Tilbake
5.5
Alle fag for Høyskole

5.5 Uegentlige integraler

Grenseføring med eksplisitt lim, direkte beregning, og konvergens via sammenligningskriteriet med begge premisser uttalt.

55 min
17 oppgaver
Uegentlige integraler
Din fremgang i kapitlet
0 / 17 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Teknikkene fra kap. 5.2 og kap. 5.3 gjør selve regnearbeidet her — særlig substitusjon og delbrøk, og arctan-antideriverten fra fullført kvadrat. Grensebegrepet og innsettingsregelen hviler på Analysens fundamentalsetning.

Sist du var her — de to formlene som brukes mest i dette kapitlet:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)og∫dxx2+a2=1aarctan⁡xa+C.\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \qquad\text{og}\qquad \int\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac1a\arctan\frac{x}{a} + C.

Fundamentalteoremet krever et lukket, begrenset intervall og en begrenset integrand. Men mange av de viktigste integralene i matematikk og fysikk bryter nettopp dette: arealet under en hale som strekker seg mot ∞\infty, eller under en graf som blåser opp mot en loddrett asymptote. Slike integraler kalles uegentlige, og de defineres ved å gjøre det ulovlige lovlig: integrer opp til en flyttbar grense bb, og la bb gå dit du egentlig ville.

Det gir sjangeren dens doble natur. Noen ganger kan du beregne integralet (grensen finnes, og du finner tallet). Andre ganger er spørsmålet bare om integralet konvergerer — og da sammenligner du med et integral du kjenner, som regel et pp-integral.

Fire læringsløkker: (1) uendelig integrasjonsgrense og lim⁡\lim-føringen, (2) singulariteter og splittekravet, (3) pp-integralene — sjangerens målestokker, (4) sammenligningskriteriet med begge premisser. Ta en pause midtveis — kapitlet er tett.

Løkke 1 — Uendelig integrasjonsgrense og lim-føringen (~15 min)

Uegentlig integral

Et integral er uegentlig når forutsetningene for vanlig integrasjon brytes på én av to måter: integrasjonsintervallet er ubegrenset (en grense er ±∞\pm\infty), eller integranden er ubegrenset (den blåser opp mot ±∞\pm\infty et sted i eller på kanten av intervallet). Begge tilfellene håndteres med samme idé — en grenseverdi av vanlige integraler.

Type I — uendelig integrasjonsgrense
Når den øvre grensen er uendelig, defineres integralet som en grense av vanlige integraler over voksende, endelige intervaller:

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx.\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx.

Tilsvarende med lim⁡a→−∞\lim_{a\to-\infty} når den nedre grensen er −∞-\infty.

lim⁡\lim-føringen (føringskravet)

Definisjonen er også føringskravet: skriv lim⁡\lim-symbolet eksplisitt, regn ut det endelige integralet med bb som grense, og ta grensen til slutt. Å «sette inn ∞\infty» rett i antideriverten — altså skrive [F(x)]a∞\big[F(x)\big]_a^\infty uten grensenotasjon — underkjennes i løsningsforslagenes standard, selv når tallet blir riktig.

Konvergent og divergent

Integralet konvergerer hvis grensen eksisterer som et endelig tall — det tallet ER integralets verdi. Eksisterer ikke grensen (den er ±∞\pm\infty eller oscillerer), divergerer integralet, og det har ingen verdi.

Begge grenser uendelige — splitt i et valgfritt punkt

Et integral ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx behandles som TO uavhengige grenser: velg et delingspunkt cc (f.eks. c=0c=0) og krev at begge delene ∫−∞c\int_{-\infty}^c og ∫c∞\int_c^\infty konvergerer hver for seg. Én divergent del gjør hele integralet divergent — du får ikke la de to endene «utligne» hverandre i samme grense.

✏️Eksempel 1: direkte beregning med lim-føring

Beregn ∫3∞dxx2+9\displaystyle \displaystyle\int_3^\infty \frac{dx}{x^2+9}, eller vis at det divergerer.

Integranden er kontinuerlig på [3,∞)[3,\infty) — det uegentlige er bare den øvre grensen. Vi fører med eksplisitt grense:

∫3∞dxx2+9=lim⁡b→∞∫3bdxx2+9=lim⁡b→∞[13arctan⁡x3]3b=lim⁡b→∞(13arctan⁡b3−13arctan⁡1).\int_3^\infty \frac{dx}{x^2+9} = \lim_{b\to\infty}\int_3^b \frac{dx}{x^2+9} = \lim_{b\to\infty}\Big[\frac13\arctan\frac{x}{3}\Big]_3^b = \lim_{b\to\infty}\Big(\frac13\arctan\frac{b}{3} - \frac13\arctan 1\Big).

Når b→∞b\to\infty går arctan⁡b3→π2\displaystyle \arctan\frac{b}{3}\to\frac{\pi}{2}, og arctan⁡1=π4\displaystyle \arctan 1 = \frac{\pi}{4}:

=13⋅π2−13⋅π4=π6−π12=π12.= \frac13\cdot\frac{\pi}{2} - \frac13\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{12}.

Integralet konvergerer. Sluttsvar: π12\dfrac{\pi}{12}. ■\blacksquare

📝Oppgave 1

Beregn ∫0∞e−3x dx\displaystyle\int_0^\infty e^{-3x}\,dx med eksplisitt lim⁡\lim-føring.

📝Oppgave 2

Beregn ∫e∞dxx(ln⁡x)2\displaystyle \displaystyle\int_e^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^2} — bruk substitusjonsboks og nye grenser, og før grensen eksplisitt.

Løkke 2 — Singulariteter og splittekravet (~13 min)

Type II — ubegrenset integrand (singularitet)
Hvis ff blåser opp mot ±∞\pm\infty i et endepunkt cc av intervallet — et punkt der nevneren blir null, eller ln⁡\ln møter null — kalles cc en singularitet. Integralet defineres ved å stoppe like før singulariteten og ta en ensidig grense:

∫acf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx.\int_a^c f(x)\,dx = \lim_{t\to c^-}\int_a^t f(x)\,dx.

Ensidig grense ved singularitet

Grensen ved en singularitet er alltid ensidig: t→c−t\to c^- når singulariteten er øvre endepunkt, t→c+t\to c^+ når den er nedre. Retningen sier fra hvilken side du nærmer deg det farlige punktet — og skal stå i føringen.

Indre singularitet — splittekravet
Ligger singulariteten inne i intervallet, a<c<ba < c < b, MÅ integralet splittes i cc:

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx,\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx,

og hver del får sin egen ensidige grense. Begge delene må konvergere for at helheten skal konvergere. Å integrere rett forbi singulariteten med antideriverten er regelbrudd — og gir gjerne et absurd svar.

Skjult uegentlighet (sjekklisten)

Før du integrerer: sjekk hele intervallet for punkter der integranden er udefinert — nullpunkter i nevneren, ln⁡\ln av null, negative tall under en rot. En singularitet midt i intervallet ser helt uskyldig ut i oppgaveteksten; det er ditt ansvar å finne den. Først når lista er tom, er integralet et vanlig integral.

✏️Eksempel 2: singularitet i endepunktet

Beregn ∫04dx4−x\displaystyle \displaystyle\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{4-x}}, eller vis at det divergerer.

Integranden er udefinert i x=4x=4 (null under roten i nevneren) — en singularitet i øvre endepunkt. Ensidig grense fra venstre:

∫04dx4−x=lim⁡t→4−∫0t(4−x)−1/2 dx=lim⁡t→4−[−24−x]0t=lim⁡t→4−(−24−t+24).\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{4-x}} = \lim_{t\to 4^-}\int_0^t (4-x)^{-1/2}\,dx = \lim_{t\to 4^-}\Big[-2\sqrt{4-x}\Big]_0^t = \lim_{t\to 4^-}\big(-2\sqrt{4-t} + 2\sqrt{4}\big).

Når t→4−t\to 4^- går 4−t→0\sqrt{4-t}\to 0, så grensen er 0+4=40 + 4 = 4. Integralet konvergerer.

Sluttsvar: 44. ■\blacksquare

✏️Eksempel 3: den indre singulariteten som straffer slurv

Undersøk ∫−23dxx2\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{3}\frac{dx}{x^2}. Hva er galt med regningen [−1x]−23=−13−12=−56\displaystyle \Big[-\frac1x\Big]_{-2}^{3} = -\frac13-\frac12 = -\frac56?

Sjekklisten først: integranden 1x2\displaystyle \frac{1}{x^2} er udefinert i x=0x=0, som ligger inne i [−2,3][-2,3]. Integralet må splittes der:

∫−23dxx2=∫−20dxx2+∫03dxx2.\int_{-2}^{3}\frac{dx}{x^2} = \int_{-2}^{0}\frac{dx}{x^2} + \int_{0}^{3}\frac{dx}{x^2}.

Vi tester den siste delen:

∫03dxx2=lim⁡t→0+[−1x]t3=lim⁡t→0+(−13+1t)=∞.\int_0^3 \frac{dx}{x^2} = \lim_{t\to 0^+}\Big[-\frac1x\Big]_t^3 = \lim_{t\to 0^+}\Big(-\frac13 + \frac1t\Big) = \infty.

Én del divergerer — dermed divergerer hele integralet.

Hva gikk galt i regningen? Den brukte fundamentalteoremet over et intervall der antideriverten ikke gjelder (integranden er ikke engang definert i 00). Svaret −56\displaystyle -\frac56 avslører seg selv: integranden 1x2\displaystyle \frac{1}{x^2} er positiv overalt, så integralet kan umulig være negativt. ■\blacksquare

📝Oppgave 3

Undersøk ∫−18x−1/3 dx\displaystyle\int_{-1}^{8} x^{-1/3}\,dx (reell kuberot). Splitt der det trengs, og beregn verdien hvis integralet konvergerer.

Løkke 3 — p-integralene: sjangerens målestokker (~12 min)

pp-integralet ved uendelig
Familien ∫1∞x−p dx\int_1^\infty x^{-p}\,dx er sjangerens viktigste målestokk ved uendelig. Den konvergerer hvis og bare hvis p>1p>1, og da er

∫1∞dxxp=1p−1(p>1).\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{p-1} \qquad (p>1).

For p≤1p\le 1 divergerer integralet — halen er for tykk.

pp-integralet ved null
Ved singulariteten i null snur ulikheten: ∫01x−p dx\int_0^1 x^{-p}\,dx konvergerer hvis og bare hvis p<1p<1, og da er

∫01dxxp=11−p(p<1).\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{1-p} \qquad (p<1).

For p≥1p\ge 1 divergerer integralet — toppen er for høy.

Grensetilfellet p=1p=1
p=1p=1 taper i begge ender: antideriverten er ln⁡x\ln x, og ln⁡b→∞\ln b\to\infty når b→∞b\to\infty, mens ln⁡t→−∞\ln t\to-\infty når t→0+t\to 0^+. Både ∫1∞dxx\displaystyle \int_1^\infty\frac{dx}{x} og ∫01dxx\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x} divergerer — 1x\displaystyle \frac1x er skillelinjen selv, og faller på feil side begge steder.
Huskeregel for pp-grensene

«Stor pp hjelper i det store, liten pp hjelper i det små.» Ved ∞\infty trenger du at grafen faller fort (p>1p>1); ved 00 trenger du at den stiger langsomt (p<1p<1). Skriv alltid hvilket pp-integral du bruker og hvilken ende det gjelder — det er navnet som gir uttelling.

✏️Eksempel 4: samme eksponent, motsatt skjebne

Avgjør ved direkte beregning om ∫1∞dxx3/2\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^{3/2}} og ∫01dxx3/2\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^{3/2}} konvergerer.

Antideriverten er i begge tilfeller −2x−1/2-2x^{-1/2}.

Ved uendelig (p=32>1p=\tfrac32>1 — forventer konvergens):

∫1∞x−3/2 dx=lim⁡b→∞[−2x]1b=lim⁡b→∞(2−2b)=2.Konvergerer.\int_1^\infty x^{-3/2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Big[-\frac{2}{\sqrt{x}}\Big]_1^b = \lim_{b\to\infty}\Big(2-\frac{2}{\sqrt b}\Big) = 2. \quad\text{Konvergerer.}

Ved null (p=32≥1p=\tfrac32\ge 1 — forventer divergens):

∫01x−3/2 dx=lim⁡t→0+[−2x]t1=lim⁡t→0+(2t−2)=∞.Divergerer.\int_0^1 x^{-3/2}\,dx = \lim_{t\to 0^+}\Big[-\frac{2}{\sqrt{x}}\Big]_t^1 = \lim_{t\to 0^+}\Big(\frac{2}{\sqrt t}-2\Big) = \infty. \quad\text{Divergerer.}

Samme funksjon, samme pp — men konvergensspørsmålet stilles i hver sin ende, og pp-reglene svarer motsatt. ■\blacksquare

📝Oppgave 4

Avgjør uten lang regning, med navngitt pp-integral, om integralene konvergerer. Beregn verdien i konvergenstilfellet.

a) ∫01dxx4/5\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^{4/5}}

b) ∫1∞dxx4/5\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^{4/5}}

Løkke 4 — Sammenligningskriteriet med begge premisser (~15 min)

Majorant

En majorant for ff på et intervall er en funksjon gg med f(x)≤g(x)f(x)\le g(x) for alle xx i intervallet — et «tak» over grafen. I konvergensargumenter velges majoranten blant integraler med kjent skjebne: et pp-integral eller en e−xe^{-x}-hale.

Sammenligningskriteriet (konvergens)

Anta at 0≤f(x)≤g(x)0\le f(x)\le g(x) for alle x≥ax\ge a. Hvis ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx konvergerer, konvergerer også ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx. Intuisjon: arealet under ff er klemt mellom 00 og et endelig areal — det kan verken bli uendelig eller oscillere, for arealfunksjonen vokser og er begrenset ovenfra. Samme kriterium gjelder ved en singularitet.

Divergens ved minorant

Kriteriet snudd: har du f(x)≥g(x)≥0f(x)\ge g(x)\ge 0 og ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx divergerer, så divergerer også ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx — et uendelig areal under grafen tvinger integralet i været. En slik gg kalles en minorant (et «gulv»). Vanligste valg: cx\displaystyle \frac{c}{x}.

Ikke-negativitetspremisset

Premisset f(x)≥0f(x)\ge 0 er ikke pynt: uten det bryter hele argumentet sammen (en funksjon med store negative utslag kan ha konvergent integral selv om ∣f∣|f| vokser vilt, og omvendt). Fasitkravet fra H2014-settet: full uttelling krever at både ikke-negativiteten og majorantens endelige integral er uttalt i besvarelsen. Standardgrepet for å se ikke-negativitet: 2+cos⁡x≥1>02+\cos x\ge 1>0 fordi ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le 1.

e−xe^{-x}-halen som majorant

For integrander som avtar raskere enn enhver potens, er e−xe^{-x} standardmajoranten: ∫1∞e−x dx=e−1\int_1^\infty e^{-x}\,dx = e^{-1} er endelig. Nyttig ulikhet: for x≥1x\ge 1 er x2≥xx^2\ge x, så e−x2≤e−xe^{-x^2}\le e^{-x} — det er nøkkelen til at ∫1∞e−x2 dx\int_1^\infty e^{-x^2}\,dx konvergerer, enda integranden mangler elementær antiderivert.

Føringsmalen: navngi majoranten

Konvergensavgjørelser føres i tre ledd: (1) ikke-negativitet — vis f(x)≥0f(x)\ge 0 på intervallet; (2) ulikheten — vis f(x)≤g(x)f(x)\le g(x) (eller ≥\ge for divergens) med et kort argument; (3) navngi sammenligningsintegralet og dets skjebne («pp-integral ved uendelig med p=2>1p=2>1, konvergerer»). Konkluder. Alle tre leddene skal stå.

✏️Eksempel 5: konvergens med begge premisser

Avgjør om ∫1∞2+cos⁡xx2 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{2+\cos x}{x^2}\,dx konvergerer.

Integranden har ingen elementær antiderivert å friste med — dette er en ren sammenligningsoppgave.

1. Ikke-negativitet: siden ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le 1 er 2+cos⁡x≥1>02+\cos x\ge 1>0, så integranden er positiv for alle x≥1x\ge 1.

2. Majorant: av samme grunn er 2+cos⁡x≤32+\cos x\le 3, så

0≤2+cos⁡xx2≤3x2for alle x≥1.0\le \frac{2+\cos x}{x^2} \le \frac{3}{x^2}\qquad\text{for alle } x\ge 1.

3. Majorantens integral er endelig: ∫1∞3x2 dx=3∫1∞x−2 dx\displaystyle \int_1^\infty \frac{3}{x^2}\,dx = 3\int_1^\infty x^{-2}\,dx er et pp-integral ved uendelig med p=2>1p=2>1; det konvergerer (med verdi 33).

Etter sammenligningskriteriet konvergerer da ∫1∞2+cos⁡xx2 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty\frac{2+\cos x}{x^2}\,dx. ■\blacksquare

✏️Eksempel 6: divergens med minorant

Avgjør om ∫1∞2+sin⁡xx dx\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{2+\sin x}{x}\,dx konvergerer.

1. Ikke-negativitet: ∣sin⁡x∣≤1|\sin x|\le 1 gir 2+sin⁡x≥1>02+\sin x\ge 1>0.

2. Minorant: av samme ulikhet:

2+sin⁡xx≥1x≥0for alle x≥1.\frac{2+\sin x}{x} \ge \frac{1}{x} \ge 0 \qquad\text{for alle } x\ge 1.

3. Minorantens integral divergerer: ∫1∞dxx\displaystyle \int_1^\infty\frac{dx}{x} er pp-integralet ved uendelig med p=1p=1 — det divergerer (ln⁡b→∞\ln b\to\infty).

Integranden ligger altså over et gulv med uendelig areal: etter sammenligningskriteriet (divergensversjonen) divergerer integralet. ■\blacksquare

📝Oppgave 5

Vis at ∫0∞e−x2 dx\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx konvergerer. (Hint i strukturen: intervallet [0,1][0,1] er uskyldig — det er halen som må undersøkes.)

📝Oppgave 6

Avgjør om ∫1∞x+2x3+x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{x+2}{x^3+x}\,dx konvergerer.

Drilloppgaver

Stigende vanskegrad — lim-føring og navngitte sammenligninger i alle.

📝Oppgave 7

Beregn ∫1∞dxx3\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^3} med lim-føring, og navngi hvilket pp-integral dette er.

📝Oppgave 8

Beregn ∫01dx1−x\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x}} — identifiser singulariteten først.

📝Oppgave 9

Beregn ∫2∞dxx(ln⁡x)2\displaystyle \displaystyle\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^2}.

📝Oppgave 10

Beregn ∫01ln⁡x dx\displaystyle\int_0^1 \ln x\,dx. (Singularitet i 00; bruk mot 1-trikset fra kap. 5.2.)

📝Oppgave 11

Beregn ∫0∞dxx (x+4)\displaystyle \displaystyle\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}\,(x+4)}. (Integralet er uegentlig i BEGGE ender — splitt, og bruk substitusjonen u=xu=\sqrt{x}.)

📝Oppgave 12

Avgjør konvergens (uten å beregne verdien):

a) ∫01dxx+x2\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x+x^2}}

b) ∫1∞1+e−xx dx\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{1+e^{-x}}{x}\,dx

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 5 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.