1.6 Flere likevekter og fattigdomsfeller

Situasjonen der bevegelsesligningen har mer enn én verdi av $k$ som gir $\Delta k = 0$ — altså der sparekurven og utvanningsstrålen krysser hverandre flere steder.

I grunnmodellen er dette umulig: en konkav kurve og en rett stråle fra origo kan bare møtes én gang utenom origo. For å få flere likevekter må man bryte noe i det argumentet, og den vanligste måten er å la en av parametrene avhenge av inntektsnivået.

Konsekvensen er stor. Hvor økonomien ender, avhenger nå av hvor den starter — noe som ikke var tilfellet før. Startverdien får varig betydning.

Antakelsen at spareraten er lav under et visst inntekts- eller kapitalnivå, og høy over: $s = s_L$ for $k < \bar{k}$ og $s = s_H > s_L$ for $k > \bar{k}$.

Begrunnelsen er økonomisk plausibel: ved svært lave inntekter går alt til livsnødvendigheter, og det finnes ingenting å spare av. Over et visst nivå blir det rom for sparing.

Grafisk gir dette en sparekurve med et vertikalt hopp i $\bar{k}$: to konkave biter med et sprang mellom dem. Det er hoppet som gjør at kurven kan krysse strålen to ganger.

Det nedre av de to stabile skjæringspunktene, $k_L^*$: en langsiktig tilstand med lav kapital per arbeider og lav produksjon per arbeider.

Punktet er en helt vanlig steady state — sparingen dekker akkurat utvanningen, og dynamikkpilene peker inn mot det fra begge sider. Det er ikke en «feil» eller en midlertidig tilstand: økonomien kan bli liggende der i det uendelige.

Navnet felle kommer av at den er stabil. En økonomi som havner her, glir tilbake hit etter små forstyrrelser — og kommer ikke ut ved egen kraft. Bare et løft som er stort nok til å bringe den forbi terskelen, endrer utfallet.

Det øvre av de to stabile skjæringspunktene, $k_H^*$: en langsiktig tilstand med høy kapital per arbeider.

Også dette punktet er en ordinær, stabil steady state, med dynamikkpiler som peker innover fra begge sider.

De to stabile likevektene utgjør altså to ulike «endestasjoner» for ellers helt like økonomier. Hvilken av dem et land havner i, avgjøres av hvilken side av terskelen det startet på — ikke av parametrene alene.

Kapitalnivået $\bar{k}$ som skiller de to stabile likevektene — det punktet der økonomien vipper mellom to helt ulike langsiktige utfall.

Terskelen er ustabil: dynamikkpilene peker bort fra den i begge retninger. Starter økonomien litt under, glir den ned til lavlikevekten; starter den litt over, vokser den opp til høylikevekten. Ingen økonomi blir liggende på terskelen.

I varianten med et diskret hopp i spareraten er terskelen selve hoppunktet. Antar man i stedet at spareraten stiger jevnt med inntekten, får sparekurven en S-form, og da er terskelen et ordentlig tredje skjæringspunkt mellom kurven og strålen. Logikken er identisk i de to tilfellene.

Et punkt der $\Delta k = 0$, men der økonomien beveger seg bort fra punktet ved den minste forstyrrelse — dynamikkpilene peker utover i begge retninger.

Motsatsen til den stabile likevekten fra kap. 1.2, der pilene pekte innover.

Praktisk konsekvens for figurtegning: marker stabile likevekter med fylt sirkel og ustabile med åpen sirkel, og la pilene gjøre argumentet. Sensorveiledningene ser nettopp etter at stabiliteten er drøftet i hvert punkt, ikke bare at punktene er funnet.

Metoden for å avgjøre hvilke likevekter som er stabile når det er flere av dem. Framgangsmåten er mekanisk og tar under et minutt:

1. Del $k$-aksen i intervaller ved hjelp av skjæringspunktene og eventuelle hoppunkt.
2. I hvert intervall: ligger sparekurven over strålen? Da er $\Delta k > 0$, og pilen peker mot høyre. Ligger den under, peker pilen mot venstre.
3. Et punkt der pilene peker innover fra begge sider, er stabilt. Peker de utover, er det ustabilt.

Dette er hele stabilitetsanalysen, og den er den delen av svaret sensor eksplisitt ber om. Gjør den alltid, også når figuren «ser åpenbar ut».

$$n = n_H \text{ for } k < \bar{k}, \qquad n = n_L < n_H \text{ for } k > \bar{k}$$

Antakelsen har empirisk støtte: fødselstall faller systematisk med inntekt, både over tid innenfor land og mellom land på et gitt tidspunkt.

Grafisk gjør den at utvanningsstrålen knekker — bratt i det nedre området, slakere i det øvre. Sparekurven er uendret. Resultatet er det samme som med trappetrinnssparing: to stabile likevekter med et ustabilt vippepunkt mellom.

Den grafiske formen på endogen befolkningsvekst: strålen består av to rette stykker med ulik helning, med et sprang i terskelpunktet.

Det nedre stykket har helning $n_H+\delta$ og er bratt; det øvre har helning $n_L+\delta$ og er slakere.

Merk at hvert stykke fortsatt peker mot origo — de er deler av to ulike stråler, ikke en knekt linje som er forskjøvet. Det er en detalj som er verdt å få riktig i figuren, siden helningen er hele poenget.

Erkjennelsen som gjør denne oppgavetypen forutsigbar: alle variantene består i å la en parameter avhenge av inntektsnivået, slik at én av de to kurvene i fasediagrammet får et sprang.

- Avhenger spareraten av inntekten, får sparekurven et hopp.
- Avhenger befolkningsveksten av inntekten, får strålen en knekk.
- Kunne kapitalslitet avhenge av inntekten — for eksempel gjennom bedre vedlikehold i rike land — ville strålen igjen fått en knekk.

I alle tilfeller er konsekvensen den samme: to stabile likevekter med et ustabilt vippepunkt mellom, og et utfall som avhenger av hvor økonomien starter.

Praktisk konsekvens for eksamen: du trenger ikke lære tre analyser. Du trenger å kjenne igjen grepet, og deretter kjøre den samme stabilitetsanalysen intervall for intervall.

Egenskapen at et forbigående sjokk kan gi permanente virkninger — mulig så snart modellen har flere likevekter.

Blir et land som lå over terskelen presset ned under den av en krig, en tørke eller en dyp krise, glir det videre ned i lavlikevekten og vender ikke tilbake når sjokket er over.

Dette er en kvalitativ forskjell fra grunnmodellen, der hvert midlertidig sjokk alltid ble visket ut. Den er også en av grunnene til at modellen med flere likevekter er interessant: den kan forklare hvorfor to land som var like rike, kan ha helt ulike baner etter én dramatisk hendelse.

Et tiltak som er stort nok til å bringe kapitalen per arbeider forbi $\bar{k}$ — og som derfor har varig virkning.

Etter at terskelen er passert, tar den nye parameterverdien over: sparingen overstiger utvanningen, og økonomien vokser videre av seg selv opp til høylikevekten. Løftet trenger ikke gjentas.

Motstykket er lærdommen om at et løft som ikke rekker forbi terskelen, dør ut igjen: pilene under terskelen peker mot venstre. Det gir en politikkanbefaling som er kvalitativt annerledes enn den intuitive — små tiltak er ikke litt nyttige, de er nesten uten varig virkning.

Konsekvensen av at området mellom lavlikevekten og terskelen har dynamikkpiler som peker mot venstre.

Et lite løft flytter økonomien inn i nettopp dette området. Der er utvanningen større enn sparingen, kapitalintensiteten faller, og økonomien glir tilbake til lavlikevekten.

Virkningen er altså midlertidig og forsvinner helt. Modellen sier ikke at små tiltak er skadelige — den sier at de ikke endrer den langsiktige tilstanden.

Merk hvor argumentet ligger: det er dynamikkpilene som gjør jobben. Det er nettopp derfor sensorveiledningene ber om at pilene tegnes og at stabiliteten drøftes i hvert punkt.

Modellens svar på hvorfor verden ikke ser ut som grunnmodellen spår.

Grunnmodellen forutsier at ellers like land nærmer seg samme likevekt: fattige land vokser raskere og tar igjen de rike. Med flere likevekter blir bildet et annet: land som starter over terskelen, samler seg rundt høylikevekten, og land som starter under, samler seg rundt lavlikevekten. De to gruppene nærmer seg ikke hverandre, selv om alle parametrene er felles.

Det er en observasjon som passer bedre med de siste tiårenes utvikling enn grunnmodellens spådom — og det er en av grunnene til at denne utvidelsen er så mye brukt i undervisning og på eksamen.

Muligheten som oppstår når man kombinerer flere likevekter med gullregelen fra kap. 1.5.

Forbruket i en steady state er $f(k^*) - (n+\delta)k^*$. Er den høye spareraten stor nok, havner høylikevekten langt over gullregelnivået — der produksjonen er høy, men vedlikeholdet av den store kapitalbeholdningen sluker så mye at forbruket er lavt.

Da kan forbruket per arbeider være høyere i lavlikevekten, selv om produksjonen er langt lavere der.

Poenget er ikke at dette er det typiske tilfellet — det krever en sparerate godt over gullregelnivået. Poenget er at «felle» handler om at tilstanden er stabil og vanskelig å komme ut av, ikke automatisk om at forbruket er lavest der.

En stabil langsiktig tilstand med lav inntekt, som en økonomi ikke kommer ut av ved egen kraft.

Tre egenskaper kjennetegner den, og alle tre bør med i en definisjon på eksamen:

- den er en ordinær steady state — sparingen dekker akkurat utvanningen,
- den er stabil — små forstyrrelser dør ut, og økonomien glir tilbake,
- den kan bare forlates ved et løft som er stort nok til å komme forbi terskelen.

Landet er altså ikke fattig fordi det gjør noe galt, og det vokser seg ikke ut av situasjonen ved tålmodighet. Det er nettopp derfor ordet «felle» er treffende.

To måter å modellere samme idé, med samme konklusjon.

Diskret hopp: spareraten (eller befolkningsveksten) skifter brått ved en terskel. Sparekurven får da et vertikalt sprang, og terskelen er selve hoppunktet.

Jevn overgang: parameteren endres gradvis med inntekten. Sparekurven får da en S-form — først flat, så bratt, så flatende ut — og kan krysse den rette strålen i tre punkter. Det midterste er da et ordentlig skjæringspunkt, og det er ustabilt.

Logikken og konklusjonen er identisk: to stabile likevekter med et ustabilt vippepunkt mellom. Den diskrete varianten er lettere å tegne under tidspress, og den er den som brukes i eksamensoppgavene.

Grensen for hva denne utvidelsen kan svare på — verdt å nevne når oppgaven er politisk formulert.

Modellen tar som gitt at spareraten eller befolkningsveksten avhenger av inntektsnivået. Den forklarer ikke hvorfor, og den sier ingenting om hvor terskelen ligger i praksis eller hvor stort et løft må være i kroner.

Det den viser, er en mulighet som er kvalitativt viktig: at hjelp under en viss størrelse kan være nesten uten varig virkning, mens hjelp over den kan være transformerende. Det er et argument for å tenke på terskler i stedet for proporsjonalitet — ikke en oppskrift med tall.

Å si dette selv er et godt avslutningsgrep i en drøftingsoppgave: du viser at du kjenner både modellens styrke og dens rekkevidde.

Den viktigste kvalitative forskjellen mellom grunnmodellen og modellen med flere likevekter.

I grunnmodellen bestemmer parametrene $s$, $n$, $\delta$ og formen på $f$ hvor økonomien ender. Startpunktet påvirker bare hvor lang tid det tar.

Med flere likevekter bestemmer startpunktet hvilken likevekt økonomien ender i. To land med identiske parametre kan ende i helt ulike tilstander, avhengig av hvilken side av terskelen de begynte på.

Konsekvensen er at historie får betydning: en hendelse langt tilbake i tid kan avgjøre hvor et land ligger i dag, uten at noen av de underliggende parametrene er ulike.

Argumentet som må brytes for å få flere likevekter — og som derfor er verdt å ha klart for seg.

I grunnmodellen er sparekurven konkav og starter brattere enn strålen nær origo. Fordi den flater ut mens strålen beholder helningen, blir den innhentet én gang — og siden helningen bare avtar videre, kan de ikke møtes igjen.

Argumentet hviler på to forutsetninger: at parametrene er konstante, og at $f$ er konkav overalt. Lar man en parameter avhenge av inntektsnivået, faller den første bort: kurven eller strålen får et sprang, og «bare én kryssing» gjelder ikke lenger.

Å si dette eksplisitt i et svar er et effektivt grep. Det viser at du vet hvorfor dobbeltkryssingen er mulig, og ikke bare at den er tegnet.