6.1 Separable differensiallikninger

$$y' = -2xy$$

at stigningstallet til grafen i hvert punkt er $-2x$ ganger funksjonsverdien der. Å løse likningen er å finne alle funksjoner som oppfyller den — ikke ett tall, men en hel funksjon.

En funksjon $y(x)$ er en løsning dersom innsetting av $y$ og $y'$ gjør likningen til en identitet på et intervall. For eksempel er $y = 3e^{-x^2}$ en løsning av $y'=-2xy$, fordi $y' = -6xe^{-x^2} = -2x\cdot 3e^{-x^2} = -2xy$ for alle $x$. Innsettingskontrollen er også din sluttkontroll på eksamen: deriver svaret ditt og sjekk at likningen stemmer.

En differensiallikning har normalt uendelig mange løsninger (én for hver verdi av integrasjonskonstanten). Et initialverdiproblem er likningen pluss en initialbetingelse $y(x_0)=y_0$ — et datapunkt som plukker ut én bestemt løsning. På eksamen er initialbetingelsen ofte et fysisk startpunkt: «temperaturen var 90 °C ved $t=0$».

$$y' = g(x)\,h(y)$$

— høyresiden er et produkt av en faktor som bare inneholder $x$ og en faktor som bare inneholder $y$. Da kan variablene skilles: alt med $y$ flyttes til venstre, alt med $x$ til høyre, og begge sider integreres. $y'=-2xy$ er separabel ($g(x)=-2x$, $h(y)=y$); $y' = x + y$ er det ikke (summen kan ikke faktoriseres slik — men den er lineær, se kap. 6.2).

En konstant løsning er en løsning på formen $y \equiv c$ (samme verdi for alle $x$). Da er $y'=0$, så $y\equiv c$ løser $y'=g(x)h(y)$ nøyaktig når $h(c)=0$. Konstante løsninger kalles også likevektsløsninger — systemet står stille der.

Hvorfor de er føringskritiske: i separasjonssteget deler vi på $h(y)$, og det er bare lov når $h(y)\neq 0$. Nullpunktene til $h$ må derfor noteres som egne løsninger først, og deretter sjekkes mot initialbetingelsen — først når de ikke passer, kan de avvises og divisjonen gjennomføres.

Den generelle løsningen er hele familien av løsninger, parametrisert av integrasjonskonstanten $C$ (eller $A$ etter omskriving) — for $y'=-2xy$ er den $y=Ae^{-x^2}$. Én konstant holder for en førsteordens likning: skriver du $C_1$ på venstre og $C_2$ på høyre side, slås de sammen til $C = C_2 - C_1$. En partikulær løsning er ett bestemt medlem av familien, plukket ut av initialbetingelsen.

$$y = A e^{G(x)}.$$

Tillater vi i tillegg $A=0$, fanger formelen også den konstante løsningen $y\equiv 0$ — nevn gjerne det. Poenget sensor ser etter: absoluttverdien er håndtert, ikke stille droppet.

$$y' = k\,y\,(M-y), \qquad k>0,$$

modellen for vekst med metning: for små $y$ er $y'\approx kMy$ (tilnærmet eksponentiell vekst), men veksten bremser når $y$ nærmer seg $M$, og stopper helt i $y=M$. Den beskriver epidemier, ryktespredning og populasjoner med begrensede ressurser — gjengangere i avslutningsoppgaven (kap. 6.3).

Konstanten $M$ i $y'=ky(M-y)$ er bæreevnen (metningsnivået): den øvre grensen veksten flater ut mot. Både $y\equiv 0$ og $y\equiv M$ er konstante løsninger (begge faktorer har nullpunkt), og enhver løsning som starter mellom $0$ og $M$, vokser mot $M$ når $x\to\infty$ uten å nå den. I anvendte oppgaver er $M$ f.eks. befolkningen som kan smittes, eller antallet som kan ha hørt ryktet.

Når høyresiden i $y'=f(x,y)$ er kontinuerlig og endrer seg glatt med $y$ nær punktet $(x_0,y_0)$, har initialverdiproblemet $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ nøyaktig én løsning på et intervall rundt $x_0$. To konsekvenser du kan bruke: (i) løsningskurver kan ikke krysse hverandre — derfor holdt løsningen i eksempel 3 seg mellom de konstante løsningene; (ii) svaret ditt er hele svaret. Randtilfellet: for $y'=\sqrt{y},\ y(0)=0$ svikter glattheten i $y=0$, og entydigheten ryker (både $y\equiv 0$ og $y=x^2/4$ passer for $x\ge 0$) — derfor er eksamensoppgavene stilt med initialbetingelser der teorien holder.

Selve grepet: skriv $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$, samle all $y$-avhengighet (inkl. $dy$) på venstre side og all $x$-avhengighet (inkl. $dx$) på høyre: $\displaystyle \frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx$. Gyldig først når konstante løsninger er notert (divisjonen krever $h(y)\neq 0$). Deretter integreres hver side for seg.

En eksplisitt løsning har formen $y =$ (uttrykk i $x$), som $y=3e^{-x^2}$. En implisitt løsning er en likning som knytter $y$ og $x$, som $e^y = x^2+1$ før logaritmen er tatt. Eksamensoppgavene vil normalt ha eksplisitt svar når det er mulig — «løs for $y$» er steg 4 i malen.

En løsning lever på et intervall, og det kan være mindre enn hele $\mathbb{R}$: $\displaystyle y=\frac{1}{x+1}$ (oppgave 5) lever på $x>-1$, og $y=\tan(x^2)$ (oppgave 3) krever $x^2<\pi/2$. Når svaret har brudd eller rotkrav, angi intervallet som inneholder initialpunktet.

Et retningsfelt tegner i hvert punkt $(x,y)$ en liten strek med stigning $f(x,y)$ — likningen $y'=f(x,y)$ som «kompassnåler». Løsningskurvene følger nålene. Konstante løsninger blir vannrette linjer i feltet, og at kurver ikke krysser (entydighet) synes direkte i bildet.

Det ene medlemmet av løsningsfamilien som initialbetingelsen plukker ut: den generelle løsningen $y=Ae^{3x}$ pluss betingelsen $y(0)=2$ gir den partikulære løsningen $y=2e^{3x}$. Eksamensspørsmålet «løs initialverdiproblemet» ber om den partikulære løsningen.

Likningen $y'=ky$ sier at endringen er proporsjonal med størrelsen selv; løsningen er $y = y_0e^{kx}$. Med $k>0$: eksponentiell vekst; med $k<0$: eksponentielt henfall (radioaktivitet, avkjølingsdifferanse). Dette er den enkleste separable likningen og grunnmuren i kap. 6.3-modellene.

En likevektsløsning er stabil hvis naboløsninger trekkes mot den ($y\equiv M$ i logistisk: løsninger under vokser opp mot $M$), og ustabil hvis de drives bort ($y\equiv 0$ i logistisk: enhver liten start vokser vekk). Nyttig tolkningsspråk i anvendte oppgaver — «bestanden stabiliserer seg mot bæreevnen».

Sluttkontrollen som hører til steg 5 i malen: deriver svaret ditt, sett $y$ og $y'$ inn i den opprinnelige likningen, og sjekk initialbetingelsen. Fanger fortegnsfeil, delbrøkfeil og konstantfeil — de tre vanligste regnefeilene i sjanger A — på under et minutt.

En vanlig likning har et tall som ukjent og et tall som svar; en differensiallikning har en funksjon som ukjent og en funksjonsfamilie som svar. Derfor har svaret en integrasjonskonstant, og derfor trengs en initialbetingelse for å få ett bestemt svar — to tall-likninger tilsvarer dette ikke.