Tilbake
3.4
Alle fag for Høyskole

3.4 Invers funksjon: eksistens, uttrykk og derivert av invers

Monotoni-begrunnet eksistens, uttrykk med riktig definisjonsmengde og derivert-av-invers-formelen for tangenter til den inverse.

50 min
17 oppgaver
Invers funksjoneksistensuttrykkderivert av invers
Din fremgang i kapitlet
0 / 17 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Derivasjonsgrunnlaget fra kap. 3.1. Fra R1: Omvendte funksjoner (begrepet og grafspeilingen), Derivasjon av omvendte funksjoner (formelen) og Potenser og logaritmer (regnereglene for å løse ut xx).

Sist du var her (nøkkelformlene): f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x; grafen til f−1f^{-1} er grafen til ff speilet om linja y=xy=x; eln⁡x=xe^{\ln x} = x for x>0x>0.

En funksjon kan bare «kjøres baklengs» hvis den aldri sender to ulike xx-verdier til samme yy-verdi. MAT111 spør om dette i tre lag: finnes inversen (eksistens — begrunnes med monotoni), hva er inversen (uttrykk — med definisjonsmengde), og hvor bratt er inversen (derivert — uten å finne uttrykket i det hele tatt).

Det siste laget er det eleganteste: formelen (f−1)′(b)=1/f′(a)(f^{-1})'(b) = 1/f'(a) gir tangenter til den inverse selv når likningen y=f(x)y=f(x) er umulig å løse for hånd — en klassisk eksamenskonstruksjon.

Eksistens: én-til-én via monotoni

Læringsløkke 1 av 4 — ca. 12 min.

Én-til-én (injektiv)

En funksjon er én-til-én når ulike xx-verdier alltid gir ulike funksjonsverdier: x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). Grafisk: ingen horisontal linje treffer grafen mer enn én gang (horisontallinjetesten).

Invers funksjon

Er ff én-til-én på definisjonsmengden DfD_f med verdimengde VfV_f, finnes inversen f−1f^{-1}: funksjonen som sender hver yy i VfV_f tilbake til den entydige xx-en med f(x)=yf(x)=y. Da er Df−1=VfD_{f^{-1}} = V_f og Vf−1=DfV_{f^{-1}} = D_f — mengdene bytter plass.

Strengt monoton
ff er strengt voksende på et intervall når x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2), og strengt avtakende når ulikheten snus. En strengt monoton funksjon er automatisk én-til-én — den kan aldri komme tilbake til en verdi den har brukt.
📜Monotonikriteriet (eksistensverktøyet)

Har f′f' fast fortegn på et intervall II (f′(x)>0f'(x)>0 for alle xx i II, eller f′(x)<0f'(x)<0 for alle xx i II), er ff strengt monoton på II — og dermed én-til-én, så f−1f^{-1} finnes der.

Intuisjon: positiv derivert betyr at grafen klatrer i hvert eneste punkt; da kan den aldri returnere til en gammel verdi. (Den formelle begrunnelsen går via sekantsetningen — den kommer i kap. 4.1; et alternativt argument samme sted: hadde ff truffet samme verdi to ganger, ville Rolles teorem gitt et punkt med f′=0f'=0, i strid med det faste fortegnet.)

*Merk ordet intervall:* kriteriet gjelder kun på sammenhengende mengder — se fellen i læringsløkke 4.

✏️Eksempel 1: eksistens via fortegnet til $f'$

Vis at f(x)=x3+3x+1f(x) = x^3 + 3x + 1 har en invers funksjon definert på hele R\mathbb{R}.

Derivert med fast fortegn: f′(x)=3x2+3≥3>0f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3 > 0 for alle xx — fast positivt fortegn på hele intervallet R\mathbb{R}.

Konklusjon via monotonikriteriet: ff er strengt voksende på R\mathbb{R}, dermed én-til-én, så f−1f^{-1} finnes. Verdimengden er hele R\mathbb{R} (siden f(x)→±∞f(x)\to\pm\infty når x→±∞x\to\pm\infty og ff er kontinuerlig — skjæringssetningen fra kap. 2.3 fyller ut alle mellomverdier), så f−1f^{-1} er definert på hele R\mathbb{R}. ■\blacksquare

📝Oppgave 1

Vis at f(x)=x5+4x−2f(x) = x^5 + 4x - 2 er én-til-én på R\mathbb{R}.

Uttrykk for inversen — med definisjonsmengde

Læringsløkke 2 av 4 — ca. 13 min.

Oppskriften: sett y=f(x)y = f(x), løs for xx, bytt gjerne navn til slutt — og oppgi definisjonsmengden til f−1f^{-1} (som er verdimengden til ff). Den siste linjen er «pluss i margen»-detaljen løsningsforslagene belønner.

Uttrykk for f−1f^{-1}

Framgangsmåte: (1) skriv y=f(x)y=f(x); (2) løs likningen for xx (her brukes potens-/logaritmeregler, fullføring av kvadrat o.l.); (3) resultatet x=f−1(y)x = f^{-1}(y); (4) fastsett Df−1=VfD_{f^{-1}} = V_f — finn verdimengden til ff fra monotonien og endepunkts-/grenseverdiene.

Verdimengdekravet i røtter og logaritmer

Når inversuttrykket inneholder ⋅\sqrt{\cdot} eller ln⁡(⋅)\ln(\cdot), må argumentet være hhv. ≥0\ge 0 og >0> 0 — men den egentlige definisjonsmengden til f−1f^{-1} er verdimengden til ff, som kan være strengere enn det uttrykket alene tillater. Regel: regn ut VfV_f, ikke bare «hva formelen tåler».

✏️Eksempel 2: invers med fullføring av kvadrat

La f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 med definisjonsmengde [2,∞)[2,\infty). Vis at ff er én-til-én der, og finn f−1f^{-1} med definisjonsmengde.

Én-til-én: f′(x)=2x−4≥0f'(x) = 2x-4 \ge 0 for x≥2x\ge2, med likhet kun i x=2x=2 — ff er strengt voksende på intervallet [2,∞)[2,\infty), altså én-til-én. ✓

Uttrykk: fullfør kvadratet: f(x)=(x−2)2+3f(x) = (x-2)^2 + 3. Sett y=(x−2)2+3y = (x-2)^2+3 og løs for xx på [2,∞)[2,\infty) (der x−2≥0x-2\ge0, så den positive roten gjelder):
(x−2)2=y−3⇒x−2=y−3⇒x=2+y−3.(x-2)^2 = y-3 \quad\Rightarrow\quad x - 2 = \sqrt{y-3} \quad\Rightarrow\quad x = 2 + \sqrt{y-3}.
Definisjonsmengde: ff er voksende fra f(2)=3f(2) = 3 mot ∞\infty, så Vf=[3,∞)V_f = [3,\infty). Dermed
f−1(x)=2+x−3,Df−1=[3,∞).f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x-3}, \qquad D_{f^{-1}} = [3,\infty).
(Merk: uten intervallrestriksjonen [2,∞)[2,\infty) hadde ff ikke vært én-til-én — parabelen bruker hver verdi over 3 to ganger.)

📝Oppgave 2

La f(x)=x−2+3f(x) = \sqrt{x-2} + 3.

a) Oppgi definisjonsmengde og verdimengde for ff.

b) Finn f−1f^{-1} med definisjonsmengde.

📝Oppgave 3

La g(x)=ln⁡(x2+4x+5)g(x) = \ln(x^2+4x+5) med definisjonsmengde [−2,∞)[-2,\infty). Vis at gg er én-til-én der, og finn g−1g^{-1} med definisjonsmengde.

Derivert av invers: (f−1)′(b)=1/f′(a)(f^{-1})'(b) = 1/f'(a) — «finn aa først»

Læringsløkke 3 av 4 — ca. 13 min.

Her trengs ikke noe uttrykk for f−1f^{-1} i det hele tatt — bare punktet. Intuisjon: speiling om y=xy=x bytter om «bortover» og «oppover», så stigningstallet inverteres: bratt graf gir slak invers og omvendt.

📜Derivert av invers funksjon
Er ff deriverbar i aa med f′(a)≠0f'(a) \neq 0, og f−1f^{-1} finnes nær b=f(a)b = f(a), så er f−1f^{-1} deriverbar i bb med
(f−1)′(b)=1f′(a),der f(a)=b.(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}, \qquad\text{der } f(a) = b.
Merk: det deriveres i aa — punktet på ff-siden — ikke i bb. (Formelen følger av kjerneregelen på identiteten f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x: f′(f−1(b))⋅(f−1)′(b)=1f'(f^{-1}(b))\cdot(f^{-1})'(b) = 1.)
Oppskriften «finn aa først»

Skal du regne (f−1)′(b)(f^{-1})'(b): (1) finn aa ved å løse f(a)=bf(a) = b (prøv små heltall — eksamensoppgavene er rigget for det); (2) regn f′(a)f'(a); (3) svaret er 1/f′(a)1/f'(a). Å regne 1/f′(b)1/f'(b) — altså å derivere i feil punkt — er sjangerens klassiske feil.

✏️Eksempel 3: $(f^{-1})'(2)$ uten uttrykk for inversen

La f(x)=x3+4x−3f(x) = x^3 + 4x - 3. Forklar hvorfor f−1f^{-1} finnes, og regn ut (f−1)′(2)(f^{-1})'(2).

Eksistens: f′(x)=3x2+4≥4>0f'(x) = 3x^2+4 \ge 4 > 0 på hele R\mathbb{R} — monotonikriteriet gir strengt voksende, så f−1f^{-1} finnes. ✓

Finn aa først: løs f(a)=2f(a) = 2: prøv a=1a=1: 1+4−3=21 + 4 - 3 = 2. ✓ (Monotonien garanterer at a=1a=1 er den eneste løsningen.)

Deriver i aa: f′(1)=3+4=7f'(1) = 3+4 = 7.

Formelen:
(f−1)′(2)=1f′(1)=17.(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{7}.
Konklusjon: (f−1)′(2)=17(f^{-1})'(2) = \dfrac17 — merk at vi aldri trengte noe uttrykk for f−1f^{-1} (og at likningen y=x3+4x−3y = x^3+4x-3 ikke lar seg løse pent for hånd).

📝Oppgave 4

La f(x)=x7+x+2f(x) = x^7 + x + 2. Vis at f−1f^{-1} finnes, og regn ut (f−1)′(4)(f^{-1})'(4).

📝Oppgave 5

La f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x. Finn likningen for tangenten til grafen til f−1f^{-1} i punktet der x=3x = 3.

Største inverterbarhetsintervall — og fellen med usammenhengende mengder

Læringsløkke 4 av 4 — ca. 12 min.

Når ff ikke er én-til-én globalt, spør settene etter det største intervallet rundt et gitt punkt der inversen finnes. Verktøyet er fortegnsskjemaet til f′f': intervallet strekker seg fra forrige til neste fortegnsskifte.

Største inverterbarhetsintervall

Det største intervallet rundt et gitt punkt der ff er strengt monoton — avlest fra fortegnsskjemaet til f′f' som strekningen mellom to nabo-nullpunkter (eller ut mot ±∞\pm\infty). Endepunkter der f′f' er null, kan tas med: monotonien ryker ikke av ett enkelt nullpunkt for f′f'.

✏️Eksempel 4: største intervall rundt $x=3$ (V2020-varianten)

La f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. Finn det største intervallet som inneholder x=3x=3, der ff har invers.

Fortegnsskjema for f′f': f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2), med nullpunkter x=±2x = \pm2:

Intervall(−∞,−2)(-\infty,-2)(−2,2)(-2,2)(2,∞)(2,\infty)
f′(x)f'(x)++−-++

Avlesning: x=3x=3 ligger i (2,∞)(2,\infty), der f′>0f'>0. Monotonien strekker seg ned til x=2x=2 (og f′(2)=0f'(2)=0 i ett enkelt punkt ødelegger ikke streng monotoni på [2,∞)[2,\infty)), men ikke forbi: på (−2,2)(-2,2) avtar ff.
Konklusjon: det største intervallet er [2,∞)[2,\infty) — der er ff strengt voksende og har invers. ■\blacksquare
Fellen: usammenhengende definisjonsmengde

Monotonikriteriet krever et INTERVALL. På en usammenhengende mengde kan f′f' være positiv overalt uten at ff er én-til-én: standardmoteksemplet er tan⁡x\tan x på (−π2,π2)∪(π2,3π2)\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right) — (tan⁡x)′=1cos⁡2x>0\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} > 0 overalt, men tan⁡0=tan⁡π=0\tan 0 = \tan\pi = 0, så to ulike punkter gir samme verdi (V2010-varianten).

📝Oppgave 6

La f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2. Finn det største intervallet som inneholder x=1x=1, der ff har invers.

📝Oppgave 7

En medstudent hevder: «f′(x)>0f'(x) > 0 for alle xx i definisjonsmengden, altså er ff én-til-én.» Forklar hvorfor argumentet svikter når definisjonsmengden ikke er et intervall, og gi et konkret moteksempel med funksjonsverdier.

Drillpulje — stigende vanskegrad

📝Oppgave 8

Vis at f(x)=e2x−4f(x) = e^{2x} - 4 er én-til-én på R\mathbb{R}, og finn f−1f^{-1} med definisjonsmengde.

📝Oppgave 9
ff er strengt voksende med f(2)=5f(2) = 5 og f′(2)=3f'(2) = 3. Regn ut (f−1)′(5)(f^{-1})'(5) og f−1(5)f^{-1}(5).
📝Oppgave 10

La f(x)=2x5+x+3f(x) = 2x^5 + x + 3. Vis at f−1f^{-1} finnes, og finn likningen for tangenten til grafen til f−1f^{-1} i punktet (6,1)(6, 1).

📝Oppgave 11

La f(x)=x3−9xf(x) = x^3 - 9x. Finn det største intervallet som inneholder x=0x=0, der ff har invers.

📝Oppgave 12

La f(x)=x+exf(x) = x + e^x.

a) Vis at f−1f^{-1} finnes på hele R\mathbb{R}.

b) Regn ut (f−1)′(1)(f^{-1})'(1).

c) Forklar hvorfor et eksplisitt uttrykk for f−1f^{-1} ikke lar seg skrive med elementære funksjoner — og hvorfor det ikke hindrer b).

Begrepsbank

Kortdefinisjonene under er kapitlets ordforråd samlet — flashcard-grunnlag og oppslagsverk.

Horisontallinjetesten

Grafisk test for én-til-én: hvis ingen horisontal linje skjærer grafen mer enn én gang, er funksjonen én-til-én. Den grafiske tvillingen til definisjonen x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2).

Grafspeiling om y=xy=x

Grafen til f−1f^{-1} er grafen til ff speilet om linja y=xy=x: punktet (a,b)(a,b) på ff svarer til (b,a)(b,a) på f−1f^{-1}. Speilingen forklarer både mengdebyttet D↔VD\leftrightarrow V og inverteringen av stigningstall.

Inversidentitetene
f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x for alle xx i DfD_f, og f(f−1(y))=yf(f^{-1}(y)) = y for alle yy i VfV_f. Derivasjon av den siste med kjerneregelen er beviset for derivert-av-invers-formelen.
Eksponential- og logaritmeparet
exe^x og ln⁡x\ln x er hverandres inverser: Dex=RD_{e^x} = \mathbb{R}, Vex=(0,∞)V_{e^x} = (0,\infty) — byttet om for ln⁡\ln. Standardeksemplet på inverspar, og verktøyet for å løse ut xx i eksponentiallikninger.
Fortegnsskjema for f′f' (i inversoppgaver)

Tabellen over fortegnet til f′f' mellom nullpunktene — verktøyet for å finne største inverterbarhetsintervall: intervallet rundt punktet strekker seg mellom de to nærmeste fortegnsskiftene.

Enkeltnullpunkt for f′f' ødelegger ikke
f(x)=x3f(x)=x^3 er strengt voksende på hele R\mathbb{R} selv om f′(0)=0f'(0)=0: streng monotoni tåler at f′f' er null i isolerte punkter, så lenge fortegnet ellers er fast. Derfor kan endepunkter med f′=0f'=0 tas med i inverterbarhetsintervallet.
Inverterbar

En funksjon er inverterbar (på en mengde) når den er én-til-én der — da, og bare da, finnes f−1f^{-1}. I eksamensspråket brukes «én-til-én», «injektiv» og «inverterbar» om samme egenskap.

Restriksjon av definisjonsmengden

Å innskrenke DfD_f til et mindre intervall der funksjonen ER én-til-én — standardgrepet for å gi ikke-injektive funksjoner en invers (som x2x^2 på [0,∞)[0,\infty) med invers x\sqrt{x}). Restriksjonen skal alltid oppgis sammen med inversuttrykket.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 5 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.