11.3 Øvingseksamen 1: flertrinnsoppgaver med Python-ledd

Forkunnskaper — sist du var her

Settet trekker på hele boka. De fem oppgavene følger grunnmalen O1–O5, altså det stabile oppgavemønsteret i moderne sett: O1 er Newton- og energioppgaven med krefttegning, O2 rotasjonsoppgaven, O3 differensiallikningsoppgaven som ender i et Python-ledd, O4 relativitetsoppgaven, og O5 en femte oppgave trukket fra kast, sirkelbevegelse, overslag eller gravitasjon.

Det du bør ha friskt før du starter klokka:

Newtons 2. lov komponentvis, med tyngden dekomponert (kap. 3.2):

$$\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a}, \qquad N = mg\cos\theta, \qquad \lvert\mathbf{f}_d\rvert = \mu_d N$$

Rotasjonens Newtons 2. lov og spinnbevaring (kap. 6.1, kap. 6.3):

$$\tau_{\text{net}} = I\alpha, \qquad L_z = I_z\omega_z \ \text{er bevart når det ytre momentet om aksen er null}$$

Den separable førsteordens likningen og terminalfart (kap. 7.3):

$$m\frac{dv}{dt} = F - k_v v \qquad \Longrightarrow \qquad v(t) = v_T\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

Euler–Cromer-løkka (kap. 8.1) — fart før posisjon, og posisjonen med den oppdaterte farten.

Lorentz-faktoren og de to lengde-/tidsreglene (kap. 10.1):

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad \Delta t = \gamma\,\Delta t_0, \qquad l = \frac{l_0}{\gamma}$$

Skrått kast i to uavhengige retninger (kap. 2.2).

Øvingseksamen 1

FYS1100 Mekanikk og modellering · fire timer · fem oppgaver · inntil 5 poeng per deloppgave

Husk at alle svar må begrunnes. Bruk $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ og $c = 3{,}00\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ der ikke annet er oppgitt. Oppgi svar med to eller tre gjeldende siffer, med enhet og — for størrelser som har retning — med retning.

Oppgave 1 (O1) — kasse, snor og bøtte

En kasse med masse $m_1 = 4{,}00\ \text{kg}$ ligger på et skråplan med helning $\theta = 25{,}0°$. Kassa er festet til en masseløs snor som går over en masseløs, friksjonsfri trinse på toppen av planet. I den andre enden av snora henger en bøtte med masse $m_2 = 3{,}00\ \text{kg}$ fritt. Mellom kassa og planet er det dynamisk friksjonstall $\mu_d = 0{,}200$. Systemet slippes fra ro, og kassa begynner å bevege seg oppover langs planet.

a) Tegn fullstendige frilegemediagram for kassa og for bøtta. Navngi alle kreftene, og tegn inn koordinatsystemet du bruker.

b) Vis at akselerasjonen er

$$a = \frac{m_2 g - m_1 g\sin\theta - \mu_d m_1 g\cos\theta}{m_1 + m_2}$$

og regn ut både $a$ og snordraget $T$ med enhet og retning.

c) Kontrollér uttrykket i de to grensetilfellene $\mu_d = 0$ og $m_2 = 0$. Hva betyr fortegnet du får i det siste tilfellet, og hvorfor bryter uttrykket sammen der?

d) Finn farten når kassa har flyttet seg $1{,}50\ \text{m}$ oppover langs planet. Bruk to framgangsmåter: et energiregnskap og en kinematisk beregning.

e) Forklar i to til fire setninger hvorfor snordraget ikke er lik $m_2 g$, og hva som skulle til for at det var det.

Oppgave 2 (O2) — karusellen

En karusell modelleres som en homogen skive med masse $M = 150\ \text{kg}$ og radius $R = 2{,}00\ \text{m}$, som roterer friksjonsfritt om en fast loddrett akse gjennom sentrum. Et barn med masse $m = 30{,}0\ \text{kg}$ sitter helt ytterst på kanten og kan regnes som en punktmasse. Treghetsmomentet til en homogen skive om symmetriaksen er $I = \tfrac12 MR^2$.

a) Finn systemets treghetsmoment om aksen. Tegn en skisse sett ovenfra som viser dyttekraften, momentarmen og rotasjonsretningen.

b) En voksen dytter tangentielt på kanten med konstant kraft $F = 63{,}0\ \text{N}$ i $8{,}00\ \text{s}$, fra ro. Finn vinkelakselerasjonen og vinkelfarten ved slutten av dyttet, med retning.

c) Den voksne slipper. Barnet kryper deretter inn til $r = 0{,}500\ \text{m}$ fra aksen. Finn den nye vinkelfarten, og begrunn hvilken bevaringslov du bruker og hvorfor den gjelder.

d) Finn systemets rotasjonsenergi rett før og rett etter at barnet har krøpet inn. Forklar hvor differansen kommer fra.

e) Forklar i to til fire setninger hvorfor du kan bruke spinnbevaring i c), men ikke i b) — og hvorfor systemets bevegelsesmengde ikke er bevart i noen av fasene.

Oppgave 3 (O3) — den elektriske båten

En liten elektrisk båt med samlet masse $m = 12{,}0\ \text{kg}$ ligger i ro ved brygga. Ved $t = 0$ startes motoren, som gir en konstant framoverrettet skyvekraft $F = 30{,}0\ \text{N}$. Vannmotstanden modelleres først som lineær, $F_D = -k_v v$ med $k_v = 6{,}00\ \text{N}\cdot\text{s/m}$. Båten beveger seg langs en rett linje, og oppdriften balanserer tyngden.

a) Sett opp bevegelseslikningen for farten $v(t)$ fra Newtons 2. lov, og klassifiser likningen: orden, lineær eller ikke, homogen eller ikke.

b) Løs likningen analytisk med initialbetingelsen $v(0) = 0$. Finn terminalfarten $v_T$ og tidskonstanten, og skriv løsningen på formen $v(t) = v_T(1 - e^{-t/\tau})$.

c) Regn ut farten etter $3{,}00\ \text{s}$ og hvor lang tid båten bruker på å nå $90{,}0\ \%$ av terminalfarten.

d) Modellen byttes til kvadratisk motstand, $F_D = -D\lvert v\rvert v$ med $D = 1{,}20\ \text{N}\cdot\text{s}^2/\text{m}^2$. Vis at terminalfarten blir den samme som før, og forklar hvorfor absoluttverdien må stå i uttrykket.

e) Motoren slås av ved $t = 5{,}00\ \text{s}$, og båten seiler videre med bare den kvadratiske motstanden. Skisser en Python-kode som løser den fulle bevegelseslikningen numerisk fra $t = 0$ til $t = 15{,}0\ \text{s}$: angi initialbetingelsene og skriv integrasjonsløkka. Begrunn valget av metode i to setninger.

Oppgave 4 (O4) — reisen til Barnards stjerne

Et bemannet romskip reiser fra jorda til en romstasjon som ligger $4{,}20$ lysår unna, målt i jordas hvilesystem. Farten er konstant $v = 0{,}750c$ hele veien, og vi ser bort fra akselerasjonsfasene. Skipets masse er $m = 2{,}0\cdot 10^{5}\ \text{kg}$.

a) Regn ut Lorentz-faktoren $\gamma$, og finn hvor lang tid reisen tar målt fra jorda.

b) Hvor lang tid tar reisen målt av mannskapet om bord? Si eksplisitt hvilket system som måler egentid, og hvorfor.

c) Hvor lang er strekningen målt fra romskipet? Kontrollér at svaret ditt er konsistent med svaret i b).

d) En sonde skytes ut forover fra skipet med farten $0{,}500c$ målt fra skipet. Hvilken fart har sonden målt fra jorda?

e) Regn ut skipets relativistiske kinetiske energi, og sammenlign med det klassiske uttrykket $\tfrac12 mv^2$. Forklar i to til fire setninger hvorfor det klassiske uttrykket bommer så mye ved denne farten.

Oppgave 5 (O5) — vannballongen fra taket

En vannballong kastes fra kanten av et tak som ligger $h = 18{,}0\ \text{m}$ over bakken. Startfarten er $v_0 = 14{,}0\ \text{m/s}$ i vinkelen $35{,}0°$ over vannrett, rettet ut fra bygningen. Se bort fra luftmotstand i a) til d).

a) Hvor lang tid går det før ballongen treffer bakken?

b) Hvor langt fra bygningen lander den?

c) Hvor stor er farten idet den treffer bakken, og i hvilken retning? Regn ut farten på to måter: fra komponentene og fra et energiregnskap.

d) Hvor høyt over bakken er banens toppunkt?

e) Med luftmotstand $-D\lvert\mathbf{v}\rvert\mathbf{v}$ blir både rekkevidden og nedslagsfarten mindre. Forklar i to til fire setninger hvorfor den vannrette farten ikke lenger er konstant, og hvorfor problemet ikke lenger kan løses med de samme formlene som i a) til d).

Etter settet

Rett deg selv realistisk. Gi deg selv 0 til 5 poeng per deloppgave etter samme prinsipp som sensor: full uttelling krever riktig svar med begrunnelse, med enhet og retning. Et riktig tall uten resonnement er verdt lite. Et godt påbegynt resonnement som ikke kommer helt i mål, er verdt en del.

De fem stedene poeng oftest ryker i dette settet:

- O1 a) — udefinerte symboler eller manglende koordinatsystem i frilegemediagrammet.
- O2 c) — spinnbevaring brukt uten at det står hvorfor det ytre momentet er null.
- O3 e) — variabel uten indeks i løkka, eller posisjonen oppdatert med den gamle farten.
- O4 b) — egentid og observert tid byttet om.
- O5 c) — farten oppgitt uten retning.

Neste steg: øvingseksamen 2 har samme mal, men i anvendt innpakning og med flere kvalitative deloppgaver. Legg de to settene til ulike helger — ikke stable dem i uka før eksamen.