3.2 Drill: signaturoppgaven — kontinuitet og deriverbarhet i punkt

Settets teoritunge signaturoppgave: $x^k\sin/\cos(1/x^m)$-familien, skviseargumentet, differansekvotienten og oscillasjonsfellen — den tydeligste karakterskilleren.

90 min

12 oppgaver

Drillsignaturoppgavenkontinuitetderiverbarhet i punkt

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Deriverbarhet i ett punkt: differansekvotient og skvis

Dette er settets teoritunge signaturoppgave — den tydeligste karakterskilleren.

- Sjanger E (kontinuitet/deriverbarhet i punkt) står i 20 av 34 arkiverte sett og i 79 % av settene de siste ti årene. To hovedformer: (i) kontinuerlig utvidelse med kobling til $f(a)$ , (ii) deriverbarhet i punkt via differansekvotienten.
- Materialet er nesten alltid oscillasjonsfamilien $x^k\sin(1/x^m)$ / $x^k\cos(1/x^m)$ , eller en skjøteparameter-variant («bestem $a$ og $b$ slik at …»).
- Kjernefellen (fasitpraksisens eksplisitte advarsel, eksamensstoff H2004, påpekt H2016): $f$ kan være deriverbar i $a$ selv om $\lim_{x\to a} f'(x)$ ikke finnes. H2017 testet motsatt retning (grense-av-derivert-setningen).
- Prioritet: høyeste prioritet — det er her toppkarakterene skilles fra resten. Tidsbudsjett på eksamen: 12–18 min for en full (a)–(c)-oppgave.

Forkunnskaper. Alt verktøyet står i kap. 3.1: differansekvotienten, ensidige deriverte, skjøtealgoritmen og grense-av-derivert-setningen. Skviseteoremet og grenseteknikkene er fra kap. 2.2, kontinuitetsdefinisjonen fra kap. 2.3. Er differansekvotienten uvant, gjør kap. 3.1-drillen først — her forutsettes den.

Løsningsoppskriften — signaturoppgaven i seks steg

Oppgaven gir typisk $f(x)=x^k\sin(1/x^m)$ eller $x^k\cos(1/x^m)$ for $x\neq 0$ , med $f(0)=0$ , og spør (a) kontinuitet, (b) deriverbarhet, (c) er $f'$ kontinuerlig?

Steg 1 — kontinuitet i $0$ : vis $\lim_{x\to 0} f(x) = f(0) = 0$ med skviseargument der begrensetheten uttales:
$|\cos(1/x^m)| \le 1 \quad\Rightarrow\quad -|x|^k \le x^k\cos(1/x^m) \le |x|^k,$
og siden $\pm|x|^k \to 0$ gir skviseteoremet $f(x)\to 0 = f(0)$ . Koblingen til $f(0)$ SKAL stå — en grense alene er ikke kontinuitet.

Steg 2 — deriverbarhet i $0$ : sett opp differansekvotienten
$\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{h^k\sin(1/h^m)}{h} = h^{k-1}\sin(1/h^m)$
og avgjør grensen med skvis ( $k\ge 2$ gir $0$ ) eller vis at den oscillerer uten grense ( $k=1$ ). ALDRI via derivertformelen.

Steg 3 — $f'$ kontinuerlig i $0$ ? Regn $f'(x)$ for $x\neq 0$ med produkt- og kjerneregel (lovlig der!), og undersøk $\lim_{x\to 0}f'(x)$ . Finnes den og er lik $f'(0)$ , er $f'$ kontinuerlig; oscillerer den, er $f'$ diskontinuerlig i $0$ — uten at det rokker ved (b).

Steg 4 — oscillasjonsfellen: husk retningen: (b) og (c) er uavhengige spørsmål. $f$ kan være deriverbar i $0$ selv om $\lim f'(x)$ ikke finnes.

Steg 5 — skjøteparameter-varianten: per skjøtepunkt gir kontinuitet én likning (verdiene like) og deriverbarhet én likning (ensidige deriverte like) — løs systemet.

Steg 6 — grense-av-derivert som motsatt verktøy: er $f$ kontinuerlig i punktet og $\lim f'(x)=b$ finnes, kan du konkludere $f'(a)=b$ (kap. 3.1) — lovlig snarvei i skjøter med pene grener.

Eksponentregnskapet for familien $x^k\sin(1/x^m)$ , $x^k\cos(1/x^m)$

For heltall $k\ge 1$ , $m\ge 1$ (og $f(0)=0$ ) styres alt av $k$ målt mot $m$ . Den deriverte for $x\neq 0$ er (sin-varianten)
$f'(x) = kx^{k-1}\sin(1/x^m) - m\,x^{k-m-1}\cos(1/x^m),$
og det kritiske leddet er cos-leddet med eksponent $k-m-1$ :

Spørsmål	Krav	Hvorfor
Kontinuerlig i $0$ ?	$k \ge 1$	Skvis: $\|f(x)\|\le\|x\|^k\to 0$
Deriverbar i $0$ ?	$k \ge 2$	Differansekvotienten $h^{k-1}\sin(1/h^m)$ skvises til $0$ når $k-1\ge 1$ ; for $k=1$ oscillerer den
$f'$ kontinuerlig i $0$ ?	$k \ge m+2$	Cos-leddet $m\,x^{k-m-1}\cos(1/x^m)$ krever $k-m-1\ge 1$ for å skvises til $0$ ; for $k-m-1=0$ oscillerer det begrenset, for $k-m-1<0$ ubegrenset

Regnskapet er arbeidsverktøyet ditt for å SJEKKE svaret — føringen på eksamen skal fortsatt gå via skvis og differansekvotient, ikke via tabellen.

✏️Gjennomregnet eksamenscase (med sensor-margnotater)

f(x) = \begin{cases} x^2\sin\!\left(\dfrac{1}{x^3}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0. \end{cases}

(a) Vis at

f

er kontinuerlig i

0

. (b) Avgjør om

f

er deriverbar i

0

. (c) Er

f'

kontinuerlig i

0

(a) Kontinuitet — skvis med uttalt begrensethet. For alle

x\neq 0

|\sin(1/x^3)| \le 1

, så

-x^2 \le x^2\sin(1/x^3) \le x^2.

Både

-x^2\to 0

x^2 \to 0

når

x\to 0

, så skviseteoremet gir

\lim_{x\to 0} f(x) = 0 = f(0)

. Dermed er

f

kontinuerlig i

0

. ✓
> Sensor: begrensetheten

|\sin(1/x^3)|\le 1

skal STÅ i besvarelsen, og konklusjonen skal kobles til

f(0)

— «grensen er 0» alene er ikke kontinuitet.

(b) Deriverbarhet — differansekvotienten.
$\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{h^2\sin(1/h^3)}{h} = h\sin(1/h^3).$
Igjen skvis: $|h\sin(1/h^3)| \le |h| \to 0$ , så
$f'(0) = \lim_{h\to 0} h\sin(1/h^3) = 0.$
$f$ er deriverbar i $0$ med $f'(0)=0$ . ✓
> Sensor: dette MÅ føres via differansekvotienten. Å derivere formelen og «sette inn $x=0$ » gir null uttelling — formelen for $f'$ gjelder bare for $x\neq 0$ .

(c) Er $f'$ kontinuerlig i $0$ ? For $x \neq 0$ gir produkt- og kjerneregelen (lovlige der)
$f'(x) = 2x\sin(1/x^3) + x^2\cos(1/x^3)\cdot(-3x^{-4}) = 2x\sin(1/x^3) - \frac{3\cos(1/x^3)}{x^2}.$
Første ledd skvises til $0$ . Andre ledd er ubegrenset: langs $x_n = (2\pi n)^{-1/3} \to 0$ er $\cos(1/x_n^3) = \cos(2\pi n) = 1$ , så $f'(x_n) = 2x_n\sin(2\pi n) - 3/x_n^2 = -3/x_n^2 \to -\infty$ . Altså finnes ikke $\lim_{x\to 0} f'(x)$ , og $f'$ er ikke kontinuerlig i $0$ .
> Sensor: legg merke til retningen — $f$ ER deriverbar i $0$ (fra (b)) selv om $\lim f'(x)$ ikke finnes. Å bruke (c) til å «ombestemme seg» om (b) er kjernefellen og koster grovt. Eksponentregnskapet bekrefter: $k=2\ge 2$ gir (b), men $k-m-1 = 2-3-1 = -2 < 1$ feller (c).

Drill A — oscillasjonsfamilien

📝Oppgave 1

La $f(x)=x\sin(1/x)$ for $x\neq0$ og $f(0)=0$ .

a) Vis at $f$ er kontinuerlig i $0$ .

b) Avgjør om $f$ er deriverbar i $0$ .

📝Oppgave 2

La $g(x)=x^2\cos(1/x)$ for $x\neq0$ og $g(0)=0$ .

a) Vis at $g$ er deriverbar i $0$ , og finn $g'(0)$ .

b) Er $g'$ kontinuerlig i $0$ ?

📝Oppgave 3

La $f(x)=x^5\cos(1/x^2)$ for $x\neq0$ og $f(0)=0$ . Avgjør om $f'$ er kontinuerlig i $0$ . (Husk: du må først finne $f'(0)$ med definisjonen.)

📝Oppgave 4

La $f(x)=x^4\sin(1/x^3)$ for $x\neq0$ og $f(0)=0$ .

a) Vis at $f$ er deriverbar i $0$ .

b) Vis at $\lim_{x\to0}f'(x)$ ikke finnes, og forklar hvorfor dette IKKE motsier a).

📝Oppgave 5

La $f(x)=x^2\sin(1/x)$ for $x\neq0$ og $f(0)=0$ — standardmoteksemplet. Regn HELT ut: vis at $f$ er deriverbar i alle punkter, men at $f'$ er diskontinuerlig i $0$ .

📝Oppgave 6

La $f(x)=x^k\sin(1/x)$ for $x\neq0$ , $f(0)=0$ , der $k\ge1$ er et heltall. For hvilke $k$ er $f$ deriverbar i $0$ med kontinuerlig derivert der? Begrunn med skvis og følger — ikke bare tabellen.

Drill B — skjøter og blandede spørsmålsstillinger

📝Oppgave 7

Bestem

a

b

slik at

f(x) = \begin{cases} ax+b, & x \le 0 \\ x^2\cos(1/x), & x > 0 \end{cases}

blir deriverbar i

0

📝Oppgave 8

Bestem

a

b

slik at

g(x) = \begin{cases} ax^2+b, & x \le 1 \\ \ln x + 2, & x > 1 \end{cases}

blir deriverbar i

x=1

📝Oppgave 9

f(x) = \begin{cases} x^3\cos(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0. \end{cases}

a) Vis at $f$ er deriverbar i $0$ , og finn $f'(0)$ .

b) Avgjør om $f'$ er kontinuerlig i $0$ .

c) Hvilket svar i b) hadde du fått for $x^2\cos(1/x)$ ? Pek på forskjellen.

📝Oppgave 10

La $f(x)=x^2\sin(1/x)$ for $x\neq0$ , $f(0)=0$ (fra oppgave 5). En medstudent skriver: « $\lim_{x\to0}f'(x)$ finnes ikke, så $f$ er ikke deriverbar i $0$ .» Forklar presist hva som er galt, og formuler regelen som faktisk gjelder (med retning).

📝Oppgave 11

f(x) = \begin{cases} x^2\sin(1/x) + 3x, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0. \end{cases}

Vis at

f

er deriverbar i

0

og finn

f'(0)

. Finnes

\lim_{x\to0}f'(x)

📝Oppgave 12

Konstruer selv et eksempel: oppgi en funksjon $f$ med $f(0)=0$ som er kontinuerlig i $0$ , IKKE deriverbar i $0$ , og der differansekvotienten i $0$ er begrenset. Begrunn alle tre egenskapene.

Typiske feil

- Kjernefellen: konkludere «ikke deriverbar» fordi $\lim_{x\to a} f'(x)$ ikke finnes. Grense-av-derivert-setningen går bare én vei — differansekvotienten avgjør, alltid.
- Derivere formelen i stedet for differansekvotienten i punktspørsmålet. Formelen for $f'$ gjelder bare $x\neq a$ ; i selve punktet er den irrelevant som bevis.
- Skvis uten å uttale begrensetheten. $|\sin(1/x^m)|\le1$ / $|\cos(1/x^m)|\le1$ skal STÅ — det er den linjen som gjør skvisen gyldig, og den fasitpraksisen ser etter.
- Hoppe over én ensidig grense i skjøter — én side er et halvt svar.
- Blande verdi- og derivertbetingelsen i parametervarianten: kontinuitet gir én likning (verdier), deriverbarhet en annen (ensidige deriverte) — to likninger, to ukjente, aldri én blandet.
- Kontinuitet «vist» uten kobling til $f(a)$ : grensen alene er ikke kontinuitet; konklusjonen skal være $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ .

Kortliste — sjekk deg selv

Kortdefinisjonene under er drillens kjerneinnhold i oppslagsform.

Oscillasjonsfamilien

x^k\sin(1/x^m)

Skviseargumentet (uttal begrensetheten)

|\sin(1/x^m)|\le1

Differansekvotient-plikten

\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Oscillasjonsfellen (kjernefellen)

f

Grense-av-derivert (motsatt retning)

f

Skjøtealgoritmen (parametervarianten)

Per skjøtepunkt: kontinuitetslikning (grenene gir samme verdi) + derivertlikning (ensidige deriverte like) — løs systemet. To betingelser, to likninger; bland dem aldri.

Eksponentregnskapet

x^k\sin/\cos(1/x^m)

Ensidige deriverte (i drillen)

f'_-(a)

Kontinuitetskoblingen til

f(a)

a

Følgeargument mot grense

x_n\to a

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.