1.5 Statikk og kraftmoment

$$M = F \cdot d,$$

der $F$ er kraften i newton og $d$ er normalarmen i meter. Enheten er newtonmeter (Nm).

Momentet avhenger altså av tre ting: hvor stor kraften er, hvor langt fra dreiepunktet den virker, og hvilken retning den har. En kraft som peker rett mot dreiepunktet, gir ingen dreining i det hele tatt — normalarmen er null.

Merk at momentet alltid regnes om et bestemt punkt. «Momentet av kraften» er meningsløst uten å si om hvilket punkt. Skriv det i besvarelsen: «moment om albuleddet», «moment om den høyre bukken».

Dette er kapitlets viktigste presisering. Virker kraften $F$ i en avstand $L$ fra dreiepunktet, men med vinkelen $\theta$ mellom kraften og bjelken, er normalarmen

$$d = L\sin\theta,$$

og momentet blir $M = FL\sin\theta$. Bare når kraften står vinkelrett på bjelken ($\theta = 90^\circ$) er $d = L$.

Praktisk oppskrift: forleng kraftpilen til en lang, rett linje (virkelinja), og mål den korteste avstanden derfra til momentpunktet. Å bruke den skrå avstanden i stedet for normalarmen er den hyppigst påpekte feilen i sjangeren.

En vanlig og trygg konvensjon: moment mot klokka er positivt. I likevekt er summen null, som i praksis betyr at

$$\text{summen av momenter med klokka} = \text{summen av momenter mot klokka}.$$

Mange finner det lettest å skrive ligningen slik, med bare positive tall på begge sider. Da slipper du fortegnsrot, og du ser umiddelbart hva som «balanserer hva».

$$\Sigma F = 0 \quad \text{(komponentvis)} \qquad \text{og} \qquad \Sigma M = 0 \quad \text{(om et hvilket som helst punkt)}.$$

Det første kravet kjenner du fra kap. 1.2. Det andre er nytt, og det er nødvendig fordi et legeme kan ha kraftbalanse og likevel rotere: to like store krefter i motsatt retning, men med ulikt angrepspunkt, gir $\Sigma F = 0$ og en dreining.

I planet gir dette tre ligninger ($x$, $y$ og moment), og du kan dermed finne opptil tre ukjente. En hyppig feil er å bruke bare momentligningen og glemme kraftbalansen — eller motsatt. Sjekk alltid hvor mange ukjente oppgaven har, og sett opp like mange ligninger.

Momentligningen $\Sigma M = 0$ gjelder om hvilket som helst punkt når legemet er i likevekt. Det gir deg full frihet, og frihet skal brukes strategisk:

> Velg momentpunkt der en ukjent kraft angriper. Da er normalarmen til den ukjente null, momentet forsvinner, og ligningen inneholder én ukjent mindre.

Har oppgaven to ukjente støttekrefter, velger du først den ene angrepslinjen som momentpunkt og finner den andre kraften, deretter motsatt — eller du bruker $\Sigma F = 0$ til å finne den siste. Skriv begrunnelsen for valget i besvarelsen; det er en av de setningene som løfter en besvarelse fra riktig til fullgod.

Tyngden av et utstrakt legeme regnes som om den virker i massesenteret — for en jevn planke, bjelke eller stige er det midt på. Det er derfor du kan tegne én tyngdepil i midten i stedet for tusen små langs hele planken.

To praktiske følger. For det første: glem aldri bjelkens egen tyngde. «En planke på 20 kg» betyr at det skal stå en pil på $196$ N midt på planken, og at den gir moment om alle punkter unntatt midtpunktet selv. For det andre: er legemet ujevnt (en kran med motvekt), må du behandle delene hver for seg, med hver sin tyngde i hvert sitt massesenter.

Grensen for hvor langt en last kan flyttes før konstruksjonen tipper. Ved grensen skjer to ting samtidig:

- den ene støtten mister kontakten, altså blir normalkraften der null;
- momentene om den andre støtten balanserer akkurat.

Fremgangsmåten er alltid: sett $N = 0$ i den støtten legemet er i ferd med å løfte seg fra, velg den andre støtten som momentpunkt, og sett de motvirkende momentene like store.

Dette gjelder alt fra planker på bukker til kraner, stabler og lastebiler i kurve. Legg merke til hva som gir sikkerhet mot velting: stor egenvekt nær støtten som holder, og lang avstand mellom støttene.

- tyngden $G$ i massesenteret, midt på stigen;
- normalkraften $N_{\text{gulv}}$ opp fra gulvet;
- friksjonen $R$ fra gulvet, rettet inn mot veggen (den hindrer at foten glir ut);
- normalkraften $N_{\text{vegg}}$ fra veggen, vinkelrett ut fra veggen, altså vannrett.

Ligningene blir da: loddrett $N_{\text{gulv}} = G$, vannrett $R = N_{\text{vegg}}$, og momentbalanse om stigens fot — der både $N_{\text{gulv}}$ og $R$ angriper, slik at begge faller ut:

$$N_{\text{vegg}} \cdot h = G \cdot \frac{b}{2},$$

der $h$ er høyden opp langs veggen og $b$ er avstanden fra vegg til fot. Til slutt gir $\mu_{\min} = R/N_{\text{gulv}}$ hvor mye friksjon gulvet minst må gi.

$$2S\sin\alpha = G \ \Rightarrow\ S = \frac{mg}{2\sin\alpha}.$$

Resultatet har en dramatisk konsekvens: jo slakere snorene henger, jo større blir draget. Ved $\alpha = 30^\circ$ er $S = G$; ved $\alpha = 10^\circ$ er $S = 2{,}9G$; ved $\alpha = 2^\circ$ er $S = 14G$. Helt vannrette snorer ($\alpha = 0$) er umulig — da ville $S$ vært uendelig stor.

Dette er hverdagsfysikken bak at en klesnor alltid henger litt ned, at kraftledninger må ha slakk, og at man ikke skal stramme et slepetau helt vannrett. Det er også et klassisk eksamensoppsett, både som regning og som kvalitativ deloppgave.

$$F_{\text{muskel}} \cdot d_{\text{muskel}} = G_{\text{last}} \cdot d_{\text{last}},$$

og fordi $d_{\text{muskel}} \ll d_{\text{last}}$, må muskelkraften være mange ganger lastens tyngde. Forholdet er typisk 7–10 ganger for armen.

Konstruksjonen virker sløsende, men den kjøper noe: fordi muskelen sitter nær leddet, gir en kort muskelsammentrekning en stor og rask bevegelse av hånden. Kroppen bytter altså kraft mot bevegelsesutslag og fart. Dette er en yndet kvalitativ deloppgave — «forklar hvorfor muskelkraften blir så stor» — og svaret er ett ord med begrunnelse: momentarmen.

Enheten for kraftmoment: $1\ \text{Nm}$ er momentet av en kraft på 1 N med normalarm 1 m.

Vær våken på at newtonmeter ser ut som enheten for energi (joule er også $\text{N}\cdot\text{m}$), men det er to helt ulike størrelser: i moment står kraft og arm vinkelrett på hverandre, i arbeid er de parallelle. Derfor skrives moment alltid Nm og aldri J. Bilbransjens «dreiemoment i Nm» er nøyaktig samme størrelse som momentet i dette kapitlet.

$$F_1 d_1 = F_2 d_2.$$

Det er prinsippet bak brekkjern, trillebår, nøtteknekker, sakser og vipper — og det er den samme ligningen som i vippeeksempelet. Forholdet $d_1/d_2$ kalles kraftforsterkningen: et brekkjern med 60 cm håndtak og 3 cm klo forsterker kraften din 20 ganger.

Merk at prinsippet ikke gir «gratis» arbeid: kraften forsterkes, men den lange armen må flyttes tilsvarende langt lenger. Energien er den samme (kap. 2.1).

$$G_{\text{last}} \cdot d_{\text{last}} = G_{\text{motvekt}} \cdot d_{\text{motvekt}}.$$

To ting oppgavene ofte spør om: hvor stor motvekten må være for en gitt last og armlengde, og hvor motvekten må plasseres når lasten flyttes utover. En kran som ikke kan flytte motvekten, har derfor en lastekurve: maksimal last avtar med avstanden fra masten. Kranarmens egen tyngde skal med hvis den er oppgitt.

Skal du likevel finne den, bruker du kraftbalansen etterpå. Holder underarmen en manual i ro med bicepsen trekkende rett opp, gir loddrett balanse

$$F_{\text{ledd}} = F_{\text{biceps}} - G_{\text{arm}} - G_{\text{last}},$$

rettet nedover på underarmen. For eksempelet med 8,0 kg manual blir det $607 - 14{,}7 - 78{,}5 = 514$ N — leddet presses altså sammen med en betydelig kraft. Det er en av grunnene til at leddbrusk slites.

I planet gir likevekt tre ligninger, og du kan derfor bestemme tre ukjente. Har oppsettet flere ukjente krefter enn det — for eksempel en planke på tre bukker — er problemet statisk ubestemt, og likevektsligningene alene gir ikke svaret. Da må man vite noe om hvor mye bjelken bøyer seg, som ligger utenfor dette faget.

Nytten av å kjenne begrepet: hvis du sitter med fire ukjente og tre ligninger på eksamen, har du sannsynligvis oversett en opplysning (en glatt vegg gir ingen friksjon, en tom bukk gir $N = 0$, symmetri gir to like krefter) — ikke møtt et uløselig problem.