Tilbake
2.3
Alle fag for Høyskole

2.3 Kontinuitet: skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen

Kontinuitet på intervaller og de to eksistenssetningene — grunnlaget for eksistens+entydighet-kjeden i Del 4 og for kontinuerlig utvidelse.

50 min
15 oppgaver
Kontinuitetskjæringssetningenekstremalverdisetningen
Din fremgang i kapitlet
0 / 15 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på grensebegrepet fra kap. 2.1 (grenser) og regneteknikken fra kap. 2.2 (du bruker L'Hôpital/skvis i de kontinuerlige utvidelsene). Det intuitive kontinuitetsbildet — «grafen kan tegnes uten å løfte blyanten» — er fra Kontinuitet (R1 3.2). Her gjør vi det presist og kobler det til eksistenssetningene.

Sist du var her: en funksjon er kontinuerlig i et punkt hvis grafen henger sammen der — ingen sprang, hull eller uendelige hopp. Nå fester vi dette til grensedefinisjonen: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Kontinuitet er kravet om at grensen og funksjonsverdien faller sammen: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a). Det høres teknisk ut, men det er nettopp denne egenskapen som gjør at grafen ikke har sprang — og det er sprangfriheten som lar oss slutte at en funksjon må treffe en verdi underveis (skjæringssetningen) og må nå en største og minste verdi på et lukket intervall (ekstremalverdisetningen).

Disse to eksistenssetningene er verktøyene bak «vis at likningen har en løsning» og «vis at funksjonen har et maksimum» — oppgaver der du ikke kan finne svaret, bare bevise at det finnes. Fire læringsløkker: (1) kontinuitet i punkt og på intervall, (2) skjæringssetningen, (3) ekstremalverdisetningen, (4) kontinuerlig utvidelse koblet til f(a)f(a).

Løkke 1 — Kontinuitet i punkt og på intervall (~12 min)

Kontinuitet i et punkt
En funksjon ff er kontinuerlig i aa dersom grensen finnes og er lik funksjonsverdien:
lim⁡x→af(x)=f(a).\lim_{x\to a}f(x) = f(a).
Dette krever tre ting samtidig: (i) f(a)f(a) er definert, (ii) lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) finnes, (iii) de to er like. Svikter ett av dem, er ff diskontinuerlig i aa.
Kontinuitet på et intervall
ff er kontinuerlig på et intervall dersom den er kontinuerlig i hvert indre punkt, og ensidig kontinuerlig i endepunktene som hører med. På [a,b][a,b] betyr det: kontinuerlig i alle indre xx, høyrekontinuerlig i aa og venstrekontinuerlig i bb. «Kontinuerlig på [a,b][a,b]» er forutsetningen i begge eksistenssetningene.
Ensidig kontinuitet
ff er høyrekontinuerlig i aa hvis lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), og venstrekontinuerlig hvis lim⁡x→a−f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a). ff er kontinuerlig i aa hviss den er både høyre- og venstrekontinuerlig. I skjøtepunkter (der funksjonen er definert stykkevis) må hver side regnes for seg.
Kontinuitet av kombinasjoner

Sum, differanse, produkt og kvotient (der nevner ≠0\neq0) av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige, og det samme er sammensetninger: er gg kontinuerlig i aa og ff kontinuerlig i g(a)g(a), så er f∘gf\circ g kontinuerlig i aa. Følgen: polynomer, sin⁡\sin, cos⁡\cos, exe^x, ln⁡x\ln x (på sitt område) og alt bygget av disse er kontinuerlige der de er definert — så du kan sette inn direkte.

✏️Eksempel 1: kontinuitet i et skjøtepunkt

For hvilken verdi av aa er ff kontinuerlig i x=1x=1, når f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 for x≤1x\le1 og f(x)=ax+2f(x)=ax+2 for x>1x>1?

Regn de to ensidige grensene og funksjonsverdien i skjøten.
- Venstre (x→1−x\to1^-, bruk x2+1x^2+1): lim⁡x→1−f(x)=12+1=2\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+1=2. Dette er også f(1)=2f(1)=2.
- Høyre (x→1+x\to1^+, bruk ax+2ax+2): lim⁡x→1+f(x)=a⋅1+2=a+2\lim_{x\to1^+}f(x)=a\cdot1+2=a+2.

Kontinuitetskravet er at de tre faller sammen: a+2=2a+2 = 2, altså a=0\boxed{a=0}.

Med a=0a=0 er høyresiden f(x)=2f(x)=2, og grensene fra begge sider er 2=f(1)2=f(1) — kontinuerlig. (Merk: her regnes hver side hver for seg; det er selve poenget i skjøtepunkter.)

📝Oppgave 1

For hvilken bb er ff kontinuerlig i x=2x=2, når f(x)=3x−1f(x)=3x-1 for x<2x<2 og f(x)=x2+bf(x)=x^2+b for x≥2x\ge2?

📝Oppgave 2

Er f(x)=x2−1x−1f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} kontinuerlig i x=1x=1? Begrunn.

Løkke 2 — Skjæringssetningen (~15 min)

📜Skjæringssetningen (mellomverdisetningen)

Er ff kontinuerlig på [a,b][a,b] og y0y_0 et tall mellom f(a)f(a) og f(b)f(b), så finnes minst én c∈(a,b)c\in(a,b) med f(c)=y0f(c)=y_0. Spesialtilfellet vi bruker mest: har f(a)f(a) og f(b)f(b) motsatt fortegn, finnes minst én cc med f(c)=0f(c)=0 — altså en løsning av likningen f(x)=0f(x)=0 i (a,b)(a,b).

En kontinuerlig graf som starter under og ender over xx-aksen må krysse den. Setningen gir eksistens, ikke verdien av cc.

Bevismalen for eksistens (skjæringssetningen)

Standardføringen for «vis at likningen har en løsning i [a,b][a,b]»: (1) omform til f(x)=0f(x)=0 ved å flytte alt til én side; (2) regn f(a)f(a) og f(b)f(b) (grove overslag på fortegn holder) og pek på motsatt fortegn; (3) nevn kontinuiteten — ff er kontinuerlig på [a,b][a,b] (polynom/eksp./osv.); (4) navngi setningen og konkluder: etter skjæringssetningen finnes c∈(a,b)c\in(a,b) med f(c)=0f(c)=0. Alle fire ledd kreves for full pott.

✏️Eksempel 2: eksistens av løsning

Vis at likningen x5=3−2xx^5 = 3 - 2x har minst én løsning i [0,2][0,2].

Steg 1 — omform til f(x)=0f(x)=0. Sett f(x)=x5+2x−3f(x)=x^5+2x-3; da er f(x)=0f(x)=0 ekvivalent med x5=3−2xx^5=3-2x.

Steg 2 — fortegn i endepunktene.
f(0)=0+0−3=−3<0,f(2)=32+4−3=33>0.f(0)=0+0-3=-3<0,\qquad f(2)=32+4-3=33>0.
Motsatt fortegn.

Steg 3 — kontinuitet. ff er et polynom, altså kontinuerlig på hele [0,2][0,2].

Steg 4 — navngi og konkluder. Etter skjæringssetningen finnes minst én c∈(0,2)c\in(0,2) med f(c)=0f(c)=0, altså en løsning av x5=3−2xx^5=3-2x. ■\qquad\blacksquare

(Vil man ha «nøyaktig én»: f′(x)=5x4+2>0f'(x)=5x^4+2>0 for alle xx, så ff er strengt voksende og treffer 00 bare én gang — foregriper Del 4.)

📝Oppgave 3

Vis at x5+x=1x^5+x=1 har minst én løsning i [0,1][0,1].

📝Oppgave 4

Vis at cos⁡x=x\cos x = x har en løsning i [0,1][0,1]. (Radianer.)

Løkke 3 — Ekstremalverdisetningen (~10 min)

📜Ekstremalverdisetningen (Max–Min)

Er ff kontinuerlig på et lukket, begrenset intervall [a,b][a,b], så antar ff både en største og en minste verdi på [a,b][a,b]: det finnes xmax⁡,xmin⁡∈[a,b]x_{\max},x_{\min}\in[a,b] med f(xmin⁡)≤f(x)≤f(xmax⁡)f(x_{\min})\le f(x)\le f(x_{\max}) for alle x∈[a,b]x\in[a,b].

Begge forutsetningene er nødvendige: på et åpent intervall (0,1)(0,1) kan f(x)=xf(x)=x ikke nå noe maksimum, og på et ubegrenset intervall kan f(x)=xf(x)=x vokse uten grense. Setningen sier at ekstremalverdiene finnes — ikke hvor. Den brukes «uten regning» i drøfting (kap. 3.5) til å begrunne eksistensen.

✏️Eksempel 3: når gjelder ekstremalverdisetningen?

Avgjør for hver funksjon om ekstremalverdisetningen garanterer både største og minste verdi: (a) f(x)=x3−xf(x)=x^3-x på [−2,2][-2,2]; (b) g(x)=1x\displaystyle g(x)=\frac1x på (0,1](0,1]; (c) h(x)=x2h(x)=x^2 på [0,∞)[0,\infty).

(a) ff er et polynom (kontinuerlig) og intervallet [−2,2][-2,2] er lukket og begrenset. Ekstremalverdisetningen garanterer både største og minste verdi. ✔

(b) Intervallet (0,1](0,1] er ikke lukket i venstre ende, og g(x)=1x→∞\displaystyle g(x)=\frac1x\to\infty når x→0+x\to0^+. Ingen største verdi finnes — setningens forutsetning er brutt. ✘

(c) Intervallet [0,∞)[0,\infty) er ubegrenset, og h(x)=x2→∞h(x)=x^2\to\infty. Ingen største verdi — forutsetningen (begrenset) er brutt. (Minste verdi 00 finnes, men setningen garanterer ikke begge.) ✘

📝Oppgave 5

Garanterer ekstremalverdisetningen både største og minste verdi for f(x)=1x−2\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-2} på [3,5][3,5]? Begrunn.

Løkke 4 — Kontinuerlig utvidelse (koble til f(a)f(a)) (~13 min)

Kontinuerlig utvidelse

Er ff definert nær aa men ikke i aa (et «hull»), og grensen lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L finnes, kan vi utvide ff kontinuerlig ved å definere f(a)=Lf(a)=L. Verdien c=Lc=L er den eneste som gjør ff kontinuerlig i aa. Føringskravet: regn grensen og skriv eksplisitt at c=f(a)=Lc=f(a)=L — koblingen til f(a)f(a) er poenget, ikke bare tallet.

✏️Eksempel 4: bestem c som fyller hullet

Bestem cc slik at ff blir kontinuerlig i x=0x=0, når f(x)=sin⁡2xxf(x)=\dfrac{\sin 2x}{x} for x≠0x\neq0 og f(0)=cf(0)=c.

Regn grensen (formen [0/0][0/0]). Skriv om til standardgrensen:
lim⁡x→0sin⁡2xx=lim⁡x→02⋅sin⁡2x2x=2⋅1=2.\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x\to0}2\cdot\frac{\sin 2x}{2x} = 2\cdot 1 = 2.
(Alternativt L'Hôpital: 2cos⁡2x1→2\displaystyle \frac{2\cos2x}{1}\to2.)

Koble til f(0)f(0). For at ff skal være kontinuerlig i 00 må f(0)=lim⁡x→0f(x)f(0)=\lim_{x\to0}f(x), altså
c=f(0)=2.c = f(0) = 2.
Med c=2c=2 er lim⁡x→0f(x)=2=f(0)\lim_{x\to0}f(x)=2=f(0) — kontinuerlig. Svar: c=2\boxed{c=2}.

(Å bare skrive «grensen er 22» uten å slå fast c=f(0)=2c=f(0)=2 gir trekk — koblingen er føringskravet.)

📝Oppgave 6

Bestem cc slik at f(x)=x2−9x−3f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3} for x≠3x\neq3, f(3)=cf(3)=c, blir kontinuerlig i x=3x=3.

📝Oppgave 7

Bestem cc slik at f(x)=ex−1xf(x)=\dfrac{e^{x}-1}{x} for x≠0x\neq0, f(0)=cf(0)=c, blir kontinuerlig i x=0x=0.

📝Oppgave 8

Kan f(x)=∣x∣xf(x)=\dfrac{|x|}{x} (x≠0x\neq0) utvides kontinuerlig i x=0x=0? Begrunn med ensidige grenser.

Flere øvingsoppgaver

📝Oppgave 9

Vis at x3−6x+2=0x^3 - 6x + 2 = 0 har minst tre løsninger. (Hint: sjekk fortegn i flere punkter.)

📝Oppgave 10

Bestem cc slik at f(x)=1−cos⁡xxf(x)=\dfrac{1-\cos x}{x} for x≠0x\neq0, f(0)=cf(0)=c, blir kontinuerlig i 00.

📝Oppgave 11

Vis at et polynom av oddegrad, p(x)=x3+ax2+bx+cp(x)=x^3+ax^2+bx+c, alltid har minst én reell rot.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene i kortform. Repetisjons- og flashcard-stoff — hopp trygt over ved førstegangslesing.

Diskontinuitet (typer)

En funksjon er diskontinuerlig i aa hvis lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a) svikter. Tre typer: hull (grensen finnes, men f(a)f(a) mangler/avviker — kan fikses ved utvidelse), sprang (venstre- og høyregrense ulike — kan ikke fikses), og pol (funksjonen →±∞\to\pm\infty).

Rot / nullpunkt

En rot (eller et nullpunkt) for ff er et tall cc med f(c)=0f(c)=0. Å «løse g(x)=h(x)g(x)=h(x)» tilsvarer å finne en rot for f=g−hf=g-h. Skjæringssetningen brukes nettopp til å bevise at slike røtter finnes, uten å regne dem ut.

Fortegnsskifte

At f(a)f(a) og f(b)f(b) har motsatt fortegn (f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0). For en kontinuerlig ff garanterer et fortegnsskifte en rot mellom aa og bb (skjæringssetningen). Grove overslag på fortegnet holder — du trenger ikke eksakte verdier.

Lukket, begrenset intervall
[a,b][a,b] med endelige a,ba,b og begge endepunkter med: «lukket» = tar med endepunktene, «begrenset» = endelig lengde. Dette er den nøyaktige forutsetningen i ekstremalverdisetningen. (a,b)(a,b) (åpent) og [a,∞)[a,\infty) (ubegrenset) oppfyller den ikke.
Global ekstremalverdi

Den største (globalt maksimum) eller minste (globalt minimum) verdien ff antar på hele definisjonsområdet — i motsetning til et lokalt ekstremum, som bare er størst/minst i en liten omegn. Ekstremalverdisetningen garanterer globale ekstremalverdier på lukket, begrenset intervall; drøftingen (kap. 3.5) finner hvor.

Mellomverdi

Et tall y0y_0 som ligger mellom f(a)f(a) og f(b)f(b). Skjæringssetningen (mellomverdisetningen) sier at en kontinuerlig ff antar enhver mellomverdi minst én gang på [a,b][a,b] — spesialtilfellet y0=0y_0=0 gir eksistens av en rot ved fortegnsskifte.

Elementære funksjoner er kontinuerlige

Polynomer, rasjonale funksjoner, sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan, exe^x, ln⁡x\ln x, x\sqrt{x} og potensfunksjoner er kontinuerlige overalt der de er definert. Alt bygget av disse med +,−,×,÷+,-,\times,\div og sammensetning arver kontinuiteten. Praktisk følge: du kan sette inn direkte med mindre innsetting gir en ubestemt form eller et udefinert punkt.

Fjernbar diskontinuitet (hull)

En diskontinuitet der grensen lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L finnes, men f(a)f(a) mangler eller avviker fra LL. Den er fjernbar: definér f(a)=Lf(a)=L og funksjonen blir kontinuerlig (kontinuerlig utvidelse). Typisk fra en brøk som forkortes, som x2−9x−3\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3} i x=3x=3.

Sprangdiskontinuitet

En diskontinuitet der venstre- og høyregrense begge finnes, men er ulike: lim⁡x→a−f≠lim⁡x→a+f\lim_{x\to a^-}f\neq\lim_{x\to a^+}f. Grafen «hopper». En sprangdiskontinuitet er ikke fjernbar — ingen enkeltverdi f(a)f(a) kan lukke et sprang. Eksempel: ∣x∣x\displaystyle \frac{|x|}{x} i x=0x=0 (hopper fra −1-1 til 11).

Entydig løsning (eksistens + monotoni)

For å vise at en likning har nøyaktig én løsning kombineres to argumenter: skjæringssetningen gir eksistens (fortegnsskifte), og strengt monotoni (f′f' med fast fortegn) gir entydighet — en strengt voksende/avtagende funksjon treffer hver verdi høyst én gang. De to er atskilte leveranser (utdypes i Del 4).

Nullpunktsetningen (Bolzano)

Spesialtilfellet av skjæringssetningen vi bruker mest: er ff kontinuerlig på [a,b][a,b] med f(a)f(a) og f(b)f(b) av motsatt fortegn, finnes minst én c∈(a,b)c\in(a,b) med f(c)=0f(c)=0. Det er dette som gjør et fortegnsskifte til et eksistensbevis for en rot.

Kontinuitet av sammensetning f∘gf\circ g

Er gg kontinuerlig i aa og ff kontinuerlig i g(a)g(a), så er den sammensatte f(g(x))f(g(x)) kontinuerlig i aa. Derfor er f.eks. esin⁡xe^{\sin x} og ln⁡(1+x2)\ln(1+x^2) kontinuerlige — bygget av kontinuerlige byggeklosser. Grunnlaget for å sette inn direkte i sammensatte uttrykk.

Uendelig diskontinuitet (pol)

En diskontinuitet der funksjonen vokser uten grense nær aa: lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty. Grensen finnes ikke som et endelig tall, så diskontinuiteten er verken fjernbar eller et endelig sprang. Typisk fra en nevner som blir 00 uten at telleren gjør det, som 1x−2\displaystyle \frac1{x-2} i x=2x=2.

Definisjonsmengde

Mengden av xx-verdier funksjonen er definert for. Kontinuitet vurderes bare der funksjonen er definert: ln⁡x\ln x er kontinuerlig på sin definisjonsmengde (0,∞)(0,\infty), ikke i x≤0x\le0 (der den ikke finnes). Å sjekke definisjonsmengden er første steg før man påstår kontinuitet på et intervall.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.