Tilbake
3.1
Alle fag for Høyskole

3.1 Deriverbarhet i ett punkt: differansekvotient og skvis

Den deriverte som grense av differansekvotienten — det eneste gyldige beviset i deriverbarhetsspørsmål, og fundamentet for signaturoppgaven.

50 min
17 oppgaver
Deriverbarhet i ett punktdifferansekvotientskvis
Din fremgang i kapitlet
0 / 17 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Grensebegrepet og teknikkene fra kap. 2.2 (grenseteknikk, standardgrenser, skvis) og kontinuitetsdefinisjonen fra kap. 2.3 er verktøykassen her — alt i dette kapitlet er «bare» grenser brukt på én bestemt brøk. Fra R1 bygger vi på Derivasjonens definisjon og Gjennomsnittlig og momentan vekstfart.

Sist du var her (R1-kjernen): gjennomsnittlig vekstfart på [a, a+h][a,\,a+h] er f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}, og den deriverte er grensen av denne når h→0h\to 0. I MAT111 skjerpes kravet: den grensen skal føres som grense, med teknikkene fra Del 2.

Hvorfor et helt kapittel om noe R1 «allerede har gjort»? Fordi MAT111 snur perspektivet. I R1 var definisjonen en mellomstasjon på vei til derivasjonsreglene; her er den selve bevisverktøyet. Eksamen spør ikke «hva er f′(2)f'(2)?» — den spør «er ff deriverbar i 22, og hva er i så fall f′(2)f'(2)?». Det er et eksistensspørsmål, og eksistensspørsmål avgjøres av definisjonen, ikke av regneregler.

Kapitlet bygger opp fire ferdigheter: å regne differansekvotient-grenser direkte (x\sqrt{x}, 1/x1/x), å bruke implikasjonen deriverbar ⇒ kontinuerlig (og vite at den ikke kan snus), å håndtere skjøtepunkter med ensidige deriverte, og å bruke grense-av-derivert-setningen som lovlig snarvei når forutsetningene er sjekket.

Definisjonen: grensen av differansekvotienten

Læringsløkke 1 av 4 — ca. 15 min.

Differansekvotienten
Differansekvotienten er den gjennomsnittlige endringen i funksjonsverdi per enhet endring i xx, målt mellom punktet aa og nabopunktet a+ha+h — stigningstallet til sekanten gjennom (a,f(a))(a, f(a)) og (a+h,f(a+h))(a+h, f(a+h)). Som formel:
f(a+h)−f(a)h,h≠0.\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad h \neq 0.
Den deriverte i et punkt (h-formen)
ff er deriverbar i aa dersom grensen av differansekvotienten finnes når h→0h \to 0. Grenseverdien kalles den deriverte av ff i aa:
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h.f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Finnes ikke grensen, er ff ikke deriverbar i aa. Dette er det ENESTE gyldige beviset når en oppgave spør om deriverbarhet i et punkt.
Sekantformen av definisjonen
Samme definisjon kan skrives med et løpende punkt xx i stedet for et tillegg hh: sett x=a+hx = a+h, så er h→0h \to 0 det samme som x→ax \to a, og
f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a.f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
De to formene er likeverdige — velg den som gir enklest algebra i oppgaven.
Geometrisk tolkning. Differansekvotienten er stigningstallet til sekanten gjennom (a,f(a))(a,f(a)) og (a+h,f(a+h))(a+h, f(a+h)). Når h→0h\to 0, glir det andre punktet inn mot det første, og sekanten dreier mot en grensestilling — tangenten.

Intuisjon: deriverbarhet i aa betyr at grafen har en entydig, ikke-vertikal tangent der: zoomer du langt nok inn på (a,f(a))(a, f(a)), ser grafen ut som en rett linje. Et hjørne (som ∣x∣|x| i origo) har to konkurrerende «tangentretninger» — da finnes ingen grense, og ff er ikke deriverbar der.

Tangenten i punktet
Tangenten til grafen i (a,f(a))(a, f(a)) er linja gjennom punktet med stigningstall f′(a)f'(a) — grensestillingen til sekantene. Likningen er
y=f(a)+f′(a)(x−a).y = f(a) + f'(a)(x-a).
Den finnes bare når ff er deriverbar i aa.
✏️Eksempel 1: $f'(9)$ for $f(x)=\sqrt{x}$ direkte fra definisjonen

Bruk definisjonen av den deriverte til å avgjøre om f(x)=xf(x)=\sqrt{x} er deriverbar i a=9a=9, og finn i så fall f′(9)f'(9).

Vi setter opp differansekvotienten og fører grensen med konjugatgrepet fra kap. 2.2:
f(9+h)−f(9)h=9+h−3h=(9+h−3)(9+h+3)h(9+h+3)=(9+h)−9h(9+h+3)=19+h+3.\frac{f(9+h)-f(9)}{h} = \frac{\sqrt{9+h}-3}{h} = \frac{(\sqrt{9+h}-3)(\sqrt{9+h}+3)}{h(\sqrt{9+h}+3)} = \frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)} = \frac{1}{\sqrt{9+h}+3}.
Nå kan vi la h→0h\to 0 (uttrykket er kontinuerlig i h=0h=0):
f′(9)=lim⁡h→019+h+3=13+3=16.f'(9) = \lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}.
Konklusjon: grensen finnes, så ff er deriverbar i 99 med f′(9)=16f'(9)=\dfrac16. (Kontroll mot regelen f′(x)=12x\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}: f′(9)=16\displaystyle f'(9)=\frac{1}{6} ✓ — men kontrollen er ikke bevis; det er grensen over som er føringen.)
📝Oppgave 1

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f′(3)f'(3) når f(x)=x2f(x)=x^2.

📝Oppgave 2

Bruk definisjonen (h-formen eller sekantformen) til å avgjøre om f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} er deriverbar i a=2a=2, og finn i så fall f′(2)f'(2).

Deriverbar ⇒ kontinuerlig — og hvorfor pilen ikke kan snus

Læringsløkke 2 av 4 — ca. 10 min.

Før vi jakter på deriverbarhet, lønner det seg å vite hva den garanterer: en funksjon som er deriverbar i et punkt, er automatisk kontinuerlig der. Det gir en gratis førstelinje i alle skjøtepunkt-oppgaver: er ff ikke kontinuerlig i aa, er den heller ikke deriverbar i aa — ferdig.

📜Deriverbar ⇒ kontinuerlig
Er ff deriverbar i aa, så er ff kontinuerlig i aa.

Bevis (kort, eksamensaktuelt): for x≠ax \neq a er
f(x)−f(a)=f(x)−f(a)x−a⋅(x−a).f(x)-f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a).
Når x→ax\to a går første faktor mot f′(a)f'(a) (definisjonen, sekantformen) og andre faktor mot 00. Produktregelen for grenser gir
lim⁡x→a(f(x)−f(a))=f′(a)⋅0=0,\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-f(a)\bigr) = f'(a)\cdot 0 = 0,
altså lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x) = f(a) — som er kontinuitetsdefinisjonen fra kap. 2.3. ■\blacksquare

Intuisjon: har grafen en tangent i punktet, kan den ikke samtidig hoppe der — et sprang ville gitt differansekvotienter som blåser opp mot ±∞\pm\infty.

Implikasjonen kan IKKE snus. Kontinuitet gir ingen garanti for deriverbarhet: ∣x∣|x| er kontinuerlig overalt, men har et hjørne i origo. Eksamen elsker denne asymmetrien — «kontinuerlig, men ikke deriverbar» er et standardsvar du må kunne belegge.

Hjørne (knekkpunkt)

Et hjørne er et punkt der grafen er kontinuerlig, men de to ensidige grensene av differansekvotienten finnes og er ulike — grafen «knekker». Da finnes ikke den tosidige grensen, og ff er ikke deriverbar der. Standard­eksempel: ∣x∣|x| i x=0x=0.

✏️Eksempel 2: $|x|$ er kontinuerlig, men ikke deriverbar i $0$

Vis at f(x)=∣x∣f(x)=|x| er kontinuerlig i 00, men ikke deriverbar i 00.

Kontinuitet: lim⁡x→0∣x∣=0=f(0)\lim_{x\to 0}|x| = 0 = f(0) (skvis eller direkte: −∣x∣≤∣x∣-|x| \le |x|-argumentet er unødvendig her, ∣x∣→0|x|\to 0 er en standardgrense). ✓

Deriverbarhet — differansekvotienten:
f(0+h)−f(0)h=∣h∣h={1,h>0−1,h<0.\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} = \begin{cases} 1, & h>0 \\ -1, & h<0. \end{cases}
Høyregrensen er lim⁡h→0+∣h∣h=1\displaystyle \lim_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h}=1 og venstregrensen er lim⁡h→0−∣h∣h=−1\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\frac{|h|}{h}=-1. Siden 1≠−11 \neq -1 finnes ikke den tosidige grensen.

Konklusjon: ff er kontinuerlig i 00, men ikke deriverbar i 00 — implikasjonen «deriverbar ⇒ kontinuerlig» kan altså ikke snus. ■\blacksquare

📝Oppgave 3

Avgjør om g(x)=∣x−1∣g(x)=|x-1| er (i) kontinuerlig og (ii) deriverbar i x=1x=1. Begrunn med definisjonene.

Ensidige deriverte og skjøtepunkter

Læringsløkke 3 av 4 — ca. 12 min.

Stykkevis definerte funksjoner limes sammen i skjøtepunkter, og der må deriverbarhet undersøkes fra hver side. Algoritmen er alltid den samme, i denne rekkefølgen:

1. Kontinuitet først: sjekk lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a). Feiler dette, er ff ikke deriverbar (teoremet over) — stopp.
2. Ensidige differansekvotienter: regn lim⁡h→0−\lim_{h\to 0^-} og lim⁡h→0+\lim_{h\to 0^+} av f(a+h)−f(a)h\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h} hver for seg. Like ⇒ deriverbar med den felles verdien; ulike ⇒ ikke deriverbar.

Intuisjon: kontinuitet limer grafbitene sammen; like ensidige deriverte sliper skjøten glatt.

Ensidige deriverte
De ensidige deriverte i aa er grensene av differansekvotienten fra hver sin side:
f−′(a)=lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)h,f+′(a)=lim⁡h→0+f(a+h)−f(a)h.f'_-(a) = \lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad f'_+(a) = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
ff er deriverbar i aa nøyaktig når begge finnes og er like — da er f′(a)f'(a) den felles verdien.
✏️Eksempel 3: skjøtepunkt som blir glatt
La
f(x)={x2+1,x≤12x,x>1.f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \le 1 \\ 2x, & x > 1. \end{cases}
Avgjør om ff er deriverbar i x=1x=1.
Steg 1 — kontinuitet: venstre: lim⁡x→1−(x2+1)=2\lim_{x\to1^-}(x^2+1)=2; høyre: lim⁡x→1+2x=2\lim_{x\to1^+}2x = 2; og f(1)=12+1=2f(1)=1^2+1=2. Alle tre er like, så ff er kontinuerlig i 11. ✓

Steg 2 — ensidige differansekvotienter (merk: f(1)=2f(1)=2):

Venstre (h<0h<0, da er 1+h≤11+h\le 1 så vi bruker x2+1x^2+1-grenen):
f−′(1)=lim⁡h→0−(1+h)2+1−2h=lim⁡h→0−2h+h2h=lim⁡h→0−(2+h)=2.f'_-(1) = \lim_{h\to0^-}\frac{(1+h)^2+1-2}{h} = \lim_{h\to0^-}\frac{2h+h^2}{h} = \lim_{h\to0^-}(2+h) = 2.
Høyre (h>0h>0, 2x2x-grenen):
f+′(1)=lim⁡h→0+2(1+h)−2h=lim⁡h→0+2hh=2.f'_+(1) = \lim_{h\to0^+}\frac{2(1+h)-2}{h} = \lim_{h\to0^+}\frac{2h}{h} = 2.
Konklusjon: f−′(1)=f+′(1)=2f'_-(1)=f'_+(1)=2, så ff er deriverbar i 11 med f′(1)=2f'(1)=2. Skjøten er glatt.

📝Oppgave 4
La
g(x)={x2,x≤13x−2,x>1.g(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 1 \\ 3x-2, & x > 1. \end{cases}
Avgjør om gg er (i) kontinuerlig og (ii) deriverbar i x=1x=1.
📝Oppgave 5
Bestem konstantene aa og bb slik at
f(x)={ax+b,x<2x2−x,x≥2f(x) = \begin{cases} ax+b, & x < 2 \\ x^2-x, & x \ge 2 \end{cases}
blir deriverbar i x=2x=2.

Grense-av-derivert-setningen — lovlig verktøy i motsatt retning

Læringsløkke 4 av 4 — ca. 13 min.

Definisjonen er obligatorisk når eksamen ber om den. Men det finnes en lovlig snarvei i motsatt retning: hvis ff er kontinuerlig i punktet og den deriverte f′(x)f'(x) (regnet med vanlige regler utenfor punktet) har en grense når xx nærmer seg punktet, så er ff deriverbar der, med nettopp den grensen som derivert. Denne setningen ble bedt bevist på eksamen H2017.

📜Grense-av-derivert-setningen
Anta at ff er kontinuerlig i aa, deriverbar for x≠ax \neq a nær aa, og at
lim⁡x→af′(x)=b\lim_{x\to a} f'(x) = b
finnes. Da er ff deriverbar i aa med f′(a)=bf'(a) = b.

Bevisskisse: for x≠ax\neq a nær aa er differansekvotienten f(x)−f(a)x−a\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a} av formen [0/0][0/0] når x→ax \to a (telleren →0\to 0 nettopp fordi ff er kontinuerlig i aa). L'Hôpital (kap. 2.2) gir da
lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=[0/0]lim⁡x→af′(x)1=b,\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \overset{[0/0]}{=} \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{1} = b,
så grensen av differansekvotienten finnes og er bb, dvs. f′(a)=bf'(a)=b. (Et bevis uten L'Hôpital går via sekantsetningen — den kommer i kap. 4.1.) ■\blacksquare

Når definisjonen MÅ brukes — og når regler er lov

Regelen for valg av verktøy i deriverbarhetsspørsmål:

SituasjonVerktøy
Oppgaven sier «bruk definisjonen»Differansekvotienten — alt annet gir null
Stykkevis funksjon, skjøtepunktKontinuitet først, så ensidige differansekvotienter (eller grense-av-derivert når lim⁡f′\lim f' finnes fra hver side)
Oscillasjonsfamilien xksin⁡/cos⁡(1/xm)x^k\sin/\cos(1/x^m) i 00Differansekvotienten + skvis — lim⁡f′(x)\lim f'(x) kan mangle selv om f′(0)f'(0) finnes (kap. 3.2)
Punkt der funksjonen er gitt ved én pen formel på et åpent intervallDerivasjonsreglene er lov

Advarsel i kortform: at lim⁡x→af′(x)\lim_{x\to a} f'(x) ikke finnes, beviser ALDRI at ff er ikke-deriverbar i aa. Setningen går bare én vei.

✏️Eksempel 4: skjøt avgjort med grense-av-derivert-setningen
La
f(x)={e2x−1,x≤02x+2x2,x>0.f(x) = \begin{cases} e^{2x}-1, & x \le 0 \\ 2x+2x^2, & x > 0. \end{cases}
Vis at ff er deriverbar i 00, og finn f′(0)f'(0).
Steg 1 — kontinuitet i 00: venstre: e0−1=0e^{0}-1 = 0; høyre: 0+0=00+0=0; f(0)=e0−1=0f(0)=e^0-1=0. Kontinuerlig. ✓

Steg 2 — grensen av f′f' fra hver side. For x<0x<0: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}, så lim⁡x→0−f′(x)=2\lim_{x\to 0^-} f'(x) = 2. For x>0x>0: f′(x)=2+4xf'(x) = 2+4x, så lim⁡x→0+f′(x)=2\lim_{x\to 0^+} f'(x) = 2. Begge grensene finnes og er like, med felles verdi 22.

Steg 3 — konkluder med setningen: ff er kontinuerlig i 00 og lim⁡x→0f′(x)=2\lim_{x\to 0} f'(x) = 2 finnes; grense-av-derivert-setningen gir at ff er deriverbar i 00 med f′(0)=2f'(0)=2. ■\blacksquare

Alternativt: ensidige differansekvotienter direkte: lim⁡h→0−e2h−1h=2\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{e^{2h}-1}{h} = 2 (standardgrensen fra kap. 2.2) og lim⁡h→0+2h+2h2h=2\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{2h+2h^2}{h} = 2 — samme konklusjon.

📝Oppgave 6

La f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x} for x≥0x \ge 0 (altså f(x)=x3/2f(x)=x^{3/2}). Vis med differansekvotienten at ff er deriverbar (fra høyre) i 00, og finn f+′(0)f'_+(0). Forklar kort hvorfor grense-av-derivert-setningen gir samme svar.

Drillpulje — stigende vanskegrad

Før differansekvotientene med samme disiplin som i eksemplene: sett opp brøken, forenkle algebraisk, ta grensen, konkluder.

📝Oppgave 7

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f′(2)f'(2) når f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x.

📝Oppgave 8

Grensen lim⁡x→4x2−16x−4\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4} er en differansekvotient i sekantform. Hvilken funksjon ff og hvilket punkt aa dreier det seg om? Regn ut grensen og tolk svaret.

📝Oppgave 9

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f′(4)f'(4) når f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1}.

📝Oppgave 10

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f′(1)f'(1) når f(x)=1x+1f(x)=\dfrac{1}{x+1}.

📝Oppgave 11

La f(x)=x∣x∣f(x)=x|x|. Vis med differansekvotienten at ff er deriverbar i 00, og finn f′(0)f'(0). Sammenlign med ∣x∣|x|: hvorfor redder faktoren xx deriverbarheten?

📝Oppgave 12

Avgjør om f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} er deriverbar i 00. Hva skjer geometrisk?

Begrepsbank

Kortdefinisjonene under er kapitlets ordforråd samlet — de brukes som flashcard-grunnlag og oppslagsverk.

Sekant

En sekant er en rett linje gjennom to punkter på grafen. Stigningstallet til sekanten gjennom (a,f(a))(a,f(a)) og (a+h,f(a+h))(a+h,f(a+h)) er differansekvotienten f(a+h)−f(a)h\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Momentan vekstfart

Den deriverte f′(a)f'(a) tolket som endringstempo: hvor fort ff endrer seg per enhet xx, akkurat i x=ax=a. Grensen av gjennomsnittlig vekstfart (differansekvotienten) når intervallet krymper til null.

Deriverbar på et intervall
ff er deriverbar på et åpent intervall når den er deriverbar i hvert punkt der. Da er x↦f′(x)x \mapsto f'(x) selv en funksjon — derivertfunksjonen — som kan studeres videre (kontinuitet av f′f' er tema i kap. 3.2).
Kontinuitet i punkt (repetisjon)
ff er kontinuerlig i aa når lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x) = f(a): grensen finnes, verdien finnes, og de er like. Fullt apparat i kap. 2.3. I skjøtepunkter sjekkes den med ensidige grenser.
Symbolene f−′(a)f'_-(a) og f+′(a)f'_+(a)

Venstre- og høyrederivert: grensen av differansekvotienten når h→0−h\to 0^- henholdsvis h→0+h\to 0^+. Deriverbarhet i et indre punkt betyr at begge finnes og er like.

Vertikal tangent

Punkt der differansekvotienten går mot ±∞\pm\infty fra begge sider med samme fortegnsoppførsel — grafen er uendelig bratt, og ff er ikke deriverbar der (grensen er uegentlig). Eksempel: x3\sqrt[3]{x} i 00.

Glatt skjøt

Et skjøtepunkt der funksjonen både er kontinuerlig og har like ensidige deriverte — grafen går sømløst over fra én gren til den neste, uten hjørne.

Skjøtealgoritmen

Fast rekkefølge i skjøtepunkter: (1) kontinuitet — verdier og ensidige grenser like; (2) ensidige differansekvotienter — like fra begge sider. I parameteroppgaver gir de to stegene hver sin likning.

Oscillasjonsfamilien (frempek)

Funksjonene xksin⁡(1/xm)x^k\sin(1/x^m) og xkcos⁡(1/xm)x^k\cos(1/x^m) (med verdi 00 i origo) — settets signaturmateriale. De viser at ff kan være deriverbar i 00 selv om lim⁡x→0f′(x)\lim_{x\to0}f'(x) ikke finnes. Full behandling i kap. 3.2.

Motsatt retning-verktøyet (kortversjon)

Grense-av-derivert-setningen: kontinuitet i aa pluss eksisterende lim⁡x→af′(x)=b\lim_{x\to a}f'(x)=b gir f′(a)=bf'(a)=b. Krever begge forutsetningene — og kan aldri brukes til å vise at noe IKKE er deriverbart.

Derivasjonsregler — når de er lov

Sum-, produkt-, kvotient- og kjerneregelen gjelder der funksjonene de brukes på er deriverbare. På et åpent intervall der ff er gitt ved én pen formel, er reglene lovlige; i selve skjøte-/spesialpunktet er definisjonen (eller grense-av-derivert-setningen) det som gjelder.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 5 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.