3.3 Drill: Bernoulli-verktøykassen

Sjangerdrill på fluid-oppgaven: punktvalg, Torricelli, kontinuitet og gyldighetsvurdering i alle varianter.

75 min

10 oppgaver

DrillBernoulli-verktøykassen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.2Bernoulli, kontinuitet og Torricelli — med gyldighetsvurdering

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Fluidmekanikk

Høyeste prioritet. Dette drillkapitlet trener sjanger F — kortkoden vår for fluidmekanikk — som opptrer i 23 av 36 slutteksamener (64 %) og i så godt som alle midtsemestereksamener. Sammen med sjanger Q (kortkoden for kvalitative forklaringer) dekker de to den komplette fluid-oppgaven. Hele kodelista A–Q står i kap. 0.1.

Variantene arkivet bruker, er en kort liste — og du møter alle her:

- tank eller reservoar med hull (Torricelli),
- innsnevret rør med målt trykkfall (venturi),
- hageslange og munnstykke (kontinuitet),
- magma opp gjennom en kanal (Bernoulli med gyldighetsvurdering),
- blodstrøm i årer (viskositet, kjenne-stoff),
- og en kombinasjon med hydrostatikk og oppdrift fra kap. 3.1.

Gyldighetsvurderingen er der toppnivåpoengene ligger. En oppgave som slutter med «vurder», «gjør rede for antakelsene» eller «forklar hvorfor dette bare er et overslag», ber om nettopp det — og å hoppe over halen er den vanligste måten å tape poeng i en ellers riktig besvarelse.

Kapitlet er en verksted-økt på 75 minutter, delt i tre deler à omtrent 25 minutter med pausepunkter. Én del per økt går helt fint.

Formelark-status: alle formlene ( $q_V = Av$ , $A_1v_1 = A_2v_2$ , Bernoulli, $p = p_0 + \rho gh$ , $B = \rho Vg$ ) står på formelarket eller i tabellverket. Det du drilles i her, er punktvalget, strykingen av ledd og vurderingen — tre ting som ikke står noe sted.

Sist du var her — verktøyene du trenger, ferdig oppfrisket:

- Kontinuitet og volumstrøm (kap. 3.2): $q_V = Av$ og $A_1v_1 = A_2v_2$ . For sirkulære rør er $A = \pi r^2$ , så halvert diameter gir firedoblet fart.
- Bernoullis likning (kap. 3.2): $p_1 + \rho gh_1 + \tfrac12\rho v_1^2 = p_2 + \rho gh_2 + \tfrac12\rho v_2^2$ , og spesialtilfellet Torricelli $v = \sqrt{2gH}$ .
- Hydrostatikk og oppdrift (kap. 3.1): $p = p_0 + \rho gh$ (absolutt trykk) og $B = \rho_{\text{væske}}V_{\text{neds}}\,g$ .
- Gyldighetsbetingelsene: inkompressibelt, ikke-viskøst, stasjonær strøm — og ingen pumpe eller turbin mellom punktene.

Vi bruker $g = 9{,}81$ $\text{m/s}^2$ , $p_0 = 1{,}01\cdot 10^{5}$ Pa og $\rho_{\text{vann}} = 1{,}00\cdot 10^{3}$ $\text{kg/m}^3$ . Alle hentes fra formelark og tabellverk.

Her lærer du ingenting nytt. Du lærer å velge punkter raskt, stryke ledd trygt og skrive gyldighetshalen uten å tenke deg om. Det er det som gjør forskjellen mellom å bruke tjue minutter på fluid-oppgaven og å bruke åtte.

📜Løsningsoppskriften — Bernoulli-verktøykassen i sju trinn

1. Skisser strømmen og navngi punktene. Sett punkt 1 og punkt 2 der du kjenner flest størrelser. Skriv ved hvert punkt hva du kjenner: trykk, fart, høyde, areal.

2. Sett $v \approx 0$ der tverrsnittet er stort — en fri reservoaroverflate, et stort kammer. Begrunn det med kontinuitetslikningen i én setning, og gjør det bare når arealforholdet virkelig er stort.

3. Skriv opp alle seks leddene i Bernoulli, og stryk. Vannrett strøm: $\rho gh$ -leddene stryker. Åpent mot lufta i begge punkter: trykkleddene stryker. Strykingen skal være synlig på papiret.

4. Bruk kontinuitet hvis to tverrsnitt inngår. $A_1v_1 = A_2v_2$ knytter de to fartene, slik at Bernoulli får bare én ukjent.

5. Volumstrøm hvis spurt. $q_V = Av$ i det tverrsnittet oppgaven spør om. Svar i $\text{m}^3/\text{s}$ , og gjerne i L/s i tillegg.

6. Gyldighetsvurdering når konteksten inviterer. Alltid ved «vurder», «gjør rede for» eller «forklar hvorfor». Gå gjennom de tre betingelsene, si hvilke som brytes, og konkluder skarpt om svaret er en øvre eller nedre grense.

7. Enheter og siffer på hvert svar, og én rimelighetssetning til slutt.

Trinn 1 og 3 er der de fleste poengene sitter. Trinn 6 er der toppkarakteren sitter.

Del 1 av 3: den gjennomregnede eksamenscasen (~25 min)

Under står en komplett fluid-oppgave med fem deloppgavetyper. Etter hvert trinn står et poengnotat som sier hvor poengene ligger, slik løsningsforslagene i arkivet fordeler dem.

✏️Gjennomregnet eksamenscase: fjellreservoaret

Et åpent vannreservoar i fjellet har fri overflate 26 m over et vannrett utløpsrør. Røret har innvendig diameter 5,0 cm og ender i et munnstykke med diameter 2,0 cm. Strålen går ut i fri luft.

a) Finn farten i munnstykket.
b) Finn volumstrømmen ut av munnstykket.
c) Finn farten inne i det brede røret.
d) Finn det absolutte trykket i det brede røret rett før munnstykket.
e) Gjør rede for antakelsene utregningene hviler på, og vurder hvor gode de er.

Punktvalg. Punkt 1: reservoaroverflaten (

p = p_0

v_1 \approx 0

fordi overflaten er stor,

h_1 = 26

m). Punkt 2: inne i det brede røret (

h_2 = 0

). Punkt 3: munnstykket (

p = p_0

h_3 = 0

). Nullnivå i røret.

---

a) Punkt 1 → punkt 3 gir Torricelli.

$p_0 + \rho gH + 0 = p_0 + 0 + \tfrac12\rho v_3^2.$

Trykkleddene er like og stryker, og tettheten forkortes bort:

$v_3 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2\cdot 26\ \text{m}} = \sqrt{510\ \text{m}^2/\text{s}^2} = 22{,}6\ \text{m/s}.$

Svar a): farten i munnstykket er $22{,}6$ m/s.

> Poengnotat: poengene ligger i punktvalget og i de to strykingene — at begge punkter er åpne mot lufta, og at overflaten er stor nok til at $v_1 \approx 0$ . Setter du inn Torricelli uten å vise hvorfor, mister du begrunnelsespoenget selv med riktig tall.

---

b) Volumstrøm i munnstykket.

$A_3 = \pi r_3^2 = \pi (1{,}0\cdot 10^{-2}\ \text{m})^2 = 3{,}14\cdot 10^{-4}\ \text{m}^2.$

$q_V = A_3v_3 = 3{,}14\cdot 10^{-4}\ \text{m}^2\cdot 22{,}6\ \text{m/s} = 7{,}10\cdot 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s} = 7{,}10\ \text{L/s}.$

Svar b): $7{,}10\cdot 10^{-3}$ $\text{m}^3/\text{s}$ , altså $7{,}1$ L/s.

> Poengnotat: her sitter poengene i radien (ikke diameteren!) og i enhetene. Bruker du $2{,}0$ cm som radius, blir arealet fire ganger for stort.

---

c) Kontinuitet gir farten i det brede røret.

$A_2 = \pi (2{,}5\cdot 10^{-2}\ \text{m})^2 = 1{,}96\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2.$

$v_2 = \frac{q_V}{A_2} = \frac{7{,}10\cdot 10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}}{1{,}96\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2} = 3{,}61\ \text{m/s}.$

Svar c): farten i det brede røret er $3{,}61$ m/s.

Kontroll: arealforholdet er $(5{,}0/2{,}0)^2 = 6{,}25$ , og $22{,}6/6{,}25 = 3{,}62$ . Det stemmer.

---

d) Bernoulli fra punkt 1 til punkt 2.

$p_0 + \rho gH + 0 = p_2 + 0 + \tfrac12\rho v_2^2$

$p_2 = p_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v_2^2.$

$p_2 = 1{,}01\cdot 10^{5}\ \text{Pa} + 1{,}00\cdot 10^{3}\cdot 9{,}81\cdot 26\ \text{Pa} - 500\cdot (3{,}61)^2\ \text{Pa}$

$p_2 = 1{,}01\cdot 10^{5} + 2{,}551\cdot 10^{5} - 6{,}53\cdot 10^{3}\ \text{Pa} = 3{,}50\cdot 10^{5}\ \text{Pa}.$

Svar d): det absolutte trykket i det brede røret er $3{,}50\cdot 10^{5}$ Pa, altså $3{,}50$ bar.

> Poengnotat: her er poengene i at $p_0$ er med (oppgaven ba om absolutt trykk) og i at fartsleddet trekkes fra. Legg merke til at trykket i røret er langt større enn i strålen: i røret er nesten hele høydetrykket fremdeles «lagret» som trykk, mens det i munnstykket er vekslet inn i fart.

---

e) Antakelser og vurdering.

1. Inkompressibelt fluid. Vann har praktisk talt konstant tetthet. Meget godt oppfylt.
2. Ikke-viskøst fluid. Vi har neglisjert indre friksjon og friksjon mot rørveggen. For vann er viskositeten lav, men røret fra et fjellreservoar er ofte langt — og friksjonstapene over hundrevis av meter er ikke ubetydelige. Dette er den svakeste antakelsen her.
3. Stasjonær strøm. Reservoaret er stort, så nivået synker langsomt og $H$ kan regnes konstant. Godt oppfylt.
4. $v_1 \approx 0$ . Overflatens areal er enormt mot munnstykkets. Meget godt oppfylt.

Konklusjon: de utregnede fartene og volumstrømmen er øvre grenser. Den virkelige utstrømningsfarten er lavere enn 22,6 m/s, og trykket i røret noe lavere enn 3,50 bar, fordi rørfriksjonen tar en del av høydeenergien.

> Poengnotat: merk konklusjonsformen — den lander skarpt på én side («øvre grense»), i stedet for å helgardere med «det kan være høyere eller lavere». Helgardering trekker.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — sjanger F, altså fluidmekanikk.) Et rør har innvendig diameter 3,0 cm. Vannet strømmer med farten 2,0 m/s.

a) Finn tverrsnittsarealet.
b) Finn volumstrømmen i $\text{m}^3/\text{s}$ og i L/s.

📝Oppgave 2

Sjanger F

En stor, åpen beholder er fylt med vann til 3,6 m over et lite hull i sideveggen. Hullet har areal 2,2 $\text{cm}^2$ .

a) Finn utstrømningsfarten.
b) Finn volumstrømmen.
c) Hvor lang tid tar det å fylle en bøtte på 20 L? Forklar hvorfor svaret er en nedre grense for den virkelige tiden.

— naturlig pausepunkt —

Del 2 av 3: innsnevringer, målere og en kombinasjonsoppgave (~25 min)

Nå snur vi regningen: i stedet for å regne trykkfall fra farten, regner vi farten fra et målt trykkfall. Det er slik en venturimåler virker, og det er en gjenganger i arkivet.

📝Oppgave 3

Sjanger F

Vann strømmer gjennom et vannrett rør som snevres inn fra tverrsnittsareal 5,0 $\text{cm}^2$ til 1,5 $\text{cm}^2$ . Trykkfallet over innsnevringen måles til 6,0 kPa.

a) Finn farten i det trange partiet.
b) Finn farten i det brede partiet og volumstrømmen.
c) Forklar med én setning hvorfor trykket er lavest der farten er størst.

📝Oppgave 4

Sjanger F

En venturimåler har hovedtverrsnitt 12 $\text{cm}^2$ og en hals med tverrsnitt 4,0 $\text{cm}^2$ . Røret er vannrett, og trykkforskjellen mellom hovedrøret og halsen måles til 3,2 kPa.

a) Skisser oppsettet med de to punktene og de to trykkuttakene, og skriv hva du kjenner i hvert punkt.
b) Finn farten i hovedrøret.
c) Finn volumstrømmen.

📝Oppgave 5

Sjanger F

En sylindrisk tank har grunnflate 0,80 $\text{m}^2$ og er fylt med vann til høyden 1,4 m. I bunnen er det et hull med areal 4,0 $\text{cm}^2$ , lukket med en propp.

a) Finn det absolutte trykket og overtrykket mot proppen.
b) Finn kraften vannet alene presser proppen ut med.
c) En trekloss med tetthet $0{,}60\cdot 10^{3}$ $\text{kg/m}^3$ og volum $2{,}0\cdot 10^{-3}$ $\text{m}^3$ legges i tanken og flyter. Hvor mye stiger vannivået?
d) Hvor mye øker overtrykket mot proppen på grunn av klossen?

— naturlig pausepunkt —

Del 3 av 3: gyldighetshalene og de kvalitative poengene (~25 min)

Siste del er den som skiller toppsjiktet. Alle oppgavene her handler om når verktøyet gjelder — og hva svaret er verdt når det ikke gjør det.

📝Oppgave 6

Sjanger F + Q

I en enkel modell av et vulkanutbrudd presses magma opp gjennom en kanal fra et magmakammer som ligger 1,8 km under overflaten. Trykket i kammeret er $5{,}2\cdot 10^{7}$ Pa, magmaens tetthet er $2{,}7\cdot 10^{3}$ $\text{kg/m}^3$ , og trykket ved åpningen er atmosfæretrykk. Kammeret er stort sammenlignet med kanalen.

a) Bruk Bernoullis likning til å anslå farten magmaen kommer ut med.
b) Vurder hvor mye dette anslaget er verdt.

📝Oppgave 7

Sjanger Q

Bernoullis likning gir brukbare svar for blodstrømmen i store arterier, men er ubrukelig i kapillærene, der årene er noen få mikrometer vide.

Forklar forskjellen, og si hvilket verktøy som er riktig i kapillærene.

📝Oppgave 8

Sjanger Q

En student regner på et rør som snevres fra 5,0 $\text{cm}^2$ til 1,5 $\text{cm}^2$ , og setter farten i det brede partiet til null «fordi det er det brede partiet».

Vurder framgangsmåten, og si når antakelsen $v \approx 0$ faktisk er forsvarlig.

📝Oppgave 9

Sjanger F

Fra en stor, åpen tank strømmer det ut 0,90 L/s gjennom et hull med areal 1,8 $\text{cm}^2$ .

a) Finn utstrømningsfarten.
b) Finn hvor høyt vannivået står over hullet.

📝Oppgave 10

Sjanger Q + F

I et lite vannkraftverk står en turbin i et rør. Trykket rett før turbinen er $3{,}8\cdot 10^{5}$ Pa og rett etter $1{,}4\cdot 10^{5}$ Pa. Rørdiameteren er den samme på begge sider, og volumstrømmen er $0{,}045$ $\text{m}^3/\text{s}$ .

a) Forklar hvorfor Bernoullis likning ikke kan brukes mellom de to punktene.
b) Finn effekten turbinen henter ut av vannstrømmen, og forklar oppsettet.

Typiske feil

Feilene under er nummerert i forlengelsen av feilkatalogen for Del 1 (kap. 1.6) — nummeret er bare en etikett så du kan slå opp feilen igjen senere.

- Feil #15 — bruke Bernoulli ukritisk. Å regne uten å nevne betingelsene koster toppnivåpoengene. Slutter oppgaven med «vurder» eller «gjør rede for», er gyldighetshalen en egen deloppgave i praksis.
- Droppe gyldighetshalen helt. Den vanligste måten å tape poeng i en ellers korrekt fluid-besvarelse.
- Sette $v \approx 0$ der arealforholdet er lite. Antakelsen krever en fri overflate eller et stort kammer, ikke bare «det brede partiet».
- Bruke Bernoulli over en pumpe eller turbin. Velg punkter på samme side, eller legg til arbeidsleddet.
- Bruke diameter i stedet for radius i $A = \pi r^2$ . Gir fire ganger for stort areal og fire ganger for liten fart.
- Feil arealomregning. $1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$ .
- Blande fart og volumstrøm. «Hvor mye vann per sekund» er en volumstrøm i $\text{m}^3/\text{s}$ eller L/s.
- Glemme $p_0$ når absolutt trykk etterspørres, eller ta det med når overtrykket etterspørres.
- Helgardere konklusjonen. «Svaret kan være for høyt eller for lavt» gir trekk. Energitap gir alltid lavere fart — si det.
- Svar uten enhet, eller for mange siffer. To–tre gjeldende siffer, og enhet på hvert tall.

Begrepsbank

Dette er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Punktvalg-katalogen

p_0

Gyldighetshalen — malen

Tre setninger som passer i nesten alle vurderingsoppgaver: 1. Betingelsene: «Bernoulli forutsetter et inkompressibelt, ikke-viskøst fluid i stasjonær strøm.» 2. Bruddet: «Her er væsken svært viskøs / inneholder gassbobler / strømmen er støtvis, så \dots» 3. Konklusjonen: «\dots energitapene er ikke med i regnskapet, og svaret er derfor en øvre grense for farten.» Ikke helgarder. Energitap gir alltid lavere fart enn Bernoulli forutsier — retningen er sikker selv når størrelsen ikke er det.

Øvre og nedre grenser

To retninger du bør ha automatisert: - Neglisjert friksjon eller viskositet \to utregnet fart blir for høy (øvre grense), og utregnet tid blir for kort (nedre grense). - Regnet med starthøyden gjennom hele tømmingen \to utregnet volumstrøm blir for stor, og fylletiden for kort. Skal du snu resonnementet — som når du finner høyden fra en målt strøm — snus også retningen: den virkelige høyden må være større enn den utregnede, fordi noe av trykket går til friksjon.

Effekt fra en væskestrøm

1\ \text{Pa} = 1\ \text{J/m}^3

Tidsbudsjett for en fluid-oppgave

En typisk fluid-oppgave på eksamen har fire til fem deloppgaver à 4 poeng, altså om lag 45 minutter i eksamenstempo. Erfaringen fra drillen her: - skisse og punktvalg: 2-3 minutter (og de sparer deg for mer enn det senere), - hver regnedeloppgave: 5-8 minutter, - gyldighetshalen: 3-4 minutter. Rekker du ikke alt, ta gyldighetshalen likevel — den er ofte den billigste deloppgaven i hele oppgaven, siden den ikke krever regning.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.