3.1 Trykk, hydrostatikk og oppdrift

$$p = \frac{F}{A}.$$

Kraften må stå vinkelrett på flata; en kraft langs flata gir ikke trykk, men skjærspenning (utenfor pensum her).

Samme kraft over et lite areal gir stort trykk. Det er derfor en kniv skjærer og et telttak ikke gjør det, og derfor du synker i snøen uten ski men ikke med.

SI-enheten for trykk er pascal: $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$. Ett pascal er svært lite, så du møter nesten alltid multipler:

- $1\ \text{kPa} = 10^{3}$ Pa
- $1\ \text{bar} = 10^{5}$ Pa (praktisk enhet i dykking, dekktrykk og industri)
- Atmosfæretrykket ved havnivå: $p_0 = 1{,}01\cdot 10^{5}\ \text{Pa} \approx 1{,}01$ bar

Bruker oppgaven bar, svarer du i bar — men regn i pascal underveis, ellers går enhetene i vasken. Verdien av $p_0$ hentes fra formelarket.

$$\rho = \frac{m}{V}, \qquad [\rho] = \text{kg/m}^3.$$

Den greske bokstaven $\rho$ leses «rho». Tetthetsverdier hentes fra tabellverket — de er ikke puggestoff. Noen du vil se ofte:

$$p = p_0 + \rho gh,$$

der $p_0$ er trykket på overflaten (ute i det åpne: atmosfæretrykket).

Leddet $\rho gh$ er vekten av væskesøylen over deg, fordelt på flata: en søyle med areal $A$ og høyde $h$ har massen $\rho Ah$, tyngden $\rho Ahg$, og dermed trykket $\rho Ahg/A = \rho gh$.

Trykket avhenger bare av dybden, ikke av beholderens form, bredde eller total væskemengde. To punkter på samme dybde i samme sammenhengende væske har samme trykk.

Dette skillet er kilden til den vanligste feilen i hydrostatikk-deloppgaver.

- Absolutt trykk er hele trykket: $p = p_0 + \rho gh$. Atmosfæretrykket er med.
- Overtrykk (også kalt manometertrykk) er trykket utover atmosfæretrykket: $p - p_0 = \rho gh$.

Spør oppgaven om «det absolutte trykket», må $p_0$ med. Spør den om «overtrykket» eller «trykkøkningen», skal $p_0$ ikke med. Et dybdemåler eller dekktrykkmåler viser overtrykk — derfor viser en tom sykkelslange 0 bar selv om det er luft i den.

Står det bare «finn trykket», svarer du med det absolutte trykket og skriver at du har tolket det slik.

$$B = \rho_{\text{væske}} V_{\text{nedsenket}}\, g.$$

I ord: oppdriften er like stor som tyngden av den væsken legemet fortrenger. Det er Arkimedes' lov.

To presiseringer som avgjør poengene:

- Det er væskens tetthet som står i formelen, aldri legemets. Å sette inn legemets tetthet er den vanligste feilen i hele temaet.
- Det er det nedsenkede volumet som teller. For et helt nedsenket legeme er det hele volumet; for et flytende legeme bare den delen som er under overflaten.

I denne boka skriver vi oppdriften $B$. (I magnetismekapitlene i Del 5 betyr $B$ magnetisk flukstetthet — de to opptrer aldri i samme oppgave, men se alltid i delkapitlets symbolliste.)

Tenk på en kloss med topp- og bunnflate $A$, der toppen ligger på dybden $h_1$ og bunnen på $h_2 = h_1 + d$. Væsken presser ned på toppen med kraften $p_1A$ og opp på bunnen med $p_2A$. Siden bunnen ligger dypere, er $p_2 > p_1$, og nettokraften peker opp:

$$B = p_2A - p_1A = \rho g(h_2-h_1)A = \rho g\,dA = \rho gV.$$

Sidekreftene opphever hverandre parvis. Dette er utledningen løsningsforslagene ber om når en deloppgave sier «begrunn Arkimedes' lov».

$$S + B = G \quad\Longrightarrow\quad S = G - B = mg - \rho_{\text{væske}}Vg.$$

Denne størrelsen kalles den tilsynelatende vekten. Den er alltid mindre enn tyngden, og det er grunnen til at en tung stein kjennes lett under vann.

Merk hvordan dette er en helt vanlig kraftbalanse fra kap. 1.2 — bare med én kraft mer i diagrammet.

Sammenlign legemets tetthet med væskens:

- $\rho_{\text{legeme}} < \rho_{\text{væske}}$: legemet flyter, med en del av volumet over overflaten.
- $\rho_{\text{legeme}} > \rho_{\text{væske}}$: legemet synker.
- $\rho_{\text{legeme}} = \rho_{\text{væske}}$: legemet svever i nøytral likevekt — det blir stående der du slipper det.

Argumentet: for et helt nedsenket legeme er $B/G = \rho_{\text{væske}}/\rho_{\text{legeme}}$, så oppdriften vinner nøyaktig når væsken er tettest.

Merk at det er gjennomsnittstettheten som teller. En stålbåt flyter fordi skroget rommer luft, slik at masse delt på totalt volum blir mindre enn vannets tetthet — selv om stålet i seg selv er åtte ganger tettere enn vann.

$$\rho_{\text{væske}}V_{\text{neds}}\,g = \rho_{\text{legeme}}V g.$$

Vi forkorter bort $g$ og løser for forholdet:

$$\frac{V_{\text{neds}}}{V} = \frac{\rho_{\text{legeme}}}{\rho_{\text{væske}}}.$$

Andelen som ligger under vann, er forholdet mellom tetthetene. Dette er en av de mest brukte enkeltsammenhengene i fluid-oppgaver, og den er verdt å kunne utlede på tre linjer.

Vanlig felle: å bruke hele volumet i oppdriften for et flytende legeme. Da får du $B > G$, som ville betydd at legemet akselererer oppover — og det gjør det ikke, det ligger stille.

Et fluid er et stoff som flyter — altså både væsker og gasser. Ordet brukes når en lov gjelder for begge.

Forskjellen som betyr noe i praksis: væsker er nesten inkompressible (tettheten er praktisk talt konstant), mens gasser lar seg presse sammen og har tetthet som endres med trykk og temperatur. Derfor gjelder $p = p_0 + \rho gh$ godt i vann, men bare over korte høydeforskjeller i luft.

Navnet på den overraskende innsikten at trykket ved bunnen av en beholder er uavhengig av beholderens form og av hvor mye væske den inneholder. Et smalt rør fylt til 2 m gir samme bunntrykk som et svømmebasseng med 2 m dybde.

Konsekvensen brukes i praksis: et vanntårn behøver ikke være stort, bare høyt. Det er høyden, ikke volumet, som gir trykket i ledningsnettet.

$$\Delta p = \rho g\,\Delta h.$$

Dette er hele prinsippet bak blodtrykksmåling i «millimeter kvikksølv» (mmHg): tallet er høyden av en kvikksølvsøyle som gir samme trykk. Sammenhengen er den samme $\rho gh$ du bruker ellers.

Arkimedes' lov gjelder også i gass. En ballong stiger når $\rho_{\text{gass i ballongen}} < \rho_{\text{luft}}$ — altså når den er fylt med helium eller varm luft.

Fordi luftas tetthet er om lag $1{,}2$ $\text{kg/m}^3$, altså under en tusendel av vannets, er oppdriften i luft nesten alltid neglisjerbar for faste legemer. Det er derfor du kan se bort fra den når du veier en stein, men ikke når du regner på en luftballong.

I et fluid i ro virker trykket like sterkt i alle retninger i et gitt punkt, og alltid vinkelrett på enhver flate du plasserer der.

Det er derfor en dykker kjenner trykket like mye i ørene uansett hvilken vei hun snur hodet, og derfor sidekreftene på et nedsenket legeme opphever hverandre parvis, slik at bare topp- og bunnflaten bidrar til oppdriften.