3.3 Implisitt derivasjon, tangenter og relaterte rater

En kurve er implisitt gitt når den beskrives av en likning i $x$ og $y$ — for eksempel $x^2+xy+y^2=7$ — i stedet for en formel $y=f(x)$. Nær de fleste punkter på kurven kan $y$ lokalt oppfattes som en funksjon av $x$, selv om vi ikke kan (eller vil) løse ut formelen.

Metoden: deriver hele likningen ledd for ledd med hensyn på $x$, der $y$ behandles som funksjon av $x$ — hvert ledd med $y$ får kjernefaktoren $y'$ fra kjerneregelen. Deretter løses den (alltid lineære) likningen for $y'$.

Når $y$ er funksjon av $x$, gir kjerneregelen $\displaystyle \frac{d}{dx}\,y^2 = 2y\,y'$, $\displaystyle \frac{d}{dx}\sin y = (\cos y)\,y'$ osv. — den ekstra faktoren $y'$ er kjernefaktoren. Å glemme den er feilkilde nummer én i implisitt derivasjon.

Første linje i enhver tangentoppgave på implisitt kurve: sett punktet inn i likningen og vis at den stemmer. Ligger ikke punktet på kurven, er alt etterpå meningsløst — og fasit gir dette steget egen uttelling.

Framgangsmåten for $y''$: deriver den allerede deriverte likningen én gang til, med produktregel på ledd som inneholder $y'$ — husk $\displaystyle \frac{d}{dx}\,y' = y''$, slik at for eksempel $\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(y\,y'\bigr) = (y')^2 + y\,y''$ og $\displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x\,y'\bigr) = y' + x\,y''$. Løs for $y''$ og sett inn tallene for $x$, $y$ og $y'$ til slutt.

Tallverdiene som bare gjelder i det aktuelle øyeblikket (posisjoner, avstander, rater akkurat da). De settes inn ETTER derivasjonen — settes de inn før, deriverer du konstanter og mister ratene.

Sluttsvaret i en rateoppgave er en setning: fortegnet oversettes til retning («øker»/«avtar»/«synker»), og enheten oppgis (m/s, cm³/s, rad/s). Løsningsforslagenes krav — et nakent tall regnes som ufullført svar.

Eksplisitt: $y = f(x)$ — $y$ er løst ut. Implisitt: en likning i $x$ og $y$ som binder dem sammen uten at $y$ er løst ut. Implisitt derivasjon virker direkte på den siste formen.

Nær de fleste kurvepunkter kan et stykke av kurven ses som grafen til én funksjon $y(x)$ — det er denne lokale funksjonen implisitt derivasjon deriverer. I punkter med vertikal tangent bryter det sammen (der er $y'$ udefinert).

Med $\displaystyle y' = \frac{\text{teller}}{\text{nevner}}$ fra implisitt derivasjon: horisontal tangent der telleren er null (og nevneren ikke), vertikal tangent der nevneren er null (og telleren ikke). Kandidatene må alltid settes inn i kurvelikningen.

Når $x = x(t)$: $\displaystyle \frac{d}{dt}x^n = nx^{n-1}x'$, $\displaystyle \frac{d}{dt}\tan\theta = \frac{\theta'}{\cos^2\theta}$ osv. Hver tidsavhengig størrelse gir sin ratefaktor — det er kjerneregelen som kobler ratene.

Standardmodell for avstander i rette vinkler (stige mot vegg, to biler i kryss, båt og kai): $a^2 + b^2 = c^2$ mellom de tidsavhengige lengdene. Derivert: $2a\,a' + 2b\,b' = 2c\,c'$.

Når en vinkel følger et stigende/synkende objekt: $\displaystyle \tan\theta = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$, derivert $\displaystyle \frac{\theta'}{\cos^2\theta} = \frac{h'}{d}$ (fast avstand $d$). $\cos\theta$ hentes fra trekanten i øyeblikket. Svar i rad/s.

Skygge- og lignende oppgaver: to formlike trekanter gir en proporsjon mellom tidsavhengige lengder — ofte en lineær relasjon som er enkel å derivere.

Kule $\displaystyle V=\frac43\pi r^3$, kjegle $\displaystyle V=\frac13\pi r^2h$ (med bibetingelse som $r=h/3$), sylinder $V=\pi r^2 h$ — relasjoner mellom tidsavhengige størrelser i fylle-/tappeoppgaver. Bibetingelsen settes inn FØR derivasjonen.

Enheten for vinkelrater. Vinkler i derivasjonssammenheng måles alltid i radianer — derivasjonsformlene for sin, cos og tan forutsetter det.

Siste linje i en anvendt oppgave: tallsvar med enhet og tolket fortegn, formulert som setning. En del av føringsstandarden i hele boka — og eksplisitt etterspurt i rateoppgavene.