2.3 Bevegelsesmengde og støt

$$p = mv.$$

Enheten er $\text{kg}\,\text{m/s}$ — den har ikke noe eget navn. Størrelsen er en vektor: den peker samme vei som farten. I dette emnet regner vi nesten alltid i én dimensjon, og da holder det å holde orden på fortegnet.

Merk forskjellen fra kinetisk energi: $p = mv$ vokser lineært med farten, mens $E_k = \tfrac12 mv^2$ vokser med kvadratet. To legemer kan derfor ha samme bevegelsesmengde og likevel svært ulik kinetisk energi.

Før du skriver en eneste ligning: velg en positiv retning og skriv i besvarelsen hvilken det er. Deretter gjelder to regler uten unntak:

- Fart med den positive retningen settes inn som et positivt tall.
- Fart mot den positive retningen settes inn som et negativt tall.

Et negativt svar er ikke en feil — det betyr at legemet beveger seg motsatt vei av det du valgte som positivt. Skriv det ut i klartekst: «$v' = -0{,}45$ m/s, altså 0,45 m/s mot venstre.»

Fortegnsfeil ved motsatt rettede farter er den vanligste enkeltfeilen i hele støt-temaet.

Dette er kapitlets viktigste presisering, og en av de mest påpekte feilene i arkivet.

Bevaringen bygger på at ytre krefter (friksjon, tyngde langs banen, luftmotstand) kan neglisjeres i det korte tidsrommet støtet varer. Et støt tar typisk noen hundredels sekund, og på den tiden rekker friksjonen ikke å endre bevegelsesmengden nevneverdig.

Men før og etter støtet virker friksjonen i lang tid, og da endres bevegelsesmengden hele veien. Derfor:

- Gjennom selve støtet: bruk bevaring av bevegelsesmengde.
- Utenfor støtet: bruk energiregnskapet fra kap. 2.2, $E_1 = E_2 + R\cdot s$.

Å «bevare» bevegelsesmengden gjennom hele forløpet — også over strekningen der de sammenfiltrede vrakene glir mot asfalten — gir feil svar og trekk.

$$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v',$$

som løses direkte:

$$v' = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}.$$

Kjennetegn i oppgaveteksten: «kobler seg sammen», «blir sittende fast», «henger sammen», «treffer og blir liggende i». Dette er støttypen der mest kinetisk energi går tapt.

Merk fellen: massen i nevneren er summen av massene. Å glemme det ene leddet er en klassisk regnefeil.

- Elastisk støt: den kinetiske energien er den samme før og etter, $\sum \tfrac12 mv^2 = \sum \tfrac12 mv'^2$. Legemene spretter fra hverandre uten varig deformasjon. Biljardkuler og stålkuler kommer nær; på atomnivå er støt ofte helt elastiske.
- Uelastisk støt: noe kinetisk energi går tapt til deformasjon, varme og lyd. Bevegelsesmengden er fremdeles bevart.
- Fullstendig uelastisk støt: grensetilfellet der legemene følges at etterpå. Her går det mest mulig tapt, gitt at bevegelsesmengden skal bevares.

Slik klassifiserer du: regn ut samlet kinetisk energi før og etter. Er de like, er støtet elastisk; er den mindre etterpå, er det uelastisk. Svar aldri bare «uelastisk» — vis regnestykket, det er der poengene ligger.

$$\frac{E_2 - E_1}{E_1},$$

der $E_1$ er samlet kinetisk energi før støtet og $E_2$ etter. Brøken blir negativ ved tap, og svaret oppgis gjerne som «$70\ \%$ av den kinetiske energien gikk tapt».

Nevneren er startenergien. Å dele på $E_2$ er en klassisk feil som gir et for stort tall. Og husk: den tapte energien er ikke borte — den er blitt til indre energi (varme) i materialene.

$$F\,\Delta t = \Delta p = m v' - m v.$$

Produktet $F\Delta t$ kalles kraftstøtet eller impulsen. Sagt i ord: endringen i bevegelsesmengde bestemmes av kraften ganger tiden den virker.

Løser vi for kraften, får vi den formen som brukes i sikkerhetsargumenter:

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}.$$

Er $\Delta p$ gitt av situasjonen, blir kraften mindre jo lengre tid stansen tar.

En bil som stopper i en kollisjon, har en bestemt endring i bevegelsesmengde $\Delta p = mv$ — den er gitt av massen og farten, og kan ikke reduseres av noen sikkerhetsanordning.

Det sikkerhetsutstyret kan gjøre, er å strekke ut tiden stansen tar. Kollisjonspute, bilbelte med strammer og deformasjonssoner i karosseriet forlenger $\Delta t$ fra noen få hundredels sekund til noen tideler. Siden $F = \Delta p/\Delta t$, faller kraften tilsvarende.

Samme mekanisme forklarer hvorfor du bøyer knærne når du lander, hvorfor en fallende telefon overlever på teppe, og hvorfor fallskjermhoppere ruller ved landing. Alle sammen: samme $\Delta p$, lengre $\Delta t$, mindre $F$.

Ytre krefter kommer utenfra (friksjon fra underlaget, tyngden, luftmotstand) og kan endre den samlede bevegelsesmengden. Bevaringssetningen gjelder derfor bare når summen av ytre krefter er neglisjerbar — noe den er i det korte tidsrommet et støt varer.

$$0 = m_1v_1' + m_2v_2'.$$

Da må $v_1'$ og $v_2'$ ha motsatt fortegn: den lette delen får stor fart, den tunge liten. Det er derfor et gevær rykker bakover og en båt sklir bakover når du hopper fra den.

Konsekvens: to legemer som møtes med like store, motsatt rettede bevegelsesmengder, har samlet $p = 0$, men samlet $E_k$ som er større enn null. Derfor kan de stoppe helt i et støt uten at noen bevaringslov brytes — energien blir til varme.

$$v' = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$$

er et vektet gjennomsnitt av de to fartene, med massene som vekter. Det gir en rask rimelighetskontroll: sluttfarten må alltid ligge mellom $v_1$ og $v_2$, og nærmest farten til den tyngste massen.

Får du en sluttfart som er større enn begge startfartene, har du regnefeil.

I virkelige kollisjoner beveger legemene seg ofte i ulike retninger. Da er bevegelsesmengden bevart komponentvis: hver av de to retningene får sin egen ligning.

Dette er ikke kjernestoff i FYS1001 — arkivets støtoppgaver er praktisk talt alltid endimensjonale, også når de er kledd som «to biler i kryss» (da er den ene bilens bevegelse langs den aktuelle aksen null). Det holder å vite at utvidelsen finnes.

Den faste eksamensresepten, som du driller i sin helhet i kap. 2.4:

1. Før støtet: finn farten inn mot kollisjonen med energiregnskapet — typisk $v = \sqrt{2gh}$ ned en rampe eller en pendel.
2. Gjennom støtet: bruk bevaring av bevegelsesmengde, $\sum mv = \sum mv'$.
3. Etter støtet: bruk energiregnskapet igjen, $\tfrac12 mv'^2 = R\cdot s$, til å finne stopplengden.

Det avgjørende er å holde verktøyene i riktig fase. Energibevaring i støtet og bevegelsesmengde-bevaring utenfor det er de to feilene som koster mest.

$$v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2').$$

Regelen følger av de to bevaringslovene til sammen og er nyttig som rask kontroll av et svar. Den er ikke kjernestoff i FYS1001 — arkivets støtoppgaver er nesten alltid uelastiske — men den avslører raskt om et «elastisk» svar er konsistent.