1.3 Komparativ statikk i Solow: sparerate, befolkningsvekst og kapitalslit

Å endre én eksogen parameter varig, og sammenligne den nye langsiktige likevekten med den gamle — samtidig som du beskriver overgangen mellom dem.

Metoden har fire faste steg i dette emnet:

1. Si hvilken kurve som skifter, og hvilken vei.
2. Marker gammel og ny likevekt i figuren.
3. Beskriv kort sikt: hva skjer i selve endringsøyeblikket, når $k$ ennå ikke har rukket å tilpasse seg?
4. Beskriv lang sikt og veien dit, med mekanismen i ord.

Hopper du over steg 3 eller 4, mangler svaret noe sensor eksplisitt ser etter. Steg 4 er også der de ubestemte fortegnene dukker opp.

En varig parameterendring flytter likevekten: den nye verdien av $s$, $n$ eller $\delta$ gjelder fra nå av, og økonomien beveger seg mot en ny $k^*$.

En midlertidig endring flytter derimot bare økonomien bort fra en likevekt som er der hele tiden. Når parameteren går tilbake, glir økonomien tilbake til den samme gamle $k^*$.

Skillet er verdt å sjekke i oppgaveteksten før du begynner å tegne. Ordene «varig», «permanent» og «fra nå av» signaliserer det første; «i noen år» og «midlertidig» det andre. I grunnmodellen har midlertidige sjokk ingen langsiktige spor — det er først i kap. 1.6 at et midlertidig sjokk kan gi varige følger.

Det grafiske uttrykket for at spareraten endres: kurven $s f(k)$ flytter seg opp når $s$ øker, og ned når $s$ faller — mens utvanningsstrålen står stille.

Skiftet er proporsjonalt: hele kurven skaleres med forholdet $s_1/s_0$, så den beholder formen og starter fortsatt i origo. Den er ikke parallellforskjøvet.

Konsekvensen for likevekten følger direkte av figuren: skjæringspunktet med den faste strålen flytter seg mot høyre, altså høyere $k^*$. Dette er det ene skiftet der de to kurvene ikke er berørt samtidig, og det gjør det til det enkleste av de tre.

Grunnmodellens mest misforståtte resultat. En varig høyere sparerate gir:

- et varig høyere nivå på $k^*$, $y^*$ og samlet produksjon,
- en midlertidig periode med ekstra vekst i produksjonen per arbeider, mens økonomien vandrer fra den gamle til den nye likevekten,
- men ingen varig høyere vekstrate for produksjonen per arbeider. I den nye likevekten er veksten i $y$ igjen null, akkurat som i den gamle.

Å skrive at høyere sparing gir «varig høyere vekst» er derfor feil, og det er en av de vanligste unøyaktighetene i denne sjangeren. Formuleringen som treffer: «en overgangsperiode med ekstra vekst, og deretter et varig høyere nivå».

Lang sikt er sammenligningen av den nye steady state-tilstanden med den gamle.

Konsekvensen er nyttig å ha automatisert: ved et parametersjokk kan verken $k$ eller $y$ hoppe. De begynner å bevege seg. Den ene størrelsen som kan hoppe, er forbruket per arbeider $(1-s)f(k)$ — fordi den avhenger direkte av $s$, ikke bare gjennom $k$.

Ved et sparesjokk faller forbruket per arbeider brått, i selve endringsøyeblikket.

Grunnen er at $c = (1-s)f(k)$ og at $k$ er forhåndsbestemt: produksjonen per arbeider er uendret i øyeblikket, mens andelen som forbrukes er blitt mindre.

Dette er den ene størrelsen i vekstmodellen som gjør et vertikalt hopp ved et parametersjokk. Alle andre — $k$, $y$, samlet produksjon — beveger seg glidende, fordi de går gjennom kapitalbeholdningen.

$$c^* = (1-s)f(k^*(s))$$

Høyere $s$ løfter $f(k^*)$, men senker andelen $(1-s)$. Modellen bestemmer ikke hvilken effekt som er sterkest, så fortegnet kan ikke signeres uten mer informasjon.

Informasjonen som mangler, er hvor økonomien lå i forhold til gullregelnivået — den spareraten som maksimerer $c^*$. Under gullregelen: effekten er positiv. Over: negativ. Se kap. 1.5.

Hele forløpet for forbruket per arbeider når spareraten øker varig, tegnet i et diagram med tid på horisontalaksen:

- vannrett linje fram til sjokktidspunktet,
- et vertikalt fall i sjokkøyeblikket,
- deretter en stigende, konkav bane mot en ny vannrett asymptote.

Poenget er at den nye asymptoten kan ligge både over og under det opprinnelige nivået. Tegner du figuren, bør du derfor tegne begge muligheter, eller si eksplisitt hvilken av dem du forutsetter og hvorfor.

Denne banen er selve bildet på ubestemtheten, og den er en effektiv måte å vise sensor at du har forstått både kort- og langsiktseffekten.

Utvanningsstrålen har helning $n+\delta$. Høyere befolkningsvekst gjør den brattere, mens sparekurven står stille.

Følgen for likevekten leses direkte av figuren: skjæringspunktet glir nedover langs den faste sparekurven, mot venstre. Altså lavere $k^*$ og lavere $y^*$.

Merk at strålen fortsatt går gjennom origo — den roterer, den forskyves ikke. Det er en detalj som er verdt å få riktig i figuren, siden en parallellforskjøvet stråle ville betydd noe annet (en fast investeringskostnad uavhengig av kapitalbeholdningen, som ikke finnes i denne modellen).

$$n \uparrow \;\Longrightarrow\; k^* \downarrow \;\Longrightarrow\; y^* = f(k^*) \downarrow$$

Mekanismen er utvanning: flere nye arbeidere skal utstyres med kapital, og med uendret sparerate må den samme sparingen spres tynnere.

På kort sikt skjer ingenting med nivåene — $k$ er forhåndsbestemt. Både $y$ og forbruket per arbeider glir gradvis nedover mot de nye likevektsverdiene, uten noe hopp.

I den nye likevekten vokser samlet kapital og samlet produksjon med den nye, høyere raten $n_1$:

$$\frac{\Delta Y}{Y} = n_1 > n_0$$

Nivået på $y^*$ er altså lavere, men samlet produksjon vokser raskere enn før — det er flere som produserer.

Konklusjonen du skal kunne skrive: høyere befolkningsvekst gjør landet fattigere per hode, men større som økonomi, og med høyere vekst i samlet produksjon.

Høyere $\delta$ gjør strålen $(n+\delta)k$ brattere, akkurat som høyere $n$ gjør — figuren er identisk.

For størrelsene per arbeider er svaret derfor også identisk: $k^*$ ned, $y^*$ ned, forbruk per arbeider ned.

Forskjellen ligger utenfor figuren, i totalstørrelsene. Det er en nyttig ting å si høyt i en besvarelse: «Grafisk er de to skiftene identiske. Forskjellen ligger i hva som skjer med samlet produksjon.» Da har du vist at du ser mer enn figuren.

$$\frac{\Delta Y}{Y} = n \quad \text{(uendret)}, \qquad \text{men nivået på } Y \text{ er varig lavere.}$$

Økt kapitalslit er dermed entydig negativt: det er ingen motvirkende effekt, ingenting som gjøres opp for tapet.

Dette står i motsetning til høyere befolkningsvekst, som senker velstanden per hode men hever veksten i samlet produksjon.

De to parametrene virker identisk på størrelsene per arbeider, men ulikt på totalstørrelsene.

Når $n$ eller $\delta$ endres og økonomien lå i likevekt, skjer det ingenting med nivåene i selve endringsøyeblikket: $k$ er forhåndsbestemt, og dermed er $y = f(k)$ og forbruket per arbeider uendret.

Det som endres umiddelbart, er retningen: fortegnet på $\Delta k$ snur, og nivåene begynner å bevege seg.

Unntaket er en endring i $s$. Da hopper forbruket per arbeider brått, fordi $s$ står direkte i uttrykket $(1-s)f(k)$ og ikke bare virker gjennom kapitalbeholdningen. Å vite hvilke størrelser som kan hoppe og hvilke som ikke kan, er et lite men effektivt presisjonsgrep i alle tre skiftene.

Oppgavetypen som endrer én parameter varig og ber deg gjøre rede for virkningene — vekstblokkens hyppigste tekniske spørsmål.

Fullt svar har alltid de samme fire bestanddelene:

1. figur med den skiftede kurven og både gammel og ny likevekt markert,
2. kort sikt — hva som hopper og hva som ikke gjør det,
3. lang sikt — sammenligningen av de to likevektene, med per arbeider og totalt holdt fra hverandre,
4. mekanismen i ord — hvorfor økonomien beveger seg som den gjør.

Mangler ett av de fire, mangler svaret noe sensorveiledningene ber om. Og der en effekt er ubestemt, skal den flagges, ikke signeres.

Bokas standardoppsett for hvert skiftsvar, og en effektiv måte å strukturere en besvarelse på:

- fasediagrammet viser hvor økonomien ender (ny likevekt),
- tidsbanen viser hvordan den kommer dit (hopp eller glidning, raskt eller sakte),
- mekanismen i ord forklarer hvorfor.

De tre delene svarer på ulike spørsmål, og en oppgave som ber om «kort og lang sikt» ber i praksis om alle tre.

Rekkefølgen er også praktisk: tegner du fasediagrammet først, har du allerede sett hvilken vei tidsbanen skal gå.

Å slå fast om en effekt er positiv eller negativ — altså å sette fortegn på den.

Regelen i dette emnet er todelt, og begge halvdeler håndheves:

- Signer det modellen bestemmer. At $k^*$ og $y^*$ stiger ved høyere sparerate, er entydig. Å skrive «det avhenger av» der modellen faktisk gir svaret, er også en feil — det ser ut som usikkerhet.
- Ikke signer det den ikke bestemmer. Langsiktig forbruk per arbeider ved en spareøkning er ubestemt. Flagg det, og si hva det avhenger av.

Forbehold er et verktøy, ikke garnityr. En besvarelse som gjør alt betinget, viser like lite som en som signerer alt.

To ulike slags forstyrrelser, med helt ulike svar — og oppgavetekster spiller ofte på forskjellen.

Et parametersjokk ($s$, $n$ eller $\delta$ endres) flytter selve likevekten. Økonomien vandrer mot en ny $k^*$, og den nye tilstanden er varig forskjellig fra den gamle.

Et startverdisjokk ($K$ eller $L$ endres brått, for eksempel ved krigsødeleggelser eller utvandring) flytter økonomien bort fra en likevekt som blir liggende der den er. Etter en overgangsfase er økonomien tilbake i samme $k^*$ som før.

Test alltid oppgaveteksten mot dette skillet før du tegner: er det en parameter eller en beholdning som endres?

Skjæringspunktet mellom den nye sparekurven og den nye strålen — der økonomien ender opp etter at en parameter er endret varig.

Merkingen i figuren er en del av svaret: gammel likevekt A, ny likevekt B, med stiplede hjelpelinjer ned til $k_0^*$ og $k_1^*$. Sensorveiledningene ser etter at begge punktene er markert, ikke bare det nye.

Et praktisk tips: tegn alltid inn den gamle likevekten først og la den stå. Da blir sammenligningen synlig i figuren, og det er sammenligningen oppgaven ber om.

I hvilken som helst steady state gjelder $s f(k^*) = (n+\delta)k^*$ — investeringen per arbeider er lik utvanningen.

Etter et skift er dette fortsatt sant, men på et nytt nivå. Ved høyere sparerate er investeringen per arbeider høyere i den nye likevekten, både fordi $s$ er større og fordi $f(k^*)$ er større.

Poenget er verdt å ha klart: at investeringen «bare dekker utvanningen» betyr ikke at den er liten. Det betyr bare at det ikke bygges opp mer kapital per arbeider.

Kravet $(n+\delta)k$ vokser når $n$ vokser: det må investeres mer per arbeider bare for å holde kapitalintensiteten på stedet hvil.

Dette er mekanismen bak hele $n$-analysen. Ved den gamle kapitalintensiteten er sparingen ikke lenger stor nok, så gjennomsnittet glir nedover — helt til kapitalintensiteten er lav nok til at den samme sparingen igjen er tilstrekkelig.

Vær presis på hvem som «vanner ut»: det er ikke at de nye arbeiderne er mindre produktive, men at de kommer uten kapital og skal dele på det som finnes.

Modellens svar på et politisk betent spørsmål, og det er verdt å gjengi presist.

Høyere befolkningsvekst gir lavere kapital, produksjon og forbruk per arbeider på lang sikt, gjennom utvanning. Samtidig gir den høyere vekst i samlet produksjon, fordi det er flere som produserer.

Modellen sier altså at befolkningsvekst er negativt for velstanden per hode i denne mekanismen — men den ser bort fra alt annet befolkning kan bety, som markedsstørrelse, arbeidsdeling og idéproduksjon. Det er en presisering som hører med når spørsmålet er politisk formulert.

Høyere kapitalslit senker kapital, produksjon og forbruk per arbeider på lang sikt, og har ingen motvirkende effekt.

Vekstraten i samlet produksjon er uendret lik $n$; det er nivået som faller.

Kapitalslit er dermed den ene av de tre parametrene der svaret er entydig dårlig i alle retninger. Det gjør den til en nyttig kontrast når en oppgave ber deg sammenligne to skift som ser identiske ut i figuren.

At du bestemmer retningen på en effekt uten å regne ut noe tall — utelukkende ved å lese figuren og fortegnene.

Dette er arbeidsformen i hele emnet. Det finnes ingen rene talloppgaver på eksamen, og modellen er skrevet med en generell $f$ som normalt ikke kan løses eksplisitt.

Konsekvensen for hvordan du øver: du skal trene på å si «$k^*$ stiger fordi den faste strålen møter en høyere kurve lenger ute», ikke på å regne ut hvor mye. Presisjonen ligger i mekanismen og i fortegnene, ikke i desimaler.

Ubestemtheten i dette kapitlet er ikke en blindvei — den har et presist svar, og det kommer i neste omgang.

Den spareraten som maksimerer langsiktig forbruk per arbeider, kalles gullregel-spareraten. Ligger økonomien under den, gir høyere sparing høyere langsiktig forbruk. Ligger den over, gir høyere sparing lavere forbruk.

Det er derfor det langsiktige forbrukssvaret i dette kapitlet må flagges: informasjonen som mangler, er nettopp hvor økonomien ligger i forhold til dette nivået. Betingelsen som avgjør det, utledes i kap. 1.5.

Situasjonen der oppgaven endrer to parametre samtidig, og de virker i motsatt retning på $k^*$ — for eksempel høyere sparerate og høyere kapitalslit.

Da er nettoeffekten ubestemt, og avhenger av de to endringenes relative størrelse. Det er det riktige svaret, ikke et unnvikende ett.

Framgangsmåten som gir full uttelling: behandle skiftene ett for ett først (hvilken vei trekker hvert av dem?), si så at de trekker mot hverandre, og si til slutt hva utfallet avhenger av. Da har du vist at du forstår begge mekanismene, selv om du ikke kan sette fortegn på summen.

Hvordan de to kurvene i fasediagrammet faktisk beveger seg når en parameter endres — en liten tegnedetalj som er verdt å få riktig.

Utvanningsstrålen roterer om origo. Endres $n$ eller $\delta$, endres helningen $n+\delta$, men strålen går fortsatt gjennom origo. Den skal aldri tegnes parallellforskjøvet.

Sparekurven skaleres proporsjonalt. Endres $s$, ganges hele kurven med forholdet $s_1/s_0$: den beholder formen, starter fortsatt i origo, og ligger høyere eller lavere overalt ellers.

Begge kurvene går altså alltid gjennom origo, uansett hvilket skift du tegner. En kurve som ikke starter i origo, ville betydd en fast kostnad eller et fast tilskudd uavhengig av kapitalbeholdningen — og noe slikt finnes ikke i denne modellen.

Farten er $\Delta k$, altså den vertikale avstanden mellom sparekurven og strålen i det punktet økonomien står.

Det gir to praktiske regler for hvordan du beskriver en overgangsfase:

- Store avvik gir rask bevegelse. Ligger økonomien langt fra den nye likevekten, er avstanden mellom kurvene stor, og de første årene skjer mye.
- Farten dør ut mot slutten. Nær den nye likevekten er avstanden liten, og de siste prosentene tar lang tid.

Modellen sier ingenting presist om hvor mange år en tilpasning tar — det avhenger av formen på $f$ og av parameterverdiene. Skriv derfor «gradvis, raskest i starten», ikke «over omtrent ti år».

En sjekkliste som forebygger tegnefeil: ved et skift i $s$, $n$ eller $\delta$ er følgende uendret.

- Formen på produktfunksjonen. $f$ er den samme, fortsatt stigende og konkav. Ingen av de tre skiftene endrer teknologien.
- Den kurven som ikke inneholder parameteren. Endres $s$, står strålen helt stille. Endres $n$ eller $\delta$, står sparekurven helt stille.
- Startverdien for $k$. Kapitalbeholdningen er bygget opp over år og hopper ikke fordi en parameter endres i dag.
- Stabiliteten. Den nye likevekten er stabil på samme måte som den gamle, og av samme grunn.

Å tegne begge kurvene skiftet når bare én parameter er endret, er en av de vanligste feilene i denne sjangeren — og den er lett å unngå ved å spørre: hvilken av de to kurvene inneholder egentlig parameteren som endret seg?