2.1 ε-δ-grensebevis: faktoriser, avgrens, velg δ = min

$$\lim_{x\to a} f(x) = L.$$

Dette er den intuitive forståelsen fra R1. Resten av kapitlet gjør uttrykket «så mye vi ønsker» og «tilstrekkelig nær» eksakt.

$$0 < |x - a| < \delta \;\Longrightarrow\; |f(x) - L| < \varepsilon.$$

Les kvantorene i riktig rekkefølge: først gir noen deg $\varepsilon$, deretter skal du finne en $\delta$ (som får lov til å avhenge av $\varepsilon$). Betingelsen $0 < |x-a|$ sier at vi ser bort fra selve punktet $x=a$ — grensen bryr seg ikke om $f(a)$.

Tallet $\varepsilon > 0$ er den feiltoleransen motparten krever: svaret $f(x)$ skal ligge nærmere $L$ enn $\varepsilon$, altså $|f(x)-L| < \varepsilon$. Geometrisk er det et vannrett bånd $(L-\varepsilon,\ L+\varepsilon)$ om grenseverdien. Jo mindre $\varepsilon$, jo strengere krav — og du må klare alle $\varepsilon$.

Tallet $\delta > 0$ er ditt svar: hvor nær $a$ det er nok at $x$ ligger for at garantien holder. Det definerer et loddrett intervall $(a-\delta,\ a+\delta)$ om $a$. Du velger $\delta$ etter at $\varepsilon$ er gitt, så $\delta$ er en funksjon av $\varepsilon$. Finnes det alltid et slikt $\delta$, er beviset i havn.

Betingelsen $0 < |x-a| < \delta$ beskriver en punktert omegn om $a$: alle $x$ innenfor avstand $\delta$ fra $a$, bortsett fra $a$ selv. At $a$ er tatt ut, er grunnen til at en funksjon kan ha grense $L$ i $a$ selv om $f(a)$ er noe annet — eller ikke er definert i det hele tatt. Grensen handler om oppførselen rundt $a$, ikke i $a$.

Det foreløpige kravet $|x-a| < 1$ vi legger på for å kunne avgrense restfaktoren. Tallet $1$ er et bekvemt valg (enhver fast positiv radius går an); det låser $x$ til intervallet $(a-1,\ a+1)$, der restfaktoren $|g(x)|$ ikke kan bli større enn en konstant $K$. Kontrollintervallet er det ene av de to kravene som til slutt kombineres i $\delta=\min$.

Den konstanten som avgrenser restfaktoren på kontrollintervallet: $|g(x)| \le K$ for alle $x$ med $|x-a|<1$. Du finner $K$ ved å sette inn intervallets ytterpunkter i $|g(x)|$ og ta den største verdien (eventuelt et litt større, enklere tall). $K$ blir nevneren i $\varepsilon/K$.

$$\delta = \min\Big\{1,\ \tfrac{\varepsilon}{K}\Big\}.$$

Å ta minimum av kontrollkravet ($1$) og toleransekravet ($\varepsilon/K$) garanterer at begge er oppfylt samtidig når $|x-a|<\delta$. Å hoppe over $\min\{1,\cdot\}$ og bare skrive $\delta=\varepsilon/K$ er den vanligste føringsfeilen — da er ikke avgrensningen $|g(x)|\le K$ sikret.

$$x > R \;\Longrightarrow\; |f(x) - L| < \varepsilon.$$

Her erstatter «$x > R$» rollen som «$0<|x-a|<\delta$» hadde i den endelige varianten. Malen blir: regn $|f(x)-L|$, løs ulikheten $|f(x)-L|<\varepsilon$ for $x$, og les av hvilken $R$ som trengs.

To ulike spørsmål som ofte forveksles. At grensen $\lim_{x\to a}f(x)$ finnes, handler kun om oppførselen i den punkterte omegnen $0<|x-a|<\delta$ — verdien $f(a)$ inngår ikke. At funksjonsverdien $f(a)$ finnes, er et separat faktum. En funksjon kan ha grense uten å være definert i $a$ (f.eks. $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ i $x=0$), og kan være definert i $a$ uten at grensen der er lik $f(a)$. Kontinuitet (kap. 2.3) er nettopp kravet om at de to faller sammen.

Selve beviset: å vise at $0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ med det valgte $\delta$. Man antar venstresiden og regner seg fram til høyresiden. Uten dette steget er $\delta$-valget bare en påstand, ikke et bevis.

Faktoren $g(x)$ som blir igjen når $|x-a|$ er trukket ut: $|f(x)-L| = |x-a|\,|g(x)|$. For $f(x)=x^2$ ved $a=2$ er $g(x)=x+2$. Restfaktoren er den som må avgrenses av en skranke $K$ på kontrollintervallet.

For $f(x)=mx+b$ er $|f(x)-L| = |m|\,|x-a|$ uten noen restfaktor å avgrense. Da trengs ikke $\min$-grepet: $\delta=\varepsilon/|m|$ virker direkte (for $m\neq 0$). Dette er den enkleste ε-δ-varianten og en fin oppvarming før polynommalen.

Regnereglene som lar oss bygge grenser fra kjente byggeklosser: grensen av en sum/differanse/produkt er summen/differansen/produktet av grensene, og tilsvarende for kvotient når nevnergrensen er ulik $0$. De brukes til å slippe å føre ε-δ-bevis for hver enkelt grense — men UiB tester av og til at du kan gjøre grunnbeviset likevel.

En grense finnes ikke (funksjonen divergerer i $a$) dersom det ikke finnes noe tall $L$ som oppfyller ε-δ-definisjonen. Typiske grunner: venstre- og høyregrense er ulike (sprang), funksjonen vokser uten grense, eller den svinger uten å nærme seg noe (som $\sin(1/x)$ i $0$). Å bevise divergens er et eget slag argument og etterspørres sjelden i sjanger D.

De to enkleste grensene, som alt annet bygges på via grensesetningene: for konstantfunksjonen er $\lim_{x\to a} k = k$, og for identiteten er $\lim_{x\to a} x = a$. Fra disse to og sum-/produktregelen følger at ethvert polynom $p$ har $\lim_{x\to a} p(x) = p(a)$ — en kjensgjerning ε-δ-beviset bekrefter i det enkelte tilfellet.