7.4 Avsluttende simulering 2: gammelt regime (egenverdier + potensrekker)

Oppgavesettet — avsluttende eksamen (4 timer, kalkulator + formelsamling)

Alle 10 deloppgaver teller likt. Begrunn alle svar; vis nok mellomregning. Eksakte svar.

La $M=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}4\\0{,}3&0{,}6\end{pmatrix}$ (en Markov-matrise; søylesummene er $1$).

O1 a) Finn egenverdiene til $M$ og en egenvektor for hver.

O1 b) Skriv startvektoren $x_0=(1,0)^T$ som en lineærkombinasjon av egenvektorene, og bestem $\displaystyle\lim_{n\to\infty}M^n x_0$.

O2 La $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$. Diagonaliser $A$ og bruk diagonaliseringen til å finne en matrise $B$ med $B^2=A$. Begrunn også kort at egenvektorer som hører til to forskjellige egenverdier, er lineært uavhengige.

O3 a) Bestem konvergensområdet til potensrekken $\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ (husk endepunktene, og navngi testene du bruker).

O3 b) Finn et lukket uttrykk for summen $\displaystyle f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ på konvergensområdet, og bruk det til å regne ut $\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\,2^n}$.

O4 Regn ut $\displaystyle \displaystyle\iint_D\left(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\right)dA$ der $D$ er ellipseskiven $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}\le1$, ved et passende variabelskifte.

O5 La $C$ være randkurven til området $D=\{(x,y):0\le x\le1,\ x^2\le y\le x\}$, orientert mot klokka. Regn ut $\displaystyle\oint_C xy\,dx+x^2\,dy$ med Greens teorem.

O6 La $F=(z,x,y)$ og la $C$ være enhetssirkelen $x^2+y^2=1$ i planet $z=0$, orientert mot klokka sett ovenfra. Bruk Stokes' teorem til å regne $\displaystyle\oint_C F\cdot dr$.

O7 La $F(x)=Ax+b$ med $A=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2\\0{,}1&0{,}3\end{pmatrix}$ og $b=(0{,}8;\ 0{,}5)^T$. Vis at $F$ er en kontraksjon, og finn fikspunktet.

O8 Finn arealet av den delen av kjeglen $z=\sqrt{x^2+y^2}$ som ligger over skiven $x^2+y^2\le4$.

- ☐ Fant egenvektorene fra $(M-\lambda I)v=0$ og brukte EGENVEKTORDEKOMPONERING (ikke $M^n$ direkte) i O1b
- ☐ Fikk riktig rekkefølge $B=P\sqrt{D}\,P^{-1}$ og skrev et gyldig teoribevis for lineær uavhengighet i O2
- ☐ Gjorde ENDEPUNKTSJEKKEN med navngitte tester (harmonisk/Leibniz) i O3a
- ☐ Deriverte leddvis og kontrollerte at $x=\tfrac12$ ligger i konvergensområdet i O3b
- ☐ Regnet Jacobideterminanten med ABSOLUTTVERDI i O4
- ☐ Sjekket orienteringen (mot klokka $\Rightarrow$ positivt Green) i O5
- ☐ Koblet $n$ og $C$ med høyrehåndsregelen i O6
- ☐ Knyttet kontraksjonen til en matrisenorm $<1$ i O7 (ikke bare påstod den)
- ☐ Ga eksakte svar hele veien ($\tfrac47,\tfrac37$; $\ln2$; $3\pi$; $\tfrac{1}{12}$; $\pi$; $(2,1)$; $4\sqrt2\,\pi$)