7.4 Øvingseksamen 3: utsatt-malen — ren Solow

- Oppsettet og begrunnelsene — kap. 1.1
- Likevekt, fasediagram og tilpasningsbane — kap. 1.2
- Komparativ statikk for sparerate, befolkningsvekst og kapitalslit — kap. 1.3
- Produktivitetsvekst og effektivitetsenheter — kap. 1.4
- Den optimale spareraten — kap. 1.5
- Flere likevekter og fattigdomsfeller — kap. 1.6
- Hele kjeden som algoritme — kap. 1.7
- Oversettelsen fra nyhetsbilde til modellparametre — kap. 6.1

Sist du var her — det du må ha i hodet før du starter klokka. Bevegelsesligningen for kapital per arbeider:

$$\Delta k = s f(k) - (n+\delta)k$$

Med produktivitetsvekst, der $k$ måles per effektivitetsenhet:

$$\Delta k = s f(k) - (n+g+\delta)k$$

Likevekten $k^*$ er der de to leddene er like store, og betingelsen for den spareraten som gir høyest varig konsum per arbeider er $f'(k^*) = n+\delta$.

Øvingseksamen 3 — oppgavesettet (3 timer)

Alle svar skal begrunnes. Figurer skal ha merkede akser, navngitte kurver og markerte likevekter. Vekting er ikke oppgitt; vurderingen er helhetlig.

Betrakt et land med disse fire egenskapene:

- Produksjonen per arbeider øker med kapitalen per arbeider, men økningen blir stadig mindre.
- En fast andel av produksjonen settes av til nye realinvesteringer hvert år.
- Arbeidsstyrken vokser med en konstant rate.
- Kapitalutstyret slites ned med en konstant andel per år.

1) Formuler modellen matematisk. Innfør de symbolene du trenger, og skriv ned relasjonen som bestemmer utviklingen i kapital per arbeider.

2) Begrunn hver av de fire egenskapene økonomisk. Forklar særlig hvorfor produksjonen per arbeider stiger stadig svakere med kapitalen per arbeider, og gjør rede for under hvilken forutsetning det er dekkende å kalle andelen som investeres, for en «sparerate».

3) Bestem likevekten grafisk. Tegn figuren, forklar hva som kjennetegner likevekten, og vis at økonomien nærmer seg den enten den starter over eller under.

4) Landet starter med en kapitalbeholdning per arbeider langt under likevektsnivået. Tegn utviklingen i kapital og produksjon per arbeider over tid, og forklar hvorfor veksten er sterkest i starten. Hva skjer med landets samlede kapital og samlede produksjon når økonomien har nådd likevekten?

5) Kapitalutstyret begynner å slites raskere ned enn før, varig. Gjør rede for virkningen på kapital og produksjon per arbeider på kort og lang sikt, og vis den i figur.

6) Anta i stedet at arbeidsstyrken begynner å vokse raskere, varig. Sammenlign virkningen med den i spørsmål 5 — først for størrelsene per arbeider, deretter for totalstørrelsene. Er de to endringene like alvorlige?

7) Anta at landet varig øker andelen av produksjonen som investeres.

a) Hva skjer med produksjonen per arbeider på kort og lang sikt?

b) Hva skjer med konsumet per arbeider på kort og lang sikt, og hvorfor kan langtidsvirkningen ikke avgjøres ut fra opplysningene i oppgaven?

c) Utled betingelsen for den investeringsandelen som gir høyest varig konsum per arbeider, og tolk den grafisk.

8) Anta nå at arbeiderne blir jevnt mer produktive over tid, og at takten i denne produktivitetsveksten dobles. Gjør rede for hva som skjer med kapitalintensiteten og med produksjonen per arbeider, på kort og lang sikt.

9) Til slutt: anta at arbeidsstyrken vokser raskt når inntekten per arbeider er lav, og langsomt når den er høy.

a) Vis grafisk at økonomien kan få to likevekter der den nærmer seg hver av dem, med et vippepunkt imellom. Drøft stabiliteten i hvert av skjæringspunktene.

b) Forklar hvorfor den nederste av dem kan kalles en felle, og hva som må til for å komme ut av den.

c) En langvarig helsekrise rammer landet. Oversett hendelsen til modellens parametre, pek på minst to virkninger som trekker i motsatt retning, og si hva du ville trengt å vite for å konkludere.

Løsningsforslag

Modellbesvarelsene under er nyskrevne for denne boka og ført på det nivået en A ville ligget på. Der oppgaven ber om figur, er figuren beskrevet så presist at du kan sammenligne den med din egen strek for strek: akser, kurveform, merkede punkter og piler.

— naturlig pausepunkt før du begynner å rette —

Selvdiagnose

Kryss av det du fikk til uten å nøle.

- ☐ 1: innførte symbolene, hadde riktige fortegn på $f'$ og $f''$, og fikk både $n$ og $\delta$ inn i utvanningsleddet.
- ☐ 2: begrunnet konkaviteten fra konstant skalaavkastning — ikke bare påsto den.
- ☐ 2: fikk med at «sparerate» forutsetter lukket økonomi.
- ☐ 3: tegnet konkav sparekurve mot rett stråle, merket $k^*$ og satte på dynamikkpiler.
- ☐ 3: begrunnet stabiliteten ved å sammenligne kurvene på hver side av $k^*$.
- ☐ 4: tegnet tidsbanen (tid på aksen), ikke fasediagrammet på nytt.
- ☐ 4: skrev at samlet kapital og samlet produksjon vokser med $n$ i likevekten.
- ☐ 5: skiftet strålen (ikke sparekurven) og beskrev overgangen, ikke bare den nye likevekten.
- ☐ 6: så at virkningen er identisk per arbeider, men ulik for totalstørrelsene.
- ☐ 7b: flagget at langtidsvirkningen på konsumet ikke kan signeres, og sa hva den avhenger av.
- ☐ 7c: utledet $f'(k^*) = n+\delta$ og tolket den grafisk (avstanden mellom kurve og stråle).
- ☐ 8: sa at $k$ nå måles per effektivitetsenhet, og skilte nivå fra vekstbane.
- ☐ 9a: tegnet den knekte utvanningslinjen, begge likevektene, terskelen og piler i alle fire intervallene.
- ☐ 9b: poengterte at tiltaket må være stort nok til å komme over terskelen.
- ☐ 9c: fant minst to motstridende virkninger og koblet krisen til terskelen.

Manglet du flere enn fem? Gå tilbake til drillen i kap. 1.7 og kjør hele kjeden en gang til med nye tall for $s$, $n$ og $\delta$. Manglet du bare 7c, 8 og 9? Da mangler du A-differensiatorene, og de har hvert sitt kapittel: kap. 1.5, kap. 1.4 og kap. 1.6.

Har du nå tatt alle tre øvingseksamenene? Da har du vært gjennom alle de tre eksamensformene emnet har brukt, og alle de tolv oppgavetypene. Siste økt før eksamen bør være kap. 7.1: forklaringssjangeren er den som brukes i hvert eneste delspørsmål, uansett hvilken form settet får.