1.1 Solow-oppsettet: fra verbale egenskaper til modell

Beholdningen av produserte varer som brukes til å produsere andre varer: maskiner, bygninger, transportmidler, infrastruktur, datasystemer.

Realkapital er en beholdning — den måles på et tidspunkt, ikke over en periode. Det er nettopp derfor den kan bygges opp over tid, og det er den oppbyggingen vekstmodellen handler om.

Merk skillet mot finanskapital: aksjer og bankinnskudd er ikke realkapital. De er krav på realkapital, og de produserer ingenting i seg selv.

Antallet arbeidere i økonomien. I vekstmodellen antar vi at alle er sysselsatt — modellen handler om langsiktig vekst, ikke om konjunkturledighet.

Arbeidsstyrken er den andre innsatsfaktoren, og den vokser med en fast rate $n$ som modellen tar som gitt utenfra.

At ledighet er utelatt, er en bevisst forenkling, og den er verdt å nevne når du setter opp modellen: den forteller sensor at du vet hvilken horisont du befinner deg på.

$$Y = F(K, L)$$

Funksjonen er stigende i begge argumenter — mer kapital gir mer produksjon, og flere arbeidere gir mer produksjon.

Produktfunksjonen representerer tilbudssiden i økonomien. Det er verdt å merke seg allerede nå: i denne modellen er det produksjonskapasiteten som bestemmer produksjonen, ikke etterspørselen. Kontrasten til etterspørselsmodellene kommer i Del 2, og den er en av de tingene sensor belønner når du trekker den inn selv.

Egenskapen at en proporsjonal økning i begge innsatsfaktorene gir samme proporsjonale økning i produksjonen: dobler du både $K$ og $L$, dobles $Y$.

Formelt er produktfunksjonen da homogen av grad 1: $F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K, L)$ for enhver positiv $\lambda$.

Begrunnelsen er replikering: en kopi av hele produksjonsapparatet, bemannet på samme måte, gir en kopi av produksjonen. Antakelsen er avgjørende for hele modellen, fordi den er det som lar oss skrive alt per arbeider.

Realkapitalbeholdningen delt på antall arbeidere, $k = K/L$ — også kalt kapitalintensiteten.

Dette er vekstmodellens hovedstørrelse. Hele analysen handler om hvordan $k$ utvikler seg over tid, og hvor den ender.

Grunnen til at modellen regner per arbeider og ikke i totaltall, er at det er per arbeider-størrelsene som sier noe om velstand. Et land med mye kapital og enda flere innbyggere er ikke rikt.

Samlet produksjon delt på antall arbeidere, $y = Y/L$ — i praksis et mål på arbeidsproduktiviteten, og modellens velstandsmål.

Med konstant skalaavkastning følger $y$ direkte av $k$: $y = f(k)$.

Det gjør vekstmodellens hovedpåstand veldig enkel å uttrykke: vil du forklare hvorfor et land er rikt, må du forklare hvorfor det har mye kapital per arbeider.

$$y = f(k), \qquad y = \frac{Y}{L}, \quad k = \frac{K}{L}$$

Omskrivingen er ikke en ny antakelse — den følger av konstant skalaavkastning, ved å sette $\lambda = 1/L$ i homogenitetsegenskapen.

På eksamen bør du si nettopp det: at per arbeider-formen er en konsekvens av skalaantakelsen, ikke en tilleggsforutsetning. Det er et lite, billig presisjonspoeng som viser at du forstår hvor formen kommer fra.

Den ekstra produksjonen per arbeider man får av å øke kapitalen per arbeider med én enhet — helningen på kurven $f(k)$.

At $f'(k) > 0$ betyr at mer utstyr per arbeider gir mer produksjon per arbeider. Fortegnet er selvsagt; størrelsen er det ikke.

Størrelsen på $f'(k)$ er nemlig det som avgjør flere av modellens viktigste resultater. Blant annet er den avgjørende for gullregelen i kap. 1.5, der betingelsen for høyest mulig varig forbruk handler om nettopp helningen.

Egenskapen at hver ekstra kapitalenhet per arbeider gir mindre ekstra produksjon enn den forrige — kurven $f(k)$ stiger, men flater ut. Grafisk: den er konkav.

Begrunnelsen skal alltid med, og den kommer fra skalaantakelsen: konstant skalaavkastning gjelder når begge faktorene øker sammen. Øker bare kapitalen, blir arbeidskraften den knappe faktoren, og utbyttet av mer utstyr per arbeider avtar.

Dette er den ene antakelsen som gjør at modellen har en likevekt i det hele tatt. Uten avtakende avkastning ville sparekurven aldri innhentes av utvanningen, og kapitalen per arbeider ville vokse uten grense.

Den andelen av produksjonen som ikke forbrukes, men spares og investeres: $S = sY$, med $0 < s < 1$.

Spareraten er eksogen i vekstmodellen — modellen forklarer den ikke, den tar den som gitt. Det betyr også at spareraten er nettopp den størrelsen vi endrer når vi gjør komparativ statikk i kap. 1.3.

Konsumandelen er resten: forbruket per arbeider er $(1-s)f(k)$. Det er verdt å legge merke til allerede nå, for det er den størrelsen gullregelen i kap. 1.5 handler om.

$$S = I$$

Dette er grunnen til at vekstmodellen kan bruke spareraten som en investeringsrate uten videre. Antakelsen er ikke uskyldig, og den er verdt å si høyt når du setter opp modellen.

I en åpen økonomi holder ikke likheten: da kan innenlandsk investering finansieres av utlandet, og innenlandsk sparing kan plasseres i utlandet. Se begrepet «direkteinvesteringer fra utlandet» nedenfor.

De samlede investeringene i en periode, før man trekker fra kapitalslitet: $I = sY$ i denne modellen.

Bruttoinvesteringen er altså alle nye maskiner, bygg og anlegg som anskaffes — også de som bare erstatter noe som er slitt ut.

Skillet mot netto er sentralt for å forstå bevegelsesligningen: det er bare det som er igjen etter at slitet er dekket, som faktisk øker kapitalbeholdningen.

Den andelen av kapitalbeholdningen som forsvinner hver periode gjennom slitasje og foreldelse: slitet er $\delta K$, eller $\delta k$ per arbeider.

Symbolet $\delta$ uttales «delta» (den greske bokstaven d). Merk: nyere eksamenssett i dette emnet skriver ofte $d$ i stedet, av rene skrivetekniske grunner. Det er samme størrelse. Denne boka skriver konsekvent $\delta$.

Kapitalslitet er eksogent, og det er én av de tre parametrene som endres i standardskiftene i kap. 1.3.

$$\Delta K = sY - \delta K$$

Netto kan godt være negativ. Investerer en økonomi mindre enn det som slites ut, krymper kapitalbeholdningen — noe som er helt vanlig i kriser og i land der spareraten er svært lav.

Vær oppmerksom på at netto i denne forstand fortsatt ikke tar hensyn til at det kommer flere arbeidere. Det gjør det neste begrepet.

Vekstraten i arbeidsstyrken: $L$ vokser med raten $n$ per periode, som modellen tar som gitt.

I vekstmodellen har $n$ en litt uventet rolle. Flere arbeidere er ikke et problem for samlet produksjon — tvert imot, den vokser raskere. Men de nye arbeiderne kommer uten kapital, og skal den eksisterende kapitalen fordeles på flere hoder, må det investeres bare for å holde kapitalen per arbeider på stedet hvil.

Det er derfor $n$ havner sammen med $\delta$ i det såkalte utvanningsleddet.

$$(n+\delta)k = \underbrace{\delta k}_{\text{erstatte slitasje}} + \underbrace{nk}_{\text{utstyre de nye arbeiderne}}$$

Navnet «utvanning» sier hva $n$-delen gjør: den fortynner kapitalen ved å fordele den på flere hoder.

Grafisk er dette leddet en rett stråle fra origo med helning $n+\delta$ — den ene av de to kurvene i figuren du skal tegne i kap. 1.2. At den er rett, følger direkte av at $k$ inngår lineært.

$$\Delta k = s f(k) - (n+\delta)k$$

Endringen er investering per arbeider minus utvanning. Er første ledd størst, vokser kapitalintensiteten; er andre ledd størst, faller den.

Dette er den ene formelen du må kunne skrive ned uten oppslag. Alt annet i vekstblokken — likevekten, figurene, alle skiftene, gullregelen og modellene med flere likevekter — er konsekvenser av denne ene ligningen.

Modellen bestemmer selv hvordan $k$ og dermed $y$ og forbruket per arbeider utvikler seg over tid — disse er endogene.

Spareraten $s$, befolkningsveksten $n$, kapitalslitet $\delta$ og formen på produktfunksjonen er derimot gitt utenfra — de er eksogene.

Skillet er ikke pedantisk: all komparativ statikk i vekstblokken består i å endre én av de eksogene parametrene og spore hva som skjer med de endogene. Sier du ikke hva som er eksogent, har du heller ikke sagt hva det er du endrer.

Bokas faste oppskrift på hvordan en oppgitt ligning skal presenteres: to til fem setninger som (i) definerer symbolene, (ii) gir den økonomiske logikken, (iii) angir fortegn og mekanisme, og (iv) sier hva som er bestemt utenfor modellen.

Malen finnes fordi eksamenssettene oppgir relasjonene uforklart, med formuleringen at de «kan komme til nytte». Forklaringen er da selve oppgaven, ikke en innledning til den.

Regelen har en hard konsekvens: å regne eller tegne på ligninger du ikke har forklart, gir svært lite uttelling — selv om regnestykket og figuren er riktige.

Oppgavetypen som gir deg en punktliste med økonomiske egenskaper og ber deg formulere modellen matematisk og begrunne hver antakelse.

Typisk formulering: «En økonomi har følgende fire hovedegenskaper … Sett opp en modell som fanger disse egenskapene, og begrunn antakelsene.»

Oppskriften er alltid den samme: oversett hver kulepunkt-egenskap til én relasjon eller ett fortegn, begrunn den økonomisk, og tolk til slutt hvert ledd i bevegelsesligningen i ord. Det er en av de mest forutsigbare oppgavene i emnet — og en av dem det er lettest å svare halvveis på, ved å skrive ned ligningene uten begrunnelsene.

Investeringer der utenlandske eiere bygger eller kjøper produksjonskapital i et land — den vanligste måten kapitaloppbygging finansieres utenfra på, ved siden av lån og bistand.

Poenget for oss er avgrenset og lite, men det har vært spurt om direkte: å kalle $s$ «spareraten» er bare dekkende i en lukket økonomi, der sparing og investering nødvendigvis er like store. I en åpen økonomi kan investeringene overstige den innenlandske sparingen, finansiert av utlendinger — eller innenlandsk sparing kan plasseres ute i stedet for hjemme.

Dette er stoff du bør kjenne til, ikke stoff du skal bygge en analyse på. Én presis setning i en oppsettsoppgave er nok, og den er billig å ta med.

Eldre eksamenssett i dette emnet skriver spareraten som $\gamma$ (gresk gamma) i stedet for $s$. Det er nøyaktig samme størrelse: andelen av produksjonen som spares og investeres.

Boka skriver konsekvent $s$, men du skal kjenne igjen varianten, siden du kan møte den i gamle sett.

Vær samtidig på vakt: i Del 2 dukker $\gamma$ opp igjen i en helt annen rolle, som navnet på $1-c_1$ i en variant av etterspørselsmodellen. Du får varsel der. Regelen som redder deg begge steder er den samme: definer symbolene dine før du bruker dem.

Nyere eksamenssett skriver kapitalslitet som $d$ i stedet for $\delta$, fordi det er raskere å skrive på tastatur i Inspera. Størrelsen er den samme: andelen av kapitalbeholdningen som forsvinner per periode.

Settene sier selv at greske bokstaver kan erstattes med latinske, og at fotskrifter kan droppes. Du kan altså trygt skrive $d$ selv.

Boka bruker $\delta$ gjennomgående, slik at notasjonen er entydig — men skriver du $d$ på eksamen og definerer den, er alt i orden.

Den matematiske måten å uttrykke konstant skalaavkastning på: $F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K,L)$ for enhver positiv skaleringsfaktor $\lambda$.

Det er denne egenskapen som gjør at hele modellen kan skrives per arbeider — du velger bare $\lambda = 1/L$.

Du trenger ikke bruke ordet «homogen» på eksamen. Men du bør kunne gjøre nettopp dette valget av $\lambda$, siden det er selve broen fra $Y = F(K,L)$ til $y = f(k)$.

Den relative endringen i en størrelse fra én periode til den neste: $\Delta x / x$, oftest oppgitt i prosent.

Skillet mellom nivå og vekstrate er en gjenganger i dette emnet, og en av de vanligste kildene til upresise svar. Vekstmodellen sier for eksempel at en høyere sparerate gir et høyere nivå på produksjonen per arbeider, men ikke en varig høyere vekstrate.

Befolkningsveksten $n$, kapitalslitet $\delta$ og produktivitetsveksten $g$ (som kommer i kap. 1.4) er alle vekstrater eller andeler per periode — ikke nivåer.

$$c = (1-s)f(k)$$

Størrelsen er verdt å notere allerede i oppsettskapitlet, av to grunner. For det første er det forbruket, ikke produksjonen, som er velferdsmålet folk faktisk bryr seg om. For det andre er den kilden til modellens mest kjente ubestemte fortegn: en høyere sparerate gir høyere $f(k)$, men lavere andel $(1-s)$.

Hvilken av de to effektene som vinner, er nettopp det gullregelen i kap. 1.5 svarer på.

En økonomi uten handel eller kapitalbevegelser med utlandet — alt som produseres, brukes eller investeres innenlands.

Vekstmodellen slik den settes opp her, er lukket. Det er nettopp derfor sparing og investering er samme størrelse, og derfor spareraten uten videre kan brukes som investeringsrate.

Antakelsen er en forenkling som er verdt å si høyt. Den er også kilden til nyansen om hva $s$ egentlig heter, og den står i skarp kontrast til Del 3 og Del 4, der hele poenget er at økonomien er åpen.