Tilbake
5.4
Alle fag for Høyskole

5.4 Drill: integrasjonsteknikk-kjeder (åpen bok)

Alle fire teknikkene kjedet på eksamensnivå med full føring — 97 %-sjangeren der utledningen er hele poenget.

90 min
15 oppgaver
Drillintegrasjonsteknikk-kjeder (åpen bok)
Din fremgang i kapitlet
0 / 15 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Alt verktøyet kommer fra kap. 5.2 (substitusjon, delvis, ensomme funksjoner, sykliske) og kap. 5.3 (polynomdivisjon, delbrøk, fullført kvadrat, trig-substitusjon). Er noen av teknikkene rustne, gå tilbake dit først — drillen forutsetter at hver enkelt teknikk sitter, og trener valget og kjedingen.

Løsningsoppskrift: teknikkvalg-beslutningstreet

Still spørsmålene i denne rekkefølgen — første treff bestemmer åpningen:

1. Er integranden rasjonal (polynom over polynom)? → Sjekk gradene: uekte brøk? Polynomdivisjon først. Deretter delbrøk på restbrøken (faktoriser nevneren; irreduserbar kvadratisk faktor → fullført kvadrat → arctan⁡\arctan-ledd).
2. Rotuttrykk a2−x2\sqrt{a^2-x^2} eller a2+x2a^2+x^2-potens? → Men sjekk FØRST om en faktor xx i telleren gjør vanlig substitusjon mulig (uu = radikanden). Hvis ikke: trig-substitusjon (x=asin⁡θx=a\sin\theta hhv. x=atan⁡θx=a\tan\theta, med verdimengde).
3. Produkt polynom × transcendent (ekxe^{kx}, sin⁡\sin, cos⁡\cos)? → Delvis integrasjon, polynomet deriveres (LIATE).
4. Sammensatt kjerne med (nesten) matchende derivert som faktor? → Substitusjon med boks. Spesialtilfelle: f′f\displaystyle \frac{f'}{f} → ln⁡∣f∣\ln|f| direkte.
5. «Ensom» transcendent (ln⁡x\ln x, arctan⁡x\arctan x, alene)? → Delvis mot 1.
6. Produkt ekx×e^{kx}\times trig? → Syklisk: to runder delvis med fast strategi, løs for II.

Treffer ingenting? Prøv en forenklende omskriving først: splitt brøken ledd for ledd, bruk en trig-identitet (sin⁡2x=1−cos⁡2x2\displaystyle \sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}, sin⁡3x=(1−cos⁡2x)sin⁡x\sin^3x=(1-\cos^2x)\sin x), eller substituér den styggeste delen (u=xu=\sqrt x, u=exu=e^x) og se hva som kommer ut.

✏️Gjennomregnet eksamens-integralblokk (med margnotater om fasitpraksis)

Beregn integralene — vis all utregning («med grunnleggende teknikker, ikke ved oppslag»):

a) ∫03xx2+1 dx\displaystyle\int_0^{\sqrt3} x\sqrt{x^2+1}\,dx

b) ∫x2ln⁡x dx\displaystyle\int x^2\ln x\,dx

c) ∫x3+2x2−1 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x^3+2}{x^2-1}\,dx

d) ∫04ex dx\displaystyle\int_0^4 e^{\sqrt x}\,dx

a) Substitusjon (beslutningstreets pkt. 4: kjernen x2+1x^2+1 har derivert 2x2x, og faktoren xx står der):

 u=x2+1,du=2x dx  ⇒  x dx=12du,x=0⇒u=1,x=3⇒u=4 \boxed{\,u=x^2+1,\quad du=2x\,dx\;\Rightarrow\;x\,dx=\tfrac12du,\quad x=0\Rightarrow u=1,\quad x=\sqrt3\Rightarrow u=4\,}

∫03xx2+1 dx=12∫14u du=12[2u3/23]14=13(8−1)=73.\int_0^{\sqrt3}x\sqrt{x^2+1}\,dx = \frac12\int_1^4\sqrt u\,du = \frac12\Big[\frac{2u^{3/2}}{3}\Big]_1^4 = \frac13\big(8-1\big) = \frac73.

[Margnotat om fasitpraksis: boksen med nye grenser er ikke valgfri pynt — løsningsforslagene fører den konsekvent, og et grensebytte som bare «skjer» i regningen regnes som hull i føringen.]

b) Delvis (pkt. 3 — men her er det logaritmen som skal deriveres, LIATE: L før A):

u=ln⁡x  (⇒u′=1x),v′=x2  (⇒v=x33).u=\ln x\;(\Rightarrow u'=\tfrac1x),\qquad v'=x^2\;(\Rightarrow v=\tfrac{x^3}{3}).

∫x2ln⁡x dx=x33ln⁡x−∫x33⋅1x dx=x33ln⁡x−13∫x2 dx=x33ln⁡x−x39+C.\int x^2\ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int\frac{x^3}{3}\cdot\frac1x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac13\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9}+C.

[Margnotat: valglinjen med begrunnelse («logaritmen deriveres bort») er den fasitpraksisen som skiller full uttelling fra trekk — skriv den alltid.]

c) Polynomdivisjon → delbrøk (pkt. 1: uekte brøk, grad 3 over grad 2):

Divisjon: x3+2=x(x2−1)+x+2x^3+2 = x(x^2-1) + x + 2, så x3+2x2−1=x+x+2(x−1)(x+1)\dfrac{x^3+2}{x^2-1} = x + \dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)}.

Delbrøk: x+2(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1\dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}; x+2=A(x+1)+B(x−1)x+2 = A(x+1)+B(x-1); x=1x=1: A=32A=\tfrac32; x=−1x=-1: 1=−2B⇒B=−121=-2B\Rightarrow B=-\tfrac12. (Kontroll: 32(x+1)−12(x−1)=x+2\tfrac32(x+1)-\tfrac12(x-1)=x+2. ✓)

∫x3+2x2−1 dx=x22+32ln⁡∣x−1∣−12ln⁡∣x+1∣+C.\int\frac{x^3+2}{x^2-1}\,dx = \frac{x^2}{2} + \frac32\ln|x-1| - \frac12\ln|x+1| + C.

[Margnotat: delbrøk rett på en uekte brøk er arkivets vanligste teknikk-feil i denne sjangeren — gradsjekken er alltid første trekk.]

d) Kjeden substitusjon → delvis (pkt. 2-omskriving: roten er stygg — substituér den):

 u=x,x=u2,dx=2u du,x=0⇒u=0,x=4⇒u=2 \boxed{\,u=\sqrt x,\quad x=u^2,\quad dx=2u\,du,\quad x=0\Rightarrow u=0,\quad x=4\Rightarrow u=2\,}

∫04ex dx=2∫02u eu du.\int_0^4 e^{\sqrt x}\,dx = 2\int_0^2 u\,e^u\,du.

Delvis med dokumentert valg u1=u  (u1′=1)u_1=u\;(u_1'=1), v′=eu  (v=eu)v'=e^u\;(v=e^u):
2∫02ueu du=2([ueu]02−∫02eu du)=2(2e2−(e2−1))=2e2+2.2\int_0^2 ue^u\,du = 2\Big(\big[ue^u\big]_0^2 - \int_0^2 e^u\,du\Big) = 2\big(2e^2 - (e^2-1)\big) = 2e^2+2.

Sluttsvar: a) 73\tfrac73, b) x33ln⁡x−x39+C\tfrac{x^3}{3}\ln x-\tfrac{x^3}{9}+C, c) x22+32ln⁡∣x−1∣−12ln⁡∣x+1∣+C\tfrac{x^2}{2}+\tfrac32\ln|x-1|-\tfrac12\ln|x+1|+C, d) 2e2+22e^2+2. ■\blacksquare

[Margnotat: fra 2019 sier oppgavesettene eksplisitt at riktig fremgangsmåte gir godt med poeng selv uten korrekt sluttsvar — men bare når fremgangsmåten er synlig. I denne sjangeren ER føringen besvarelsen.]

Drilloppgaver på eksamensnivå

15 integraler i stigende vanskegrad. Tren på å velge teknikk raskt (beslutningstreet) og føre fullstendig. Der to veier er likeverdige, viser fasit begge.

📝Oppgave 1
Teknikkvalg-runde (ikke regn ut — bare klassifisér med beslutningstreet):

a) ∫x2+1x−2 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x^2+1}{x-2}\,dx

b) ∫xe−x dx\displaystyle\int x e^{-x}\,dx

c) ∫xx2+9 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x}{x^2+9}\,dx

d) ∫25−x2 dx\displaystyle\int\sqrt{25-x^2}\,dx

e) ∫arctan⁡(2x) dx\displaystyle\int\arctan(2x)\,dx

f) ∫e3xsin⁡x dx\displaystyle\int e^{3x}\sin x\,dx

📝Oppgave 2

Beregn ∫122x+1x2+x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^2\frac{2x+1}{x^2+x}\,dx.

📝Oppgave 3

Beregn ∫01x e3x dx\displaystyle\int_0^1 x\,e^{3x}\,dx.

📝Oppgave 4

Beregn ∫x9−x2 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}\,dx på to måter, og avgjør hvilken som er raskest.

📝Oppgave 5

Beregn ∫dxx2−5x+6\displaystyle \displaystyle\int\frac{dx}{x^2-5x+6}.

📝Oppgave 6

Beregn ∫1eln⁡xx2 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{x^2}\,dx.

📝Oppgave 7

Beregn ∫014−x2 dx\displaystyle\int_0^1\sqrt{4-x^2}\,dx.

📝Oppgave 8

Beregn ∫x3x2+4 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x^3}{x^2+4}\,dx.

📝Oppgave 9

Beregn ∫0π/3sin⁡3x dx\displaystyle\int_0^{\pi/3}\sin^3x\,dx.

📝Oppgave 10

Beregn ∫e2xcos⁡x dx\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx.

📝Oppgave 11

Beregn ∫4x+3x2+2x+10 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{4x+3}{x^2+2x+10}\,dx.

📝Oppgave 12

Beregn ∫0π2/4cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi^2/4}\cos\sqrt x\,dx.

📝Oppgave 13

Beregn ∫01x2arctan⁡x dx\displaystyle\int_0^1 x^2\arctan x\,dx.

📝Oppgave 14

Beregn ∫x+4(x−2)(x+1)2 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x+4}{(x-2)(x+1)^2}\,dx.

📝Oppgave 15

Beregn ∫01dx(1+x2)2\displaystyle \displaystyle\int_0^1\frac{dx}{(1+x^2)^2}.

Oppslagskort — teknikkene på én skjerm

Kortversjonene under er ment for rask repetisjon før prøver og eksamen.

Beslutningstreet (kortversjon)

Seks spørsmål i fast rekkefølge: (1) rasjonal? → divider om uekte, så delbrøk; (2) rotuttrykk/kvadratsum uten xx-faktor? → trig-substitusjon; (3) polynom × transcendent? → delvis (polynomet deriveres); (4) kjerne med matchende derivert? → substitusjon (spesialtilfelle f′f→ln⁡∣f∣\displaystyle \frac{f'}{f}\to\ln|f|); (5) ensom ln⁡/arctan⁡\ln/\arctan? → delvis mot 1; (6) ekx×e^{kx}\timestrig? → syklisk. Ingen treff → omskriv (splitt brøk, trig-identitet, substituér styggeste del).

Substitusjonsboksen (kortversjon)

Tre linjer, alltid: u=g(x)u=g(x); du=g′(x) dxdu=g'(x)\,dx (løst for den kombinasjonen som står i integralet); nye grenser x=a⇒u=g(a)x=a\Rightarrow u=g(a), x=b⇒u=g(b)x=b\Rightarrow u=g(b). Ubestemt integral: bytt tilbake til xx til slutt i stedet for grenselinjen.

Delvis-formelen med LIATE (kortversjon)
∫uv′ dx=uv−∫u′v dx\int uv'\,dx = uv-\int u'v\,dx, der uu velges etter LIATE (Logaritme, Invers trig, Algebraisk, Trig, Eksponential — først i lista deriveres). Valget skrives eksplisitt: u=…(u′=… )u=\dots(u'=\dots), v′=…(v=… )v'=\dots(v=\dots).
Delbrøk-oppsettene (kortversjon)

Ekte brøk + faktorisert nevner. Distinkt lineær faktor (x−a)(x-a): ledd Ax−a\displaystyle \frac{A}{x-a}. Gjentatt (x−a)m(x-a)^m: ledd A1x−a+⋯+Am(x−a)m\displaystyle \frac{A_1}{x-a}+\dots+\frac{A_m}{(x-a)^m}. Irreduserbar kvadratisk: ledd Bx+Cx2+px+q\displaystyle \frac{Bx+C}{x^2+px+q}. Koeffisienter: innsetting av røtter + koeffisientsammenligning; alltid kontroll.

Fullført kvadrat → arctan (kortversjon)

Konstant teller over irreduserbar nevner: fullfør kvadratet til (x+b2)2+a2\displaystyle (x+\frac b2)^2+a^2 og bruk ∫duu2+a2=1aarctan⁡ua\displaystyle \int\frac{du}{u^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac ua. Lineær teller: splitt først i (deriverte-del → ln⁡\ln) + (konstant-del → arctan).

Trig-substitusjonene (kortversjon)
a2−x2\sqrt{a^2-x^2}: sett x=asin⁡θx=a\sin\theta, θ∈[−π2,π2]\displaystyle \theta\in[-\frac\pi2,\frac\pi2] → roten blir acos⁡θa\cos\theta. a2+x2a^2+x^2 (også i potenser): sett x=atan⁡θx=a\tan\theta, θ∈(−π2,π2)\displaystyle \theta\in(-\frac\pi2,\frac\pi2) → summen blir a2cos⁡2θ\displaystyle \frac{a^2}{\cos^2\theta}. Tilbake: rettvinklet trekant. Men: en xx-faktor i telleren betyr som regel at vanlig substitusjon er raskere.
Syklisk integral (kortversjon)
ekx×sin⁡/cos⁡e^{kx}\times\sin/\cos: kall integralet II, kjør to runder delvis med SAMME strategi (f.eks. alltid uu = trig-faktoren), få I=ledd−cII = \text{ledd} - cI, og løs algebraisk for II.
Føringsminimum for full uttelling (sjanger B)

Sjekkliste: (1) teknikkvalget synlig (boks eller valglinje); (2) nye grenser bokført ved substitusjon i bestemt integral; (3) delbrøk: oppsett + koeffisientbestemmelse + kontroll; (4) trig-substitusjon: verdimengde deklarert; (5) markert sluttsvar — og i ubestemte integraler +C+C; (6) gjerne kontrollderivasjon når tiden tillater.

«Alternativt:»-praksisen

Arkivets løsningsforslag fører ofte to likeverdige veier til samme integral (substitusjon vs. trig-substitusjon, ln⁡\ln-mønster vs. delbrøk) og markerer den andre med «Alternativt:». Begge gir full uttelling. Lærdom for deg: velg den korteste — men vit at veivalget ditt ikke kan bli «feil» så lenge føringen er komplett.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.