6.3 Drill: anvendt differensiallikning (modelleringskjeden)

Settets avslutningsoppgave fra ende til annen: oversett en verbal situasjon til en difflikning, klassifiser, løs med full føring, og svar på det anvendte spørsmålet.

90 min

12 oppgaver

Drillanvendt differensiallikning (modelleringskjeden)

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Lineære førsteordens differensiallikninger

Brukes videre i

6.PPrøver til del 6: Differensiallikninger

Dette er drillkapitlet for settets faste avslutningsoppgave — sjanger A, 33 av 34 sett (97 %).

- Avslutningsoppgaven gir deg nesten alltid en verbal rate-beskrivelse («farten avtar proporsjonalt med kvadratet av farten») og ber deg sette opp likningen, løse den med full føring, og svare på et anvendt spørsmål — tømmetid, tid til et smittenivå, temperatur ved et klokkeslett.
- Kontekstfamiliene i arkivet: algevekst, epidemi/ryktespredning (logistisk), skip som mister fart ( $v^2$ -motstand), radioaktivitet, Newtons avkjøling, saltvannstank, og tanker som tømmes (Torricelli — som kjeder omdreiningsvolum fra kap. 5.6, implisitt derivasjon fra kap. 3.3 og separabel likning i ÉN oppgave).
- Fasitpraksisens tre faste krav: konstante/likevektsløsninger notert, konstanter bestemt fra datapunktene i riktig rekkefølge, og konklusjonssetning med enhet. Et riktig tall uten tolkning og enhet regnes som ufullstendig svar.
- Temaet har høyeste prioritet. Teorien står i kap. 6.1 (separabel) og kap. 6.2 (lineær) — her automatiserer vi hele kjeden fra tekst til konklusjon.

Forkunnskaper. Denne drillen fletter sammen løsningsmalene for differensiallikninger med integrasjon. Du bør ha den separable malen fra kap. 6.1 — Separable differensiallikninger og integrerende faktor fra kap. 6.2 — Lineære førsteordens differensiallikninger i fingrene, og integrasjonsteknikken (særlig delbrøk og substitusjon) fra kap. 5.3 — Integrasjonsteknikk II, siden modelleringskjeden nesten alltid ender i et integral du må regne ut.

Modelleringsoppskriften (seks steg)

Slik angriper du enhver sjanger A-oppgave — samme rekkefølge hver gang:

1. Oversett rate-beskrivelsen til en likning. «Raten er proporsjonal med …» betyr $y' = k\cdot(\dots)$ ; «differansen mellom …» betyr en faktor $(y - y_{\text{omgivelse}})$ eller $(M-y)$ . Er raten avtakende, hører et minustegn med (eller $k<0$ — velg én konvensjon og vær konsekvent). I Torricelli-oppgaver må likningen først utledes fra $V(h)$ og kjerneregelen.
2. Klassifiser: separabel eller lineær (eller begge)? Det bestemmer malen fra kap. 6.1/kap. 6.2.
3. Noter konstante/likevektsløsninger og sjekk dem mot startverdien før du deler.
4. Løs med full føring (separasjon/delbrøk eller integrerende faktor).
5. Bestem konstantene fra datapunktene — startverdien først, deretter det andre datapunktet for å finne $k$ . To ukjente konstanter krever to datapunkter.
6. Svar på det anvendte spørsmålet — sett opp likningen « $y(t) =$ målverdi», løs for $t$ (eller motsatt), og skriv en konklusjonssetning med enhet: «Farten passerer 1 km/t etter 4,5 timer.»

Tidsbudsjett på eksamen: avslutningsoppgaven har gjerne 2–3 deloppgaver — regn ~18 min per deloppgave, og hent lettpoengene (modellen + klassifiseringen) først.

✏️Gjennomregnet Torricelli-kjede (med margnotater om fasitpraksis)

En tank har form som flaten man får ved å dreie kurven $y = x^2$ (meter) om $y$ -aksen. Tanken er fylt med vann til høyden $h_0 = 1$ m. Ved $t=0$ åpnes et hull i bunnen med areal $a = 1{,}0\ \text{cm}^2$ , og vannet renner ut etter Torricellis lov: volumstrømmen ut er $a\sqrt{2gh}$ , der $h(t)$ er vannhøyden og $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

a) Finn volumet $V(h)$ av vannet når vannhøyden er $h$ .

b) Vis at $h$ oppfyller differensiallikningen $\pi h\,h' = -a\sqrt{2gh}$ .

c) Løs likningen og bestem hvor lang tid det tar før tanken er tom.

a) Volumet ved skivemetoden (kap. 5.6). I høyde

y

er tverrsnittet en sirkel med radius

x

der

y = x^2

, altså

x^2 = y

. Skivens areal er

\pi x^2 = \pi y

, så

$V(h) = \int_0^h \pi y\,dy = \frac{\pi h^2}{2}.$

(Kontroll: $V(1) = \pi/2 \approx 1{,}57\ \text{m}^3$ — rimelig for en 1 m dyp skål med toppradius 1 m.)

> Margnotat: Første ledd i kjeden er en ren kap. 5.6-oppgave. Vanligste kjedefeil: å svare på a) og så ikke bruke $V(h)$ videre — kjeden ER poenget.

b) Implisitt derivasjon (kap. 3.3). $V$ og $h$ er begge funksjoner av $t$ ; kjerneregelen gir

$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt} = \pi h\,h'.$

Torricellis lov sier at volumet avtar med raten $a\sqrt{2gh}$ : $\dfrac{dV}{dt} = -a\sqrt{2gh}$ . Likestilling gir

$\pi h\,h' = -a\sqrt{2gh}. \qquad\blacksquare$

> Margnotat: Minustegnet skal begrunnes («volumet avtar») — fasitpraksis er å si det i én setning, ikke la det dukke opp umotivert.

c) Separabel likning med full føring. Skriv likningen som

$h' = -\frac{a\sqrt{2g}}{\pi}\cdot\frac{\sqrt{h}}{h} = -\frac{a\sqrt{2g}}{\pi}\,h^{-1/2} .$

Konstante løsninger: $h\equiv 0$ gjør høyresiden udefinert her (og svarer til tom tank — slutt-tilstanden, ikke starten); startverdien $h(0)=1\neq 0$ , så vi regner for $h>0$ og lar løsningen løpe til den når $0$ .

Separér og integrer (sett $c = \dfrac{a\sqrt{2g}}{\pi}$ ):

$\sqrt{h}\,dh = -c\,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{3}h^{3/2} = \frac{2}{3}h_0^{3/2} - c\,t.$

Konstanten er allerede bestemt av $h(0)=h_0=1$ . Tanken er tom når $h=0$ :

$t_{\text{tom}} = \frac{2h_0^{3/2}}{3c} = \frac{2\pi}{3a\sqrt{2g}}.$

Tallsvar: $a = 1{,}0\ \text{cm}^2 = 1{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{m}^2$ og $\sqrt{2g} = \sqrt{19{,}62} \approx 4{,}429\ \text{m}^{1/2}/\text{s}$ gir

$t_{\text{tom}} = \frac{2\pi}{3\cdot 10^{-4}\cdot 4{,}429} \approx 4{,}7\cdot 10^{3}\ \text{s} \approx 79\ \text{min}.$

Konklusjon: Tanken er tom etter om lag $4\,700$ sekunder, det vil si cirka 1 time og 19 minutter.

> Margnotat: Tre steder løsningsforslagene legger poeng: (i) enhetskonverteringen $\text{cm}^2 \to \text{m}^2$ (faktor $10^{-4}$ — vanligste tallfeil), (ii) at $\displaystyle \frac{\sqrt h}{h} = h^{-1/2}$ forenkles FØR separasjonen, (iii) konklusjonssetningen med enhet. Riktig fremgangsmåte gir godt med poeng selv med et tallkludder til slutt — men konklusjonen må stå.

Oppgaver på tvers av kontekstfamiliene

Tolv oppgaver som til sammen dekker alle arkivets kontekster. Hver skal føres helt: modell → klassifisering → konstante løsninger → løsning → konstanter fra datapunkter → konklusjonssetning med enhet.

📝Oppgave 1

En kopp kaffe holder $90\ ^\circ$ C i et rom der temperaturen er $20\ ^\circ$ C. Etter Newtons avkjølingslov avtar kaffens temperatur med en rate proporsjonal med differansen mellom kaffens og rommets temperatur. Etter 5 minutter er kaffen $70\ ^\circ$ C.

a) Sett opp differensiallikningen og løs den.

b) Når kan kaffen drikkes, om det krever at den har sunket til $40\ ^\circ$ C?

📝Oppgave 2

En radioaktiv prøve avtar med en rate proporsjonal med gjenværende mengde. Ved $t=0$ inneholder prøven 80 mg; 10 år senere 60 mg.

a) Finn mengden $m(t)$ .

b) Bestem halveringstiden.

📝Oppgave 3

En brusflaske tas ut av kjøleskapet med temperatur $5\ ^\circ$ C og settes i et rom med $25\ ^\circ$ C. Etter 10 minutter er den $15\ ^\circ$ C. Modellér med Newtons lov (nå som oppvarming), og finn når flasken når $20\ ^\circ$ C. Kommenter svaret: hvorfor tar det dobbelt så lang tid å ta igjen halvparten av gjenværende differanse?

📝Oppgave 4

En tank inneholder 100 liter vann med 2 kg salt oppløst. Fra $t=0$ renner det inn 4 L/min saltlake med konsentrasjon 0,1 kg/L, og godt omrørt blanding renner ut med samme hastighet. La $y(t)$ være saltmengden (kg) etter $t$ minutter.

a) Vis at $y' = 0{,}4 - 0{,}04\,y$ , og løs likningen.

b) Når inneholder tanken 5 kg salt, og hva skjer på lang sikt?

📝Oppgave 5

På en skole med $M = 1000$ elever spres en infeksjon logistisk: $N' = \dfrac{k}{M}N(M-N)$ smittede etter $t$ dager, med $N(0)=10$ . Etter 5 dager er 200 smittet.

a) Løs likningen og bestem konstanten.

b) Når er 800 elever smittet?

📝Oppgave 6

En båt kutter motoren ved farten 20 km/t. Vannmotstanden bremser den med en rate proporsjonal med kvadratet av farten, og etter en halvtime er farten 10 km/t.

a) Sett opp og løs differensiallikningen for farten $v(t)$ (timer).

b) Når passerer farten 2 km/t?

c) (krevende) Hvor langt har båten drevet i løpet av de første 4,5 timene?

📝Oppgave 7

En algebestand i en dam vokser med raten $0{,}3A$ per uke ( $A$ i kg), men høstes samtidig med konstant rate 12 kg/uke: $A' = 0{,}3A - 12$ , med $A(0)=10$ kg.

a) Finn likevektsbestanden, og avgjør om den er stabil.

b) Løs likningen og avgjør når dammen er tom for alger.

📝Oppgave 8

Et rykte sprer seg i en bedrift slik at andelen $y(t)$ som har hørt det etter $t$ dager, følger $y' = k\,y(1-y)$ . Ved $t=0$ har 5 % hørt ryktet; etter 2 dager 20 %.

a) Løs likningen og bestem $k$ .

b) Når har halvparten hørt ryktet? Og hvorfor er akkurat $y=\tfrac12$ tidspunktet der spredningen er raskest?

📝Oppgave 9

En sylindrisk tank med radius $R = 0{,}4$ m står med aksen loddrett og er fylt med vann til høyden $1{,}6$ m. I bunnen åpnes et hull med areal $a = 0{,}5\ \text{cm}^2$ , og Torricellis lov gir $\dfrac{dV}{dt} = -a\sqrt{2gh}$ med $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

a) Utled differensiallikningen for vannhøyden $h(t)$ , og løs den.

b) Hvor lang tid tar det å tømme tanken?

📝Oppgave 10

Karbon-14 har halveringstid 5730 år, og mengden i dødt organisk materiale avtar etter $m' = -km$ . I en utgravd trebit er C-14-innholdet 35 % av nivået i levende trevirke. Bestem alderen på trebiten.

📝Oppgave 11

(Vannklokken) En skål har form som flaten man får ved å dreie $y = x^4$ (meter) om $y$ -aksen, fylt til høyden $h_0 = 1$ m, med et bunnhull med areal $a = 1{,}0\ \text{cm}^2$ (Torricelli, $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ ).

a) Finn $V(h)$ og utled differensiallikningen for $h$ .

b) Vis at vannspeilet synker med konstant fart, og finn tømmetiden. Hvorfor gjorde akkurat denne formen skålen til en brukbar vannklokke?

📝Oppgave 12

En bakteriekultur vokser med raten $2\ \%$ av bestanden per time: $y' = 0{,}02\,y$ , $y(0) = y_0$ . Hvor lang tid tar en dobling? Skriv konklusjonen med enhet.

Typiske feil

- Feil modell fra rate-beskrivelsen. «Proporsjonal med differansen» blir $T' = -kT$ i stedet for $T' = -k(T - T_{\text{omg}})$ ; «kvadratet av farten» blir $-kv$ i stedet for $-kv^2$ . Les beskrivelsen ord for ord og oversett ledd for ledd.
- Konstante/likevektsløsninger glemt — også i anvendte oppgaver skal setningen stå (kap. 6.1-malen gjelder her).
- Konstantene bestemt i feil rekkefølge eller fra feil punkt. Startverdien bestemmer $A$ / $B$ ; det andre datapunktet bestemmer $k$ . Bland dem, og begge blir gale.
- Svar uten tolkning og enhet. « $t = 4{,}5$ » er ikke et svar på et anvendt spørsmål; «farten passerer 2 km/t etter 4,5 timer» er. Konklusjonssetning med enhet — hver gang.
- Kjeden brytes i Torricelli-oppgaver: $V(h)$ fra deloppgave a) skal brukes i b) — og enhetene må konverteres ( $\text{cm}^2\to\text{m}^2$ er den klassiske tallfellen).
- Glemme minustegnet når en størrelse avtar — kontroller fortegnet ved å spørre: har $y'$ riktig fortegn ved startverdien?

Modellbanken

Oversettelsene og lovene fra kontekstfamiliene, samlet som oppslagskort.

Proporsjonalitets-oversettelsene

y

Newtons avkjølingslov

T_{\text{omg}}

Logistisk vekstmodell

y' = ky(M-y)

Torricellis lov

a

Halveringstid

T_{1/2}

Doblingstid

y = y_0e^{kt}

Likevektsløsning i modellspråk

y'=0

Blandingsbalansen (tank-modellen)

\displaystyle y' = (\text{rate inn}) - (\text{rate ut}) = c_{\text{inn}}\,r_{\text{inn}} - \frac{y}{V}\,r_{\text{ut}}

Enhets- og konklusjonsdisiplinen

\text{cm}^2\to\text{m}^2

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.