5.3 Integrasjonsteknikk II: delbrøk, polynomdivisjon og trig-substitusjon

En rasjonal funksjon $\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}$ er ekte når tellergraden er lavere enn nevnergraden, og uekte ellers. Delbrøkoppspalting virker bare på ekte brøker — en uekte brøk må først «reduseres» med polynomdivisjon. Sjekk gradene før du gjør noe som helst.

$$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x) + \frac{r(x)}{q(x)},$$

der kvotienten $k(x)$ er et polynom (integreres direkte) og resten $r(x)$ har lavere grad enn $q(x)$ — restbrøken er ekte og klar for delbrøk. Å hoppe over dette steget er arkivets vanligste delbrøk-feil.

$$\int\frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C.$$

Med konstant $A$ i telleren: $\displaystyle \int\frac{A}{x-a}\,dx = A\ln|x-a|+C$. Absoluttverdien skal med — nevneren kan være negativ i integrasjonsområdet.

Delbrøkoppspalting skriver en ekte rasjonal brøk som en sum av enklere brøker — én (eller flere) per faktor i nevneren. Faktoriser nevneren fullstendig først; formen på oppsettet bestemmes av faktortypene: distinkte lineære, gjentatte lineære eller irreduserbare kvadratiske.

$$\frac{r(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}.$$

Konstantene $A$ og $B$ bestemmes ved innsettingsmetoden eller koeffisientsammenligning — og sjekkes alltid ved å legge brøkene sammen igjen.

Raskeste vei til koeffisientene: gang likningen $r(x) = A(x-b)+B(x-a)$ opp med fellesnevneren, og sett inn røttene én av gangen. Med $x=a$ forsvinner $B$-leddet og $A$ løses direkte; med $x=b$ finner du $B$. Metoden virker fordi identiteten skal gjelde for alle $x$ — også røttene.

Alternativet til innsetting: gang opp, sorter etter potenser av $x$, og krev at koeffisientene på hver side er like. Gir et lineært likningssett i $A, B, \dots$ Metoden er tyngre, men nødvendig som supplement når det er færre røtter enn ukjente (gjentatte og kvadratiske faktorer).

$$\frac{r(x)}{(x+1)^2} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}.$$

Andreleddet integreres med potensregelen: $\displaystyle \int\frac{B}{(x+1)^2}\,dx = -\frac{B}{x+1}+C$ — det gir ikke logaritme.

En kvadratisk faktor er irreduserbar (over de reelle tallene) når den ikke har reelle røtter — diskriminanten er negativ, som i $x^2+4$ og $x^2+4x+13$. Den kan ikke splittes i lineære faktorer, og bidraget dens i integralet blir logaritme- og $\arctan$-ledd, ikke flere $\ln|x-a|$.

$$\int\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac1a\arctan\frac{x}{a} + C \qquad (a>0).$$

Kontroll: $\displaystyle \big(\frac1a\arctan\frac xa\big)' = \frac1a\cdot\frac{1/a}{1+(x/a)^2} = \frac{1}{a^2+x^2}$. Merk $\displaystyle \frac1a$-faktoren foran — den glemmes ofte.

$$x^2+bx+c = \Big(x+\frac b2\Big)^2 + \underbrace{c-\frac{b^2}{4}}_{=\,a^2\,>\,0}.$$

Med skiftet $\displaystyle u=x+\frac b2$ står du igjen med $u^2+a^2$ — klart for grunnintegralet. At restleddet er positivt, er nettopp irreduserbarheten.

$$\frac{px+q}{x^2+bx+c} = \frac{p}{2}\cdot\frac{2x+b}{x^2+bx+c} + \Big(q-\frac{pb}{2}\Big)\frac{1}{x^2+bx+c}.$$

Første del har nevnerens deriverte i telleren → $\ln$-mønsteret. Andre del har konstant teller → fullført kvadrat → $\arctan$. Begge leddene skal med i svaret.

$$\frac{r(x)}{x(x^2+a^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+a^2}.$$

En konstant teller alene er en for snever ansats og gir et uløselig likningssett. Koeffisientene bestemmes med innsetting ($x=0$ gir $A$) pluss koeffisientsammenligning.

$$\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)} = a|\cos\theta| = a\cos\theta,$$

der siste likhet krever verdimengden $\displaystyle \theta\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ (da er $\cos\theta\ge0$). Roten forsvinner — det er hele poenget.

$$a^2+x^2 = a^2(1+\tan^2\theta) = \frac{a^2}{\cos^2\theta},$$

med verdimengde $\displaystyle \theta\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)$. Summen av kvadrater kollapser til én cosinuspotens.

Trig-substitusjonene er bare gyldige med et deklarert $\theta$-intervall: $\displaystyle [-\frac\pi2,\frac\pi2]$ for sinus, $\displaystyle (-\frac\pi2,\frac\pi2)$ for tangens. Kravet gjør to jobber: det sikrer $\cos\theta\ge0$ (så $\sqrt{\cos^2\theta}=\cos\theta$ uten fortegnsfeil), og det gjør substitusjonen inverterbar slik at tilbaketransformasjonen $\displaystyle \theta=\arcsin\frac xa$ (eller $\displaystyle \arctan\frac xa$) er entydig. Løsningsforslagene skriver intervallet eksplisitt.

Svaret i $\theta$-verdenen skal tilbake til $x$. Tegn en rettvinklet trekant som koder substitusjonen: for $x=a\sin\theta$ er hypotenusen $a$, motstående katet $x$ og hosliggende $\sqrt{a^2-x^2}$. Da leses alle trig-uttrykk av direkte, f.eks. $\displaystyle \cos\theta = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$ og $\displaystyle \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2x\sqrt{a^2-x^2}}{a^2}$.

Mange arkivintegraler er rasjonale i forkledning: en substitusjon (typisk $u=e^x$ eller $u=\sqrt x$) avslører en rasjonal funksjon i $u$, som så delbrøkoppspaltes. Kjenningsmerke: eksponentialer eller røtter i både teller og nevner. Begge føringskravene gjelder — boks for substitusjonen, oppsett for delbrøken.