ ligger nærmest $A$, og $A$ har dessuten dobbelt så stor ladning — at $A$ vinner klart, er som forventet.

$$F = k\frac{Q^2}{a^2} = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{(2{,}0\cdot10^{-9})^2}{(5{,}0\cdot10^{-2})^2}\ \text{N} = 1{,}44\cdot10^{-5}\ \text{N}$$

Retningsargumentet (det som gir uttelling). Begge kreftene er frastøtende, altså rettet fra den nederste ladningen og ut gjennom toppunktet. De to kreftene er like store, fordi ladningene og avstandene er like. Symmetriaksen er den loddrette linja gjennom toppunktet og midt på grunnlinja. De to kraftvektorene danner samme vinkel med denne aksen, men ligger på hver sin side. Derfor er de vannrette komponentene like store og motsatt rettet, og de opphever hverandre. Bare de loddrette komponentene blir igjen.

Vinkelen. I en likesidet trekant er hver vinkel $60^\circ$, og symmetriaksen halverer toppvinkelen. Hver kraft danner altså $30^\circ$ med aksen:

$$F_{\text{res}} = 2F\cos 30^\circ = 2\cdot1{,}44\cdot10^{-5}\cdot0{,}866\ \text{N} = 2{,}5\cdot10^{-5}\ \text{N}$$

Konklusjon: kraften på toppladningen er $2{,}5\cdot10^{-5}\ \text{N}$, rettet rett opp langs symmetriaksen, bort fra trekanten. Se figuren over.

Rimelighet: resultanten er større enn én enkeltkraft, men mindre enn summen $2F = 2{,}9\cdot10^{-5}$ N — det stemmer, siden kreftene ikke peker helt samme vei.

$$E = \frac{U}{d} = \frac{300\ \text{V}}{2{,}5\cdot10^{-2}\ \text{m}} = 1{,}2\cdot10^{4}\ \text{V/m}$$

b) Kraften på en ladning i feltet:

$$F = qE = 4{,}0\cdot10^{-9}\ \text{C}\cdot1{,}2\cdot10^{4}\ \text{V/m} = 4{,}8\cdot10^{-5}\ \text{N}$$

Ladningen er positiv, så kraften peker samme vei som feltet — fra den positive mot den negative platen.

Rimelighetssjekk på enhetene: $\text{C}\cdot\text{V/m} = \text{C}\cdot\text{J}/(\text{C}\cdot\text{m}) = \text{J/m} = \text{N}$ ✓.

$$qU = \tfrac12 mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

Sett inn. Protonets ladning er $q = e = 1{,}602\cdot10^{-19}$ C:

$$v = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot500}{1{,}673\cdot10^{-27}}}\ \text{m/s} = \sqrt{9{,}58\cdot10^{10}}\ \text{m/s}$$

$$v = 3{,}1\cdot10^{5}\ \text{m/s}$$

Konklusjon: protonet får farten $3{,}1\cdot10^{5}\ \text{m/s}$, altså rundt 310 km/s.

Rimelighet: det er omtrent en tusendel av lysfarten — raskt, men langt fra så raskt at vi må bekymre oss for at formelen bryter sammen.

Se figuren under fasiten for hvordan diagrammet skal se ut.

Balansen. Loddrett: $S\cos\theta = mg$. Vannrett: $S\sin\theta = F_e$. Divisjon gir

$$\tan\theta = \frac{F_e}{mg} \quad\Longrightarrow\quad F_e = mg\tan\theta$$

$$F_e = 0{,}50\cdot10^{-3}\ \text{kg}\cdot9{,}81\ \text{m/s}^2\cdot\tan 8{,}0^\circ = 6{,}89\cdot10^{-4}\ \text{N}$$

Avstanden mellom kulene. Begge snorene henger fra samme punkt, så

$$r = 2L\sin\theta = 2\cdot0{,}25\ \text{m}\cdot\sin8{,}0^\circ = 6{,}96\cdot10^{-2}\ \text{m}$$

Coulombs lov løst for $q$ (like ladninger, så $q_1q_2 = q^2$):

$$F_e = k\frac{q^2}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad q = r\sqrt{\frac{F_e}{k}} = 6{,}96\cdot10^{-2}\sqrt{\frac{6{,}89\cdot10^{-4}}{8{,}99\cdot10^{9}}}\ \text{C}$$

$$q = 1{,}9\cdot10^{-8}\ \text{C} = 19\ \text{nC}$$

Konklusjon: hver kule har ladningen $1{,}9\cdot10^{-8}\ \text{C}$.

Rimelighet: noen titalls nanocoulomb er en typisk statisk ladning på en liten gjenstand — svaret er i riktig størrelsesorden.

$$F_e = k\frac{e^2}{r^2}, \qquad F_g = \gamma\frac{m_p^2}{r^2}$$

Ta forholdet. Begge går som $1/r^2$, så $r^2$ forkortes bort:

$$\frac{F_e}{F_g} = \frac{k e^2}{\gamma m_p^2}$$

Forholdet er altså det samme uansett hvor langt fra hverandre protonene er — det er nettopp fordi begge lovene er omvendt proporsjonale med kvadratet av avstanden.

Regn ut. Teller: $8{,}99\cdot10^{9}\cdot(1{,}602\cdot10^{-19})^2 = 2{,}31\cdot10^{-28}$. Nevner: $6{,}674\cdot10^{-11}\cdot(1{,}673\cdot10^{-27})^2 = 1{,}87\cdot10^{-64}$.

$$\frac{F_e}{F_g} = 1{,}2\cdot10^{36}$$

Konklusjon: den elektriske frastøtningen er omtrent $10^{36}$ ganger sterkere enn gravitasjonen mellom to protoner. Forholdet er dimensjonsløst, som det skal være.

Hva dette betyr fysisk: gravitasjon er en håpløst svak kraft på partikkelnivå. Grunnen til at gravitasjonen likevel styrer planeter og stjerner, er at store legemer er tilnærmet nøytrale — de elektriske kreftene fra positive og negative ladninger opphever hverandre, mens massene bare summerer seg.