3.2 Bernoulli, kontinuitet og Torricelli — med gyldighetsvurdering

$$q_V = Av,$$

der $A$ er tverrsnittsarealet og $v$ er farten. Enheten er $\text{m}^3/\text{s}$.

Enhetskontroll: $\text{m}^2\cdot\text{m/s} = \text{m}^3/\text{s}$ — det stemmer. I praktiske sammenhenger møter du liter per minutt eller liter per sekund, og da må du regne om: $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$, så $1\ \text{L/s} = 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$.

Merk skillet mellom fart (m/s) og volumstrøm ($\text{m}^3/\text{s}$). Å blande dem er en av de vanligste feilene i fluid-oppgaver.

$$A_1v_1 = A_2v_2.$$

I ord: smalere rør gir større fart, i omvendt proporsjon med arealet. Halveres arealet, dobles farten.

Pass på at det er arealet og ikke diameteren som inngår. Halveres diameteren, blir arealet en firedel, og farten blir fire ganger så stor. Det er en klassisk felle: for et sirkulært tverrsnitt er $A = \pi r^2$, så farten går som $1/r^2$.

En strøm er stasjonær når fart, trykk og retning i hvert punkt er konstante over tid. Væsken beveger seg, men mønsteret står stille: farten i innsnevringen er den samme nå som om et sekund.

Både kontinuitetslikningen og Bernoullis likning forutsetter stasjonær strøm. Et vannglass som helles ut, en bølge, eller en tank som tømmes så raskt at nivået synker merkbart underveis, er ikke stasjonære — og da gjelder ligningene bare tilnærmet, som et øyeblikksbilde.

Det hjelper å ha navn på leddene:

- $p$ — det statiske trykket. Det er dette et manometer montert i rørveggen måler.
- $\rho gh$ — det hydrostatiske leddet. Det du kjenner fra kap. 3.1: trykkbidraget fra høyden.
- $\tfrac12\rho v^2$ — det dynamiske trykket. Bidraget fra bevegelsen.

Summen er konstant langs strømlinjen. Derfor må ett ledd synke når et annet stiger: vokser farten, faller trykket (ved samme høyde). Det er hele Bernoulli-effekten i én setning.

Bernoulli er bare nyttig hvis du velger punktene klokt. Regelen er:

Velg de to punktene der du kjenner flest størrelser.

I praksis betyr det nesten alltid:

- et punkt på en stor, fri overflate (der trykket er $p_0$ og farten praktisk talt null),
- et punkt i åpningen eller innsnevringen du blir spurt om,
- eller to punkter i samme høyde i et vannrett rør, slik at $\rho gh$-leddene stryker mot hverandre.

Skriv alle seks leddene opp først, og stryk deretter dem som er null eller like på begge sider. Det er den strykingen sensor vil se — den viser at du har vurdert leddene i stedet for å gjette.

Ligger punkt 1 på overflaten av et stort kar eller reservoar, setter vi $v_1 \approx 0$. Begrunnelsen er kontinuitetslikningen: overflatens areal er enormt sammenlignet med hullets, og $A_1v_1 = A_2v_2$ gir derfor $v_1 = v_2\,A_2/A_1 \approx 0$.

Men bare når arealforholdet er stort. I et rør som snevres fra 8 $\text{cm}^2$ til 2,5 $\text{cm}^2$ kan du ikke sette farten i det brede partiet til null — der er forholdet bare 3,2, og feilen ville blitt grov. Å sette $v \approx 0$ på feil sted er en av gjengangerfeilene i sjangeren.

Skriv gjerne én setning om antakelsen: «Overflaten er stor sammenlignet med hullet, så jeg setter $v_1 \approx 0$.»

$$v = \sqrt{2gH}.$$

Utledningen (den du skal kunne gjennomføre på eksamen): velg punkt 1 på overflaten og punkt 2 i hullet, med nullnivå i hullet.

- I punkt 1: trykket er $p_0$ (åpen beholder), farten er $\approx 0$ (stor overflate), høyden er $H$.
- I punkt 2: trykket er $p_0$ (strålen går ut i lufta), høyden er 0, farten er $v$.

Bernoulli gir

$$p_0 + \rho gH + 0 = p_0 + 0 + \tfrac12\rho v^2.$$

Atmosfæretrykket står på begge sider og stryker. Tettheten forkortes bort, og vi står igjen med $gH = \tfrac12 v^2$, altså $v = \sqrt{2gH}$.

Legg merke til to ting. For det første er dette samme uttrykk som for et fritt fall fra høyden $H$ (se kap. 2.2) — ikke tilfeldig, siden begge er energibevaring. For det andre forsvinner både tettheten og trykket: kvikksølv og vann strømmer ut med samme fart fra samme dybde.

Bernoullis likning gjelder for et idealfluid i stasjonær strøm langs en strømlinje. De tre betingelsene er:

1. Inkompressibelt — tettheten $\rho$ er konstant. Godt oppfylt for væsker, dårligere for gasser i høy fart.
2. Ikke-viskøst — ingen indre friksjon. Væsken taper ikke energi til varme underveis.
3. Stasjonær strøm — fart og trykk i hvert punkt er konstante over tid.

I tillegg må de to punktene ligge på samme strømlinje, og det må ikke tilføres eller tas ut energi mellom dem.

Skriv disse tre i besvarelsen når oppgaven inviterer til det — og en oppgave som slutter med «vurder» eller «gjør rede for antakelsene» inviterer alltid.

I en viskøs væske går mekanisk energi tapt til varme underveis, akkurat som friksjonsleddet $R\cdot s$ i kap. 2.2. Da er ikke summen $p + \rho gh + \tfrac12\rho v^2$ konstant, men avtakende i strømretningen — og Bernoulli overestimerer farten.

Praktisk konsekvens: Bernoulli gir gode svar for vann i korte, vide rør, men blir stadig dårligere for tykke væsker og for lange, trange ledninger.

Kjenn igjen disse, for de er selve gyldighetsvurderingen:

1. Viskøs væske. Lava, sirup, olje, blod i tynne årer. Energitap til indre friksjon.
2. Flerfasestrøm. Væske med gassbobler eller faste partikler — lava med gassbobler og krystaller er skoleeksempelet. Da er ikke tettheten en veldefinert konstant.
3. Ikke-stasjonær strøm. En tank som tømmes raskt, en trykkbølge, en ventil som åpnes brått.
4. Energi tilføres eller tas ut mellom punktene. En pumpe tilfører energi, en turbin tar ut energi. Bernoulli mellom et punkt før og et punkt etter en pumpe er alltid feil — leddene balanserer ikke, fordi pumpearbeidet mangler i regnskapet.

Konklusjonen skal være skarp, ikke helgardert: «Lava er en viskøs flerfasestrøm, så Bernoulli gir bare en øvre grense for farten — den virkelige farten er lavere.»

$$\Delta p \propto \frac{l}{r^4}.$$

Selve formelen med konstanter og viskositeten $\eta$ hentes fra tabellverket når du trenger den. Innsikten du skal ha, er fjerdepotensen:

- Halveres radien, må trykkfallet være $2^4 = 16$ ganger større for samme strøm.
- Reduseres radien med bare 20 %, må trykkfallet øke med faktoren $1/0{,}80^4 = 2{,}4$ — altså mer enn en dobling.

Dette er medisinsk viktig: en beskjeden forkalkning eller sammentrekning i en blodåre endrer strømningsmotstanden dramatisk, og hjertet må jobbe tilsvarende hardere. Samme innsikt forklarer hvorfor en tett nese er så påfallende — en liten hevelse i slimhinnen gir stor motstandsøkning.

Merk hvor dette skiller seg fra Bernoulli: Poiseuille handler nettopp om det Bernoulli ser bort fra, nemlig viskositeten.

En strømlinje er kurven en tenkt væskepartikkel følger gjennom strømmen. I stasjonær strøm er strømlinjene faste i rommet, og de tegnes tettere der farten er stor.

Bernoullis likning gjelder langs en strømlinje. Det er sjelden en praktisk begrensning i eksamensoppgavene — reservoaroverflaten og hullet ligger på samme strømlinje — men det er verdt å nevne når en oppgave ber om betingelsene.

Navnet på fenomenet at trykket faller i en innsnevring fordi farten øker. Effekten brukes praktisk i venturimåler (måler volumstrøm ved å måle trykkfallet over en kjent innsnevring), i forstøvere og i karburatorer.

Sammenhengen: kontinuitet gir større fart i det trange partiet, og Bernoulli oversetter fartsøkningen til et trykkfall, $p_1 - p_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2)$.

Vinden må øke farten når den passerer over en takrygg, på samme måte som i en innsnevring. Etter Bernoulli betyr større fart lavere trykk, så trykket over taket blir mindre enn trykket i den nesten stillestående lufta inne i huset.

Trykkforskjellen virker på hele takflaten, og fordi arealet er stort, blir kraften stor. Det er samme mekanisme som gir løft på en flyvinge — og en av de mest brukte kvalitative Bernoulli-oppgavene.

De omregningene du trenger i praksis:

- $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$
- $1\ \text{L/s} = 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$
- $1\ \text{L/min} = \dfrac{10^{-3}}{60}\ \text{m}^3/\text{s} = 1{,}67\cdot 10^{-5}\ \text{m}^3/\text{s}$

Regn alltid om til $\text{m}^3/\text{s}$ før du setter inn i formlene, og gjør om tilbake til liter i svaret hvis oppgaven bruker liter. Det er lettere å lese rimeligheten av «4,4 L/s» enn av «$4{,}4\cdot 10^{-3}$ $\text{m}^3/\text{s}$».

$$t = \frac{V}{q_V}.$$

To advarsler. For det første må volumstrømmen være konstant for at dette skal være eksakt. For det andre er den ikke konstant når en tank tømmes gjennom et hull: farten går som $\sqrt{H}$, og $H$ synker underveis, så strømmen avtar. Tømmetiden blir derfor lengre enn $V/q_V$ regnet med starthøyden — den utregningen gir en nedre grense.

Tre navn du kan møte i oppgavetekster:

- Statisk trykk $p$ — det et manometer i rørveggen måler.
- Dynamisk trykk $\tfrac12\rho v^2$ — bidraget fra farten.
- Totaltrykk (stagnasjonstrykk) $p + \tfrac12\rho v^2$ — det du måler med et rør som peker rett mot strømmen, slik at væsken bremses til null der.

Differansen mellom totaltrykk og statisk trykk gir farten. Det er prinsippet bak pitotrøret som måler farten til et fly.

$$\tfrac12\rho v^2 = p_{\text{tot}} - p \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2(p_{\text{tot}} - p)}{\rho}}.$$

Dette er hvordan et fly måler farten sin gjennom lufta. Utledningen er ren Bernoulli mellom et punkt i den frie strømmen og et punkt der farten er bremset til null.

Bernoulli forutsetter i praksis laminær, stasjonær strøm. I turbulent strøm går mye energi til virvler og varme, og ligningen overestimerer farten. Poiseuille-uttrykket gjelder også bare laminært. Grensen mellom de to bestemmes av fart, rørdiameter, tetthet og viskositet, men selve kriteriet er ikke pensum her.

$$v_2 = \sqrt{2g\,\Delta h},$$

der $\Delta h$ er høydeforskjellen mellom overflaten og utløpet — ikke toppen av slangen. Igjen samme Torricelli-uttrykk.

Betingelsen for at sifongen virker, er at utløpet ligger lavere enn overflaten. Ligger det høyere, stopper strømmen.