1.5 Golden rule: den optimale spareraten

$$c^* = f(k^*) - (n+\delta)k^*$$

Omskrivingen bruker likevektsbetingelsen $s f(k^*) = (n+\delta)k^*$: i steady state er sparingen per arbeider like stor som utvanningen, så det som er igjen til forbruk, er produksjonen minus utvanningen.

Grafisk er dette den vertikale avstanden mellom produktfunksjonen $f(k)$ og strålen $(n+\delta)k$.

Nytten av å skrive det slik: nå kan vi lete etter det $k^*$ som gjør avstanden størst, i stedet for å slite med at $s$ virker på to måter samtidig.

$$f'(k^*) = n+\delta$$

Navnet er engelsk i opprinnelsen — «the golden rule of capital accumulation» — og brukes ofte uoversatt også på norsk. Regelen sier: bygg kapital helt til den siste enheten gir like mye i produksjon som den koster i vedlikehold, og ikke lenger.

Merk hva regelen ikke sier. Den sier ikke at økonomier faktisk ender her, og den sier ikke at høyest mulig forbruk per arbeider er det eneste rimelige målet. Den er et referansepunkt: en målestokk å vurdere en observert sparerate mot.

Den spareraten som fører økonomien til gullregelnivået for kapital: kall den $s^{gull}$.

Sammenhengen mellom sparerate og likevektskapital er entydig — hver $s$ gir sin $k^*$, og høyere $s$ gir høyere $k^*$. Det finnes derfor nøyaktig én sparerate som treffer $k^{gull}$.

Praktisk poeng for eksamen: du skal normalt ikke regne ut $s^{gull}$. Modellen er skrevet med en generell $f$, og oppgaven ber om betingelsen og tolkningen — ikke et tall.

Betingelsen $f'(k^*) = n+\delta$ betyr at helningen på produktfunksjonen er lik helningen på utvanningsstrålen.

Grafisk: tangenten til $f(k)$ i gullregelpunktet er parallell med strålen.

Det er nettopp der den vertikale avstanden mellom kurven og strålen — altså forbruket i steady state — er størst. Til venstre for punktet stiger kurven brattere enn strålen, så avstanden vokser når du går mot høyre; til høyre stiger kurven slakere, så avstanden krymper.

Dette er den ene tegningen som gjør gullregelen umiddelbart forståelig, og den er verdt å øve inn: tre kurver, én tangent, én dobbeltpil.

Det grafiske grepet som gjør hele kapitlet lesbart i én figur.

I steady state er forbruket per arbeider $f(k^*) - (n+\delta)k^*$. Tegner du produktfunksjonen og utvanningsstrålen i samme diagram, er forbruket den loddrette avstanden mellom dem i det punktet økonomien ligger.

Da blir spørsmålet «hvilken sparerate gir høyest varig forbruk?» oversatt til noe helt konkret: «hvor er avstanden mellom kurven og strålen størst?»

Merk at avstanden mellom $f(k)$ og sparekurven $s f(k)$ også er forbruket — men bare langs den ene sparekurven som gjelder. Vil du sammenligne ulike sparerater, er avstanden til strålen den nyttige, siden strålen ikke flytter seg.

$$f'(k^*) > n+\delta.$$

Den siste kapitalenheten gir mer i produksjon enn den koster i varig vedlikehold. Høyere sparerate vil derfor gi høyere langsiktig forbruk per arbeider.

Men merk at det ikke er gratis: å komme dit krever at forbruket faller i en periode først (se «overgangskostnaden» nedenfor). Gevinsten kommer senere, og hvorvidt byttet er verdt det, kan ikke modellen avgjøre — det avhenger av hvordan man vurderer forbruk i dag mot forbruk i framtiden.

$$f'(k^*) < n+\delta.$$

Den siste kapitalenheten gir mindre i produksjon enn den koster i varig vedlikehold. Høyere sparerate vil da gi lavere langsiktig forbruk per arbeider.

Dette tilfellet har en påfallende egenskap: å redusere spareraten mot gullregelnivået gir høyere forbruk både umiddelbart og på lang sikt. Det er ingen kostnad noe sted, og ingen avveining å ta stilling til.

Å oppdage denne asymmetrien selv, er et av de svarene som løfter en besvarelse.

En forskjell mellom under- og oversparing som er verdt å få med, fordi den ikke følger av selve betingelsen.

Fra undersparing til gullregelen: spareraten må økes. Forbruket faller brått i sjokkøyeblikket (andelen $(1-s)$ blir mindre), og stiger deretter til et høyere langsiktig nivå. Det er en reell avveining mellom nåtid og framtid.

Fra oversparing til gullregelen: spareraten skal senkes. Forbruket hopper opp umiddelbart, og ender høyere på lang sikt. Ingen taper noe, i noen periode.

Konklusjonen er skarp: oversparing er et entydig problem som kan rettes uten kostnad, mens undersparing bare kan rettes ved å gi opp forbruk i dag. Modellen kan avgjøre det første; det andre krever en vurdering den ikke inneholder.

Kjernepoenget i kapitlet, og setningen sensorveiledningene er ute etter.

Å spare mer gir alltid høyere produksjon per arbeider på lang sikt — det følger av kap. 1.3 og er entydig. Men produksjon er ikke velferd. Det er forbruket folk faktisk merker, og forbruket er produksjonen minus det som må settes av til å vedlikeholde kapitalen.

Ytterpunktet gjør poenget udiskutabelt: med $s = 1$ er produksjonen per arbeider maksimal og forbruket null.

Derfor er «jo mer sparing, jo bedre» en påstand som ikke holder. Riktig svar er at det finnes et optimum, og at det ligger der grenseproduktiviteten er lik $n+\delta$.

Langsiktig forbruk per arbeider, tegnet som funksjon av spareraten, er klokkeformet: null ved $s=0$, stigende til et maksimum ved $s^{gull}$, og fallende tilbake til null ved $s=1$.

Begrunnelsen for de to endepunktene er enkel. Ved $s=0$ investeres ingenting, kapitalen forvitrer, og både produksjon og forbruk går mot null. Ved $s=1$ spares alt, så forbruket er null uansett hvor høy produksjonen er.

Siden forbruket er positivt for alle sparerater mellom 0 og 1, må kurven ha en topp inne i intervallet. Det argumentet etablerer at et optimum finnes — helt uten derivasjon.

En presisering som er verdt et par setninger, fordi den motsatte antakelsen er en vanlig feil.

I denne modellen er spareraten eksogen: den er gitt utenfra, og ingenting i modellen driver den mot noe optimum. Økonomien beveger seg mot den likevekten spareraten sender den til — hverken mer eller mindre.

Gullregelen er derfor et referansepunkt for å vurdere en observert sparerate, ikke en prognose om hvor økonomier ender opp. Modeller der sparebeslutningen bestemmes inne i modellen, ved at husholdninger avveier forbruk i dag mot forbruk senere, finnes — men de er utenfor dette emnets pensum.

$$f'(k^*) = n+g+\delta,$$

med $k$ målt per effektivitetsenhet (se kap. 1.4).

Formen er identisk. Den eneste endringen er at vedlikeholdskostnaden per kapitalenhet nå har tre komponenter i stedet for to, fordi antallet effektivitetsenheter vokser raskere enn antallet arbeidere.

Tolkningen er også den samme: bygg kapital til den siste enheten gir like mye som den koster å holde oppe. Merk at det er forbruket per effektivitetsenhet som maksimeres i dette tilfellet — forbruket per arbeider vokser jo med $g$ og har ikke noe maksimum.

En tolkning av gullregelen som gjør den lettere å huske, og som kobler den til noe kjent.

$f'(k^*)$ kan leses som avkastningen på kapital: hva samfunnet får igjen for å ha én ekstra enhet kapital per arbeider. Og $n+\delta$ kan leses som kravet: hva den enheten koster å holde oppe, år etter år.

Gullregelen sier da at kapitalbeholdningen skal bygges ut til avkastningen møter kravet. Det er samme logikk som en bedrift bruker når den investerer til avkastningen på siste prosjekt er lik kapitalkostnaden — bare anvendt på hele økonomien, og med varig forbruk som mål.

To ulike spørsmål vekstmodellen kan brukes til, og som er verdt å holde fra hverandre i drøftingsoppgaver.

Deskriptivt svarer modellen på hva som skjer: hvordan kapitalen utvikler seg, hvor økonomien ender, hva et skift gjør. Her er modellen på trygg grunn.

Normativt svarer den på hva som er best, gitt et mål. Gullregelen er modellens ene normative resultat: den peker ut den spareraten som maksimerer varig forbruk per arbeider.

Grensen er verdt å si høyt. Modellen har ingen avveining mellom generasjoner og ingen forklaring på hvorfor spareraten er som den er. Den kan derfor si at oversparing senker varig forbruk, men den kan ikke avgjøre om et land bør ofre forbruk i dag for å nå gullregelnivået.

Oppgavetypen som bygger noe nytt på toppen av grunnmodellen — gullregelen, modeller med flere likevekter og fattigdomsfeller.

Gullregelen er testet i 2 av 13 sett og modeller med flere likevekter i 4 av 13 — til sammen har 5 av de 13 settene en slik utvidelse, og den kommer nesten alltid som det siste delspørsmålet i vekstoppgaven. Det er de bevisst kinkige spørsmålene sensor bruker til å skille de beste besvarelsene, og de vurderes mildere enn resten.

Praktisk konsekvens: du skal kunne dem, men du skal ikke la dem sluke tiden din. Ett gjennomarbeidet avsnitt med betingelse, tolkning og figur er nok.

Det som må investeres per år, per enhet kapital per arbeider, for at kapitalintensiteten skal holdes uendret.

Kostnaden har to deler: andelen $\delta$ erstatter det som slites ut, og andelen $n$ dekker at de nye arbeiderne skal utstyres like godt som de gamle.

Størrelsen er samtidig helningen på utvanningsstrålen, og den er høyresiden i gullregelbetingelsen. Det er nyttig å ha den som ett begrep: gullregelen sier at kapitalen bygges ut til grenseproduktiviteten møter vedlikeholdskostnaden.

For gullregelen: forbruket i steady state er $c^*(k^*) = f(k^*) - (n+\delta)k^*$, og

$$\frac{d c^*}{d k^*} = f'(k^*) - (n+\delta) = 0.$$

Intuisjonen bak metoden er enkel: i et toppunkt er kurven flat. Gir en liten økning i $k^*$ fortsatt mer forbruk, er du ikke på toppen ennå; gir den mindre, har du gått forbi.

I dette emnet er dette den eneste maksimeringen du må gjennomføre. Alt annet er fortegnsanalyse og figurer.

Den andrederiverte av $c^*(k^*) = f(k^*) - (n+\delta)k^*$ er

$$\frac{d^2 c^*}{d (k^*)^2} = f''(k^*) < 0,$$

siden produktfunksjonen er konkav. Kurven krummer altså nedover overalt, og punktet vi fant er et maksimum.

Legg merke til at det er den samme antakelsen — avtakende grenseproduktivitet — som gir modellen en likevekt i det hele tatt, og som her sikrer at gullregelen er et toppunkt. Konkaviteten bærer usedvanlig mye i denne modellen.

Til hver sparerate hører nøyaktig én likevektsverdi for kapital per arbeider, og høyere sparerate gir høyere $k^*$.

Sammenhengen er monoton, og den er grunnen til at gullregelen kan formuleres på to likeverdige måter: som en betingelse på $k^*$ ($f'(k^*) = n+\delta$) eller som en bestemt sparerate $s^{gull}$.

Dette er også grepet som gjør utledningen enkel: siden vi kan velge $k^*$ indirekte ved å velge $s$, kan vi maksimere over $k^*$ i stedet for over $s$ — og da forsvinner besværet med at $s$ virker på to måter samtidig.

Valget av målestokk som avgjør hele kapitlet.

Produksjon per arbeider er høyest når spareraten er så høy som mulig: mer sparing gir mer kapital, og mer kapital gir mer produksjon.

Forbruk per arbeider er høyest ved gullregelnivået, og faller hvis spareraten økes videre.

Når en oppgave sier at innbyggerne «får det bedre», er det forbruket som er relevant — det er det folk faktisk merker. Å si dette eksplisitt i starten av svaret er et lite, effektivt grep: det viser at du har sett hvilken av de to størrelsene spørsmålet handler om, og det er nettopp der påstanden «jo mer sparing, jo bedre» går galt.