7.3 Avsluttende simulering 1: V2025-regimet (vektoranalyse-tung) | MAT1110 Kalkulus og lineær algebra

Et komplett 4-timers avsluttende sett etter V2025-malen: 10 deloppgaver som teller likt, kalkulator + utdelt formelsamling, «begrunn alle svar». Settet er vektoranalyse-tungt og bygger mot divergensteoremet i O6.

- Regime: dette speiler det nye tyngdepunktet (V2025): basis/invers + funksjonsteorem-åpning, optimering, multiple integraler, og vektoranalyse-kjeden. Beredskapsstoffet (egenverdier/potensrekker) trenes i kap. 7.4 i stedet.
- Tidsbudsjett: ~24 min per deloppgave. Les hele settet først — delpunktene er kjedet: O1b bruker inversen fra O1a, og O6c bruker O6a og O6b.
- Føring: kap. 7.1. Navngi teoremene, kontroller normalretningen ( $n$ ut av $V$ ), og gi eksakte svar ( $\pi$ , $\tfrac{\pi}{2}$ ).

Løsningsforslagene er nyskrevne modellbesvarelser og ligger i utvidbare bokser under settet.

Forkunnskaper. Hele Del 1–5: kap. 1.3 (invers), kap. 2.3 (funksjonsteoremene), kap. 3.1–3.2 (Hesse, Lagrange, ekstremalverdisetningen), kap. 4.1–4.4 (dobbelt-, trippel- og uegentlige integraler) og kap. 5.1–5.6 (parametrisering, fluks, divergensteoremet). Har du gjort drillen i kap. 5.6, er O6-kjeden kjent terreng.

Oppgavesettet — avsluttende eksamen (4 timer, kalkulator + formelsamling)

Alle 10 deloppgaver teller likt. Begrunn alle svar; vis nok mellomregning. Eksakte svar.

La $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}$ .

O1 a) Vis at $A$ er inverterbar og finn $A^{-1}$ ved å radredusere $[A\,|\,I_3]$ med merkede radoperasjoner.

O1 b) La $F(x,y,z)=\big(x+y+z+yz,\ x+2y+2z+x^2,\ x+2y+3z+z^2\big)$ . Vis at $F'(0,0,0)=A$ , forklar ved omvendt funksjonsteorem at $F$ er lokalt inverterbar nær origo, og finn Jacobi-matrisen til $F^{-1}$ i punktet $F(0,0,0)$ .

O2 Finn de stasjonære punktene til $f(x,y)=x^4+y^4-4xy$ og klassifiser dem med Hesse-matrisen.

O3 a) Finn kandidatpunktene for største og minste verdi av $f(x,y,z)=x+2y+3z$ under bibetingelsen $x^2+y^2+z^2=14$ med Lagranges metode (gjør $\nabla g=0$ -sjekken).

O3 b) Begrunn at ekstremalverdiene faktisk antas, og konkludér med største og minste verdi.

O4 La $A$ være området $\{(x,y):x\ge0,\ 0\le y\le x\}$ . Avgjør om det uegentlige integralet $\displaystyle\iint_{A} y\,e^{-x}\,dA$ konvergerer, og finn i så fall verdien.

O5 Finn volumet av området avgrenset nedenfra av paraboloiden $z=x^2+y^2$ og ovenfra av paraboloiden $z=2-(x^2+y^2)$ .

La $F=(x,y,z)$ og la $V$ være området avgrenset nedenfra av paraboloiden $z=x^2+y^2$ og ovenfra av planet $z=1$ . Skisser området $V$ (et snitt gjennom $z$ -aksen holder), og løs:

O6 a) Regn fluksen av $F$ ut gjennom topplokket $T_2$ : $z=1$ , $x^2+y^2\le1$ , med utadrettet normal.

O6 b) Regn $\displaystyle\iiint_V \operatorname{div}F\,dV$ .

O6 c) Bruk divergensteoremet til å finne fluksen av $F$ ut gjennom den krumme paraboloide-delflaten $T_1$ .

Typiske feil

De dyreste tabbene i et 4-timers V2025-sett med vektoranalyse som klimaks:

- Tidsfordeling. Sikt mot ~24 min per deloppgave. Den kjedede O6-kjeden er tung og gir mye — ikke bruk opp tiden tidlig, så du rekker den.
- Fortegns- og orienteringsfeil i fluks-kjeden. Kontroller at $\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v$ peker samme vei som oppgitt $n$ ; at $n$ er ut av $V$ i divergensteoremet; snu fortegnet hvis parametriseringen ga feil retning.
- Glemt eksistensbegrunnelse i Lagrange. Navngi ekstremalverdisetningen (lukket, begrenset mengde) før du konkluderer at maks/min finnes, og gjør $\nabla g = 0$ -sjekken.
- Desimalsvar i stedet for eksakt. Behold $\pi$ , $\tfrac{\pi}{2}$ og brøker. En desimaltilnærming gir ikke full uttelling selv om kalkulatoren er tillatt.
- Glemt å gjenbruke delsvar. O1b bruker inversen fra O1a; O6c bruker fluksen fra O6a og trippelintegralet fra O6b. Vis koblingen — sett tidligere delsvar inn som symbol om du mangler et tall.
- Grenser ikke skrevet som ulikheter. Skriv integrasjonsområdet som eksplisitte ulikheter før oppsettet.

Løsningsforslag O1 (invers + omvendt funksjonsteorem, kjedet)

Løsningsforslag O2 (stasjonære + Hesse)

Løsningsforslag O3 (Lagrange + eksistensbegrunnelse)

Løsningsforslag O4 (uegentlig dobbeltintegral)

Løsningsforslag O5 (trippelintegral, sylinder)

Løsningsforslag O6 (vektoranalyse-kjeden: fluks → div → divergensteoremet)

Selvdiagnose — kryss av det du fikk til uten å slå opp:

- ☐ Merket radoperasjonene i $[A\,|\,I]$ og GJENBRUKTE $A^{-1}$ som $(F^{-1})'(0)$ i O1b, med omvendt funksjonsteorem navngitt
- ☐ Fant alle tre reelle stasjonære punktene i O2 og satte opp Hesse eksplisitt
- ☐ Gjorde $\nabla g=0$ -sjekken i O3a og navnga ekstremalverdisetningen med kompakthet i O3b
- ☐ Brukte voksende kompakter + lim (ikke «sett inn $\infty$ ») i O4
- ☐ Løste skjæringen $r=1$ FØR oppsettet i O5, med riktig volumelement $r\,dz\,dr\,d\theta$
- ☐ Gjorde fortegnskontrollen ( $n$ ut av $V$ ) og navnga divergensteoremet i O6c
- ☐ GJENBRUKTE O6a og O6b i O6c i stedet for å regne den krumme flaten direkte
- ☐ Ga eksakte svar hele veien ( $\pi$ , $\tfrac{3\pi}{2}$ , $\tfrac{\pi}{2}$ )

Symbol- og formelliste