Tilbake
2.4
Alle fag for Høyskole

2.4 Drill: ε-δ-malen og grensetempo

ε-δ-føringen til automatikk og alle ubestemte former i tempo — gratispoengene i midten av settet skal sitte.

80 min
14 oppgaver
Drillε-δ-malengrensetempo
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet drar sammen kap. 2.1 (ε-δ-malen), kap. 2.2 (grenseteknikkene: L'Hôpital, konjugat, logaritmetriks, skvis, standardgrenser) og kap. 2.3 (kontinuerlig utvidelse). Ingen nye teknikker introduseres — her trenes de du allerede har. Er noe rustent, hopp tilbake til teorikapitlet før du driller.

Løsningsoppskrift 1 — ε-δ-beviset som algoritme

For lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L (endelig aa):

1. Skriv definisjonen. «Gitt ε>0\varepsilon>0, vi søker δ>0\delta>0 slik at 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.»
2. Faktoriser ∣f(x)−L∣=∣x−a∣⋅∣g(x)∣|f(x)-L| = |x-a|\cdot|g(x)|.
3. Avgrens restfaktoren: krev ∣x−a∣<1|x-a|<1, finn xx-intervallet, og les av KK med ∣g(x)∣≤K|g(x)|\le K.
4. Velg δ=min⁡{1, ε/K}\delta=\min\{1,\ \varepsilon/K\} (dropp min⁡\min bare hvis gg er konstant, dvs. lineær ff).
5. Verifiser implikasjonen: 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣=∣x−a∣∣g(x)∣<εK⋅K=ε\displaystyle 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|=|x-a||g(x)|<\frac{\varepsilon}{K}\cdot K=\varepsilon.

For lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x\to\infty}f(x)=L (R-ε): regn ∣f(x)−L∣|f(x)-L|, løs ∣f(x)−L∣<ε|f(x)-L|<\varepsilon for xx, og les av RR. Krav: x>R⇒∣f(x)−L∣<εx>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.

Løsningsoppskrift 2 — beslutningstre for grenser

1. Sett inn grenseverdien. Får du et bestemt tall? → ferdig, det er grensen.
2. Ubestemt form? Klassifiser: [0/0][0/0], [∞/∞][\infty/\infty], 0⋅∞0\cdot\infty, ∞−∞\infty-\infty, 1∞1^\infty, 000^0, ∞0\infty^0.
3. Velg våpen etter form:
- [0/0][0/0] eller [∞/∞][\infty/\infty]: standardgrense hvis du ser den, ellers L'Hôpital (marker formen!).
- 0⋅∞0\cdot\infty: flytt en faktor til nevneren → brøk → L'Hôpital.
- ∞−∞\infty-\infty: konjugat (røtter) eller fellesnevner (brøker) → brøk.
- 1∞,00,∞01^\infty,0^0,\infty^0: logaritmetriks (ln⁡y=gln⁡f\ln y=g\ln f), finn grensen, eksponentiér tilbake.
- Svinging (sin⁡1x\displaystyle \sin\frac1x) eller begrenset→∞\displaystyle \frac{\text{begrenset}}{\to\infty}: skvis (uttal begrensetheten).
- Rasjonalt mot ∞\infty: del på ledende ledd eller bruk veksthierarkiet.

✏️Gjennomregnet eksamensblokk (med sensor-margnotater)

En midtdel av et sett: (a) Vis med definisjonen at lim⁡x→2(3x2−1)=11\lim_{x\to2}(3x^2-1)=11, og oppgi et δ\delta for ε=0,1\varepsilon=0{,}1. (b) lim⁡x→0ex−1−xx2\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}. (c) lim⁡x→0+(1+3x)1/x\lim_{x\to0^+}(1+3x)^{1/x}. (d) lim⁡x→∞(x2+4x−x)\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x).

(a) ε-δ. ∣(3x2−1)−11∣=3∣x2−4∣=3∣x−2∣∣x+2∣|(3x^2-1)-11|=3|x^2-4|=3|x-2||x+2|. På ∣x−2∣<1|x-2|<1 er x∈(1,3)x\in(1,3), så ∣x+2∣<5|x+2|<5; dermed ∣f−11∣<15∣x−2∣|f-11|<15|x-2|, K=15K=15. Velg δ=min⁡{1, ε/15}\delta=\min\{1,\ \varepsilon/15\}. Verifikasjon: 0<∣x−2∣<δ⇒∣x+2∣<50<|x-2|<\delta \Rightarrow |x+2|<5 og ∣x−2∣<ε/15|x-2|<\varepsilon/15, så ∣f−11∣<15⋅ε15=ε.\displaystyle |f-11|<15\cdot\frac{\varepsilon}{15}=\varepsilon. For ε=0,1\varepsilon=0{,}1: δ=1150≈0,0067\displaystyle \delta=\frac{1}{150}\approx0{,}0067.
> Sensor: Føringsminstekravet er de fire leddene — faktorisering, avgrensning med KK, δ=min⁡\delta=\min, og den fullførte implikasjonen. Det konkrete δ\delta må være et tall. Alt her gir full uttelling.

(b) [0/0][0/0]. Formsjekk: 1−1−00=[0/0]\displaystyle \frac{1-1-0}{0}=[0/0]. L'Hôpital: ex−12x\displaystyle \frac{e^x-1}{2x}, fortsatt [0/0][0/0]. L'Hôpital: ex2→12\displaystyle \frac{e^x}{2}\to\frac12. Svar: 12\displaystyle \frac12.
> Sensor: Marker [0/0][0/0] ved begge deriveringer. Stopp når nevneren ikke lenger gir 00.

(c) 1∞1^\infty. y=(1+3x)1/xy=(1+3x)^{1/x}, ln⁡y=ln⁡(1+3x)x\displaystyle \ln y=\frac{\ln(1+3x)}{x} (form [0/0][0/0]). L'Hôpital: 3/(1+3x)1→3\displaystyle \frac{3/(1+3x)}{1}\to3. Eksponentiér: grensen er e3e^3.
> Sensor: Den som glemmer e(⋅)e^{(\cdot)} og svarer 33 mister poeng. Koblingen y→elim⁡ln⁡yy\to e^{\lim\ln y} må stå.

(d) ∞−∞\infty-\infty. Konjugat: 4xx2+4x+x\displaystyle \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}, del på xx: 41+4/x+1→42=2\displaystyle \frac{4}{\sqrt{1+4/x}+1}\to\frac42=2. Svar: 22.
> Sensor: ∞−∞\infty-\infty er ikke L'Hôpital-klar; konjugatgrepet er det som gir poeng. Kjede-observasjon: settet dekker med vilje tre ulike ubestemte former (b,c,d) — gjenkjenn formen før du velger metode.

Drill A — ε-δ-bevis

📝Oppgave 1

Vis med definisjonen at lim⁡x→2(4x−3)=5\lim_{x\to2}(4x-3)=5, og oppgi δ(ε)\delta(\varepsilon).

📝Oppgave 2

Vis med definisjonen at lim⁡x→2(x2+2x)=8\lim_{x\to2}(x^2+2x)=8.

📝Oppgave 3

Vis med definisjonen at lim⁡x→2x3=8\lim_{x\to2}x^3=8, og oppgi δ\delta for ε=0,5\varepsilon=0{,}5.

📝Oppgave 4

Vis med definisjonen at lim⁡x→2(3x2−1)=11\lim_{x\to2}(3x^2-1)=11, og velg et konkret δ\delta for ε=0,1\varepsilon=0{,}1.

📝Oppgave 5

Vis med definisjonen at lim⁡x→∞5x−1x=5\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{5x-1}{x}=5, og oppgi RR for ε=0,01\varepsilon=0{,}01.

📝Oppgave 6

En kandidat fører lim⁡x→2x2=4\lim_{x\to2}x^2=4 og skriver «velg δ=ε/5\delta=\varepsilon/5». Er beviset komplett? Rett opp føringen.

Drill B — grensetempo (alle former)

📝Oppgave 7
lim⁡x→0sin⁡3xsin⁡5x\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\sin 5x}.
📝Oppgave 8
lim⁡x→01−cos⁡2xx2\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}.
📝Oppgave 9
lim⁡x→∞x2e−x\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^2 e^{-x}.
📝Oppgave 10
lim⁡x→01+x−1x\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.
📝Oppgave 11
lim⁡x→∞(1+5x)x\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac5x\right)^{x}.
📝Oppgave 12
lim⁡x→02x−1x\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2^{x}-1}{x}.
📝Oppgave 13
lim⁡x→1ln⁡xx−1\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}.
📝Oppgave 14
lim⁡x→∞(x2+3x−x2+x)\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2+x}\right).

Hurtigkort til eksamen

Seks oppslagskort som samler drillens kjernegrep. Flashcard-stoff.

ε-δ-malen (fire steg)
Faktoriser ∣f(x)−L∣=∣x−a∣∣g(x)∣|f(x)-L|=|x-a||g(x)| → avgrens ∣g∣≤K|g|\le K på ∣x−a∣<1|x-a|<1 → velg δ=min⁡{1,ε/K}\delta=\min\{1,\varepsilon/K\} → verifiser implikasjonen. For lineær ff droppes min⁡\min: δ=ε/∣m∣\delta=\varepsilon/|m|.
R-ε-malen (mot uendelig)

Regn ∣f(x)−L∣|f(x)-L|, løs ∣f(x)−L∣<ε|f(x)-L|<\varepsilon for xx, les av RR. Krav: x>R⇒∣f(x)−L∣<εx>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. Typisk ∣f−L∣=cx\displaystyle |f-L|=\frac{c}{x} gir R=cε\displaystyle R=\frac{c}{\varepsilon}.

Formsjekk før L'Hôpital

Sett inn grenseverdien; er uttrykket [0/0][0/0] eller [∞/∞][\infty/\infty]? Marker formen. Bare da gjelder L'Hôpital, og markeringen gjentas ved hver derivering. Bestemt tall ⇒ ferdig.

Omskriving av de andre formene
0⋅∞→0\cdot\infty \to brøk (flytt faktor til nevner). ∞−∞→\infty-\infty \to konjugat (røtter) / fellesnevner (brøker). 1∞,00,∞0→1^\infty,0^0,\infty^0 \to logaritmetriks: ln⁡y=gln⁡f\ln y=g\ln f, finn grense, eksponentiér til e(⋅)e^{(\cdot)}.
Standardgrensene
sin⁡xx→1\displaystyle \frac{\sin x}{x}\to1, tan⁡xx→1\displaystyle \frac{\tan x}{x}\to1, 1−cos⁡xx2→12\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12, ex−1x→1\displaystyle \frac{e^x-1}{x}\to1, ln⁡(1+x)x→1\displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x}\to1; veksthierarki ln⁡x≪xp≪ex\ln x\ll x^p\ll e^x; (1+k/x)x→ek(1+k/x)^x\to e^k. Se dem, slipp L'Hôpital.
Skvis (uttal begrensetheten)

Ved svinging eller begrenset→∞\displaystyle \frac{\text{begrenset}}{\to\infty}: klem ff mellom to funksjoner med samme grense. Ulikheten må begrunnes med ∣sin⁡∣≤1|\sin|\le1 eller ∣cos⁡∣≤1|\cos|\le1. Begge ytterfunksjonene →L⇒f→L\to L \Rightarrow f\to L.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.