7.2 Midtveissimulering: lineær algebra og flervariabel (uten hjelpemidler)

Oppgavesettet — midtsemester (uten hjelpemidler)

Alle svar skal begrunnes. Vis nok mellomregning til at man lett kan følge argumentene. Eksakte svar.

La $A=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\1&0&2\end{pmatrix}$.

O1 a) Avgjør om søylene i $A$ danner en basis for $\mathbb{R}^3$, og finn $A^{-1}$ ved å radredusere $[A\,|\,I_3]$ med merkede radoperasjoner.

O1 b) Bruk $A^{-1}$ fra a) til å løse $Ax=(4,2,3)^T$.

O2 La $B=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$. Finn egenverdiene og en egenvektor for hver.

O3 La $f(x,y)=x^3-xy+y^2$. Finn tangentplanet til grafen $z=f(x,y)$ i punktet over $(1,2)$, og bruk lineariseringen til å anslå $f(1{,}1;\,1{,}9)$.

O4 Vis at likningen $x^2y+y^2=2$ definerer $y$ som en funksjon $y=\varphi(x)$ nær punktet $(1,1)$, og finn $\varphi'(1)$.

O5 Finn de stasjonære punktene til $f(x,y)=x^3-3xy+y^3$ og klassifiser dem med Hesse-matrisen.

- ☐ Merket alle radoperasjoner i $[A\,|\,I]$ og skrev «radekvivalent med $I_3$ $\Rightarrow$ basis»
- ☐ GJENBRUKTE $A^{-1}$ i O1b i stedet for å radredusere på nytt
- ☐ Fant begge egenvektorene fra $(B-\lambda I)v=0$ (ikke gjettet) og kontrollerte med spor/determinant
- ☐ Evaluerte gradienten i utviklingspunktet før tangentplanet i O3
- ☐ Gjorde forutsetningssjekken ($g(1,1)=0$ og $\partial g/\partial y\ne0$) og navnga implisitt funksjonsteorem i O4
- ☐ Reduserte $\nabla f=0$ til én variabel uten å miste punkter, og satte opp Hesse eksplisitt i O5
- ☐ Ga eksakte svar hele veien ($\tfrac{14}{5}$, $-\tfrac{2}{3}$, $-1$)