7.3 Luftmotstand og førsteordens separabel ODE

Drag-modeller, terminalfart, og den separable førsteordens ligningen `v(t) = v_T(1 − e^{−gt/v_T})` — med det som kobler rett videre til Python-sporet.

65 min

8 oppgaver

Luftmotstandførsteordens separabel ODE

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Differensiallikninger fra Newtons 2. lov

Brukes videre i

7.4Drill: utled og løs en differensialligning (sjanger G)8.2Drag og 2D-baner numerisk

Luftmotstand er med i 6 av 7 sett (86 %), og nesten alltid koblet til den numeriske deloppgaven. Mønsteret er så fast at det er verdt å kjenne igjen: et legeme faller eller kastes med motstand, du skal utlede bevegelseslikningen, finne terminalfarten, løse likningen analytisk der det går — og til slutt skissere Python-koden som ville løst den generelle versjonen.

Kapitlet hører til sjanger G — svingninger og differensiallikninger, i den førsteordens varianten. Den numeriske halen hører til sjanger H — Python-kode og numerisk integrasjon, som er med i 7 av 7 sett (100 %).

Slik ligger poengene, ut fra sensorveiledningene i H2023, V2024 og V2025:

Steg	Uttelling
Frilegemediagram og oppsett av likningen	bærende
Klassifisering: første orden, separabel	selvstendig poenggivende
Terminalfarten fra $\sum F = 0$	egne poeng — og krever ikke at du løser likningen
Gjennomført separasjon og integrasjon med initialbetingelse	kjernen i oppgaven
Tolkning av grensetilfellene $t \to 0$ og $t \to \infty$	ofte en egen deloppgave

Felle #4 i bokas feilregister bor her: å skrive kvadratisk luftmotstand som

-Dv^2

når farten kan skifte fortegn. Det koster typisk ett poeng i utledningen og ett til i koden. Vi bruker en hel løkke på hvorfor absoluttverdien må være der.
Høyeste prioritet — dette må sitte.
Øktforslag: kapitlet er på 65 minutter. Løkke 1–2 (modellene og terminalfarten) er en naturlig første økt, løkke 3–4 (den separable løsningen og grensene) den neste.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 7.1 og kap. 3.2. Det du trenger derfra, ferdig oppfrisket:

Bevegelseslikningen er Newtons 2. lov med akselerasjonen skrevet som derivert. Når ingen kraft avhenger av posisjonen, kan vi arbeide direkte med farten, og ordenen faller til én:

$m\frac{dv}{dt} = \sum F(v)$

Likevektsløsningen finner du ved å sette den deriverte lik null. For et fallende legeme kalles den terminalfarten, og den er en gratis poenghøster: den krever ikke at likningen løses.

Separabel betyr at alt med den ukjente kan samles på den ene siden og alt med tiden på den andre. Alle likningene i dette kapitlet er separable.

Fra matematikken trenger du to ting: Variabelskifte (substitusjon) og Integrasjon av 1/x og eksponentialfunksjoner. Det ene integralet som gjør hele jobben, er

$\int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$

Fra kap. 1.2 trenger du dessuten $e^{-x} \approx 1 - x + \tfrac12x^2$ for små $x$ — den brukes til å vise at løsningen går over i fritt fall like etter slipp.

Notasjonsavtale for kapitlet. Vi regner positiv retning nedover i fallproblemene, slik at tyngden blir positiv og farten positiv når legemet synker. Farten skrives $v$ som kursiv skalar med fortegn. Luftmotstandens koeffisienter er $k_v$ (lineær modell, enhet $\text{kg/s}$ ) og $D$ (kvadratisk modell, enhet $\text{kg/m}$ ) — de er ulike størrelser med ulike enheter og kan aldri byttes om. Terminalfarten er $v_T$ ; en periode ville vært $T_p$ , og snordrag $T$ , men ingen av dem opptrer her. Tyngden er $m\mathbf{g}$ , aldri $\mathbf{G}$ . Vi bruker $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

Løkke 1 — de to dragmodellene (~14 min)

Slipp et kaffefilter fra skulderhøyde. Det når full fart nesten med det samme og daler så jevnt ned. Slipp en stein fra samme høyde, og den akselererer hele veien.

Forskjellen er luftmotstanden, og den har to ansikter i dette faget. Hvilket du får, avhenger av hvor raskt og hvor stort legemet er — men i en eksamensoppgave står det alltid i teksten hvilken modell som gjelder. Din jobb er å kjenne dem igjen, sette dem opp med riktig fortegn, og vite hva de gjør med likningen.

Luftmotstand (drag)

En kraft fra lufta eller væsken på et legeme som beveger seg gjennom den, alltid rettet mot bevegelsen . Kraften har ingen egen kilde i form av et fast legeme — den kommer av at mediet må skyves til side og av friksjon mot overflaten. Størrelsen vokser med farten, og det er nettopp den fartsavhengigheten som gjør bevegelseslikningen til en ekte differensiallikning. Merk retningsregelen: «mot bevegelsen» er en betingelse som gjelder til enhver tid, også når legemet snur. Det er derfor modellen må skrives slik at kraften bytter fortegn samtidig med farten.

Lineær dragmodell

F_D = -k_v v

Kvadratisk dragmodell

F_D = -D\lvert v\rvert v

Hvorfor absoluttverdien er avgjørende. Tenk på en ball som kastes rett opp og faller ned igjen.

- På vei opp er $v > 0$ (med positiv retning oppover). Motstanden skal peke nedover. Med $-D\lvert v\rvert v = -Dv^2$ blir den negativ ✓.
- På vei ned er $v < 0$ . Motstanden skal nå peke oppover. Med $-D\lvert v\rvert v$ blir leddet $-D\lvert v\rvert v = +Dv^2 > 0$ ✓, altså oppover.
- Med $-Dv^2$ ville leddet vært negativt i begge tilfeller, og på vei ned ville lufta ha dyttet ballen fortere nedover. Modellen ville brutt sammen fysisk.

Intuisjon: $\lvert v\rvert$ gir størrelsen, og den siste $v$ -en gir retningen. Produktet har derfor riktig størrelse og riktig fortegn i ett og samme uttrykk.

Dette er felle #4 i bokas feilregister, og den følger deg videre inn i Del 8: i koden skrives leddet -D*abs(v[i])*v[i], aldri -D*v[i]**2. Skriver du kvadratet, taper du poeng både i utledningen og i koden — to steder for samme feil.

Når kan du forenkle? Bare når du kan garantere at farten ikke skifter fortegn i det tidsrommet du regner på. En fallskjermhopper som faller nedover hele veien, kan trygt beskrives med $-Dv^2$ — men du må skrive ut betingelsen. Å forenkle uten å si hvorfor er å håpe at sensor antar det beste.

📝Oppgave 1

Forklar med egne ord, i to–tre setninger hver:

a) hvorfor luftmotstand gjør bevegelseslikningen til en differensiallikning som ikke kan løses med konstant- $a$ -formlene,

b) hvorfor kvadratisk luftmotstand må skrives $-D\lvert v\rvert v$ og ikke $-Dv^2$ ,

c) hvorfor koeffisientene $k_v$ og $D$ ikke kan ha samme enhet.

Løkke 2 — terminalfarten (~12 min)

Det første spørsmålet i en dragoppgave er nesten alltid det samme: hvor fort går det til slutt? Og det gode ved spørsmålet er at du kan svare uten å løse differensiallikningen i det hele tatt.

Intuisjon: når farten er så stor at motstanden akkurat balanserer tyngden, er resultantkraften null. Da er akselerasjonen null, og farten endrer seg ikke mer. Dette er nøyaktig likevektsløsningen fra kap. 7.1, bare med et fysikknavn på.

Terminalfart

\sum F = 0 \quad \Longrightarrow \quad mg = \lvert F_D(v_T)\rvert

📜Terminalfart for de to modellene

Lineær motstand.

mg = k_v v_T

gir

$v_T = \frac{mg}{k_v}$

Kvadratisk motstand. $mg = D v_T^2$ gir

$v_T = \sqrt{\frac{mg}{D}}$

Legg merke til skaleringen — den er verdt en kommentar i en besvarelse. Med lineær motstand er terminalfarten proporsjonal med massen; med kvadratisk motstand vokser den bare som kvadratrota av massen. En fallskjermhopper som veier dobbelt så mye, faller derfor bare $\sqrt{2} = 1{,}41$ ganger så fort — ikke dobbelt så fort.

Benevningskontroll for den kvadratiske: $[mg/D] = \text{N}/(\text{kg/m}) = (\text{kg}\cdot\text{m/s}^2)\cdot\text{m}/\text{kg} = \text{m}^2/\text{s}^2$ , og kvadratrota gir $\text{m/s}$ ✓.

En tredje sammenheng er verdt å merke seg, fordi den forenkler alle regnestykkene i løkke 3: for lineær motstand er

$\tau \equiv \frac{m}{k_v} = \frac{v_T}{g}$

altså kan tidskonstanten leses rett av terminalfarten.

✏️Eksempel 1: To fallskjermfaser

En fallskjermhopper med utstyr har samlet masse $m = 80{,}0\ \text{kg}$ . I fritt fall før utløsning er den kvadratiske dragkoeffisienten $D_1 = 0{,}250\ \text{kg/m}$ ; med åpen skjerm er den $D_2 = 30{,}0\ \text{kg/m}$ .

a) Finn terminalfarten i begge fasene.

b) Hvor stor er akselerasjonen i det øyeblikket skjermen åpner seg, hvis hopperen da har nådd terminalfart i første fase?

c) Kommenter tallet i b).

Metodevalg: terminalfarten er likevektsløsningen, så vi setter

\sum F = 0

. I b) bruker vi Newtons 2. lov direkte, med den farten hopperen faktisk har i det øyeblikket — ingen differensiallikning trengs.

a) Fritt fall før utløsning:

$v_{T,1} = \sqrt{\frac{mg}{D_1}} = \sqrt{\frac{80{,}0 \cdot 9{,}81}{0{,}250}} = \sqrt{3139{,}2} = 56{,}0\ \text{m/s}$

nedover, altså $202\ \text{km/h}$ .

Med åpen skjerm:

$v_{T,2} = \sqrt{\frac{mg}{D_2}} = \sqrt{\frac{784{,}8}{30{,}0}} = \sqrt{26{,}16} = 5{,}11\ \text{m/s}$

nedover, altså $18{,}4\ \text{km/h}$ — omtrent farten du får ved å hoppe ned fra halvannen meters høyde, som er nettopp poenget med en fallskjerm.

b) I åpningsøyeblikket er farten fortsatt $56{,}0\ \text{m/s}$ , men dragkoeffisienten er blitt $D_2$ . Med positiv retning nedover:

$ma = mg - D_2v^2 = 784{,}8 - 30{,}0 \cdot 3139{,}2 = 784{,}8 - 94\,176 = -93\,391\ \text{N}$

$a = \frac{-93\,391}{80{,}0} = -1{,}17 \cdot 10^3\ \text{m/s}^2$

altså om lag $1{,}17\ \text{km/s}^2$ rettet oppover (bremsing).

c) Det er $119$ ganger tyngdeakselerasjonen — helt urealistisk for et menneske, som tåler i størrelsesorden $10g$ i kort tid. Konklusjonen er at modellen med en brå overgang mellom to konstante $D$ -verdier er for grov: i virkeligheten folder skjermen seg ut over et par sekunder, og $D$ vokser gradvis. En bedre modell lar $D$ variere med tiden, og den kan bare løses numerisk.

Sensorblikk: en deloppgave som ber om en kommentar til et tall, gir full uttelling for et presist resonnement uten regning. Å regne ut $119g$ og la det stå ukommentert er å la poeng ligge — det er nettopp urimeligheten som er svaret.

📝Oppgave 2

Et kaffefilter med masse $2{,}50\ \text{g}$ faller gjennom lufta. Ved de lave fartene det er snakk om, er motstanden godt beskrevet av den lineære modellen med $k_v = 0{,}0150\ \text{kg/s}$ .

a) Finn terminalfarten.

b) Hva er akselerasjonen i slippøyeblikket?

c) Hva er akselerasjonen når farten er $1{,}00\ \text{m/s}$ ?

d) To like filtre stables oppi hverandre, slik at massen dobles mens formen og dermed $k_v$ er uendret. Hva blir terminalfarten da?

📝Oppgave 3

En hagleskål og en tennisball har samme form og samme dragkoeffisient $D = 0{,}00120\ \text{kg/m}$ , men ulik masse. Motstanden er kvadratisk.

a) Finn terminalfarten for en ball med masse $0{,}145\ \text{kg}$ .

b) Hvor mange ganger så tung må en ball være for å få dobbelt så stor terminalfart?

c) En medstudent sier: «Da faller en dobbelt så tung ball dobbelt så fort.» Hva er galt?

d) Ved hvilken fart er luftmotstanden akkurat halvparten av tyngden for ballen i a)?

Løkke 3 — den separable løsningen (~20 min)

Nå skal vi finne hele forløpet, ikke bare sluttfarten. Vi tar den lineære modellen, som er den ene som gir et pent svar, og vi gjør det steg for steg — for det er utregningen sensor følger.

Bevegelseslikningen for et legeme som slippes fra ro, med positiv retning nedover:

$m\frac{dv}{dt} = mg - k_v v, \qquad v(0) = 0$

Klassifiseringen først, som alltid: første orden, lineær, inhomogen — og separabel. Det er separabiliteten som gir metoden.

📜Slik løses den separable likningen

Steg 1 — del på massen og faktoriser. Med

\tau = m/k_v

$\frac{dv}{dt} = g - \frac{v}{\tau}= \frac{1}{\tau}\left(g\tau - v\right)$

og siden $g\tau = mg/k_v = v_T$ :

$\frac{dv}{dt} = \frac{v_T - v}{\tau}$

Steg 2 — separer. Alt med $v$ til venstre, alt med $t$ til høyre:

$\frac{dv}{v_T - v} = \frac{dt}{\tau}$

Steg 3 — integrer begge sider fra start til tidspunktet $t$ , med $v(0) = 0$ :

$\int_0^{v}\frac{dv'}{v_T - v'} = \int_0^t \frac{dt'}{\tau} \quad \Longrightarrow \quad -\ln\left(\frac{v_T - v}{v_T}\right) = \frac{t}{\tau}$

Steg 4 — løs for $v$ . Ta eksponentialfunksjonen på begge sider:

$\frac{v_T - v}{v_T} = e^{-t/\tau} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\ v(t) = v_T\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\ }$

og siden $\tau = v_T/g$ , kan det også skrives

$v(t) = v_T\left(1 - e^{-gt/v_T}\right)$

Intuisjon steg for steg: minustegnet i steg 3 kommer av at $v$ står med negativt fortegn i nevneren — det er stedet flest mister et fortegn. Og legg merke til at integrasjonsgrensene bærer initialbetingelsen: skriver du dem inn med det samme, slipper du en ubestemt konstant helt.

Kontroll ved innsetting. Deriver løsningen:

$\frac{dv}{dt} = \frac{v_T}{\tau}e^{-t/\tau} = \frac{v_T - v}{\tau} \quad ✓$

siden $v_T - v = v_Te^{-t/\tau}$ . Likningen er oppfylt for alle $t$ , og $v(0) = v_T(1-1) = 0$ ✓.

Tidskonstant

\tau = m/k_v

✏️Eksempel 2: En isoporkule i luft

En liten isoporkule med masse $m = 12{,}0\ \text{g}$ slippes fra ro. Luftmotstanden er lineær med $k_v = 0{,}0450\ \text{kg/s}$ .

a) Finn terminalfarten og tidskonstanten.

b) Skriv $v(t)$ .

c) Hvor lang tid tar det før kula har nådd $95\ \%$ av terminalfarten?

d) Hvor langt har kula falt etter $1{,}00\ \text{s}$ , og hvor langt ville den falt i fritt fall?

Metodevalg: vi bruker den separable løsningen som ble utledet over. Terminalfarten og tidskonstanten regnes ut først, siden begge inngår i uttrykket for

v(t)

. Positiv retning er nedover.

a) $v_T = \frac{mg}{k_v} = \frac{0{,}0120 \cdot 9{,}81}{0{,}0450} = \frac{0{,}11772}{0{,}0450} = 2{,}62\ \text{m/s} \quad \text{nedover}$

$\tau = \frac{m}{k_v} = \frac{0{,}0120}{0{,}0450} = 0{,}267\ \text{s}$

Kontroll: $\tau = v_T/g = 2{,}616/9{,}81 = 0{,}267\ \text{s}$ ✓ — de to uttrykkene må gi samme tall.

b) $v(t) = 2{,}62\left(1 - e^{-t/0{,}267}\right)\ \text{m/s} \quad \text{nedover}$

c) Vi krever $v = 0{,}95\,v_T$ , altså $e^{-t/\tau} = 0{,}05$ :

$t = -\tau\ln(0{,}05) = 0{,}2667 \cdot 2{,}996 = 0{,}799\ \text{s}$

altså om lag tre tidskonstanter, som tommelfingerregelen sier.

d) Strekningen er integralet av farten:

$y(t) = \int_0^t v(t')\,dt' = v_T\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right]$

$y(1{,}00) = 2{,}616\left[1{,}00 - 0{,}2667\left(1 - e^{-3{,}75}\right)\right] = 2{,}616\left[1{,}00 - 0{,}2605\right] = 1{,}93\ \text{m}$

I fritt fall ville kula falt $\tfrac12gt^2 = 4{,}91\ \text{m}$ på samme tid. Luftmotstanden har altså mer enn halvert fallstrekningen på ett sekund.

Benevningskontroll: $v_T\tau$ har enhet $(\text{m/s})\cdot\text{s} = \text{m}$ ✓, som seg hør og bør for en strekning.

Rimelighetskontroll: en isoporkule som daler ned med under $3\ \text{m/s}$ etter et kvart sekund, stemmer godt med det du ser når du slipper en. En stein av samme størrelse ville hatt hundre ganger større masse og dermed hundre ganger større terminalfart — og fortsatt akselerert.

📝Oppgave 4

Et lodd med masse $35{,}0\ \text{g}$ slippes fra ro ned i en beholder med olje. Motstanden er lineær med $k_v = 0{,}0700\ \text{kg/s}$ .

a) Finn terminalfarten og tidskonstanten.

b) Skriv $v(t)$ og finn farten etter $0{,}500\ \text{s}$ .

c) Når er farten halvparten av terminalfarten?

d) Vis at løsningen din oppfyller differensiallikningen.

📝Oppgave 5

En liten kule slippes fra ro i en væske. Farten måles til $2{,}00\ \text{m/s}$ etter $0{,}300\ \text{s}$ og til $3{,}00\ \text{m/s}$ etter $0{,}800\ \text{s}$ . Motstanden antas lineær, og kula slippes fra ro.

a) Sett opp de to likningene målingene gir.

b) Bestem terminalfarten og tidskonstanten.

c) Hva er kulas masse hvis $k_v = 0{,}0250\ \text{kg/s}$ ?

d) Hvorfor er det ikke nok med én måling for å bestemme både $v_T$ og $\tau$ ?

Løkke 4 — grensene, og der den lukkede løsningen ryker (~15 min)

En løsning er ikke ferdig kontrollert før du har sett på grensene. For $v(t) = v_T(1-e^{-t/\tau})$ er det to av dem, og begge er faste deloppgaver på eksamen.

Grensen $t \to \infty$ . Da går $e^{-t/\tau} \to 0$ , og

$v \to v_T$

Løsningen nærmer seg terminalfarten, som den skal — og det bekrefter at likevektsløsningen vi fant i løkke 2, faktisk er det bevegelsen ender i.

Grensen $t \to 0$ . Her bruker vi Taylor-utviklingen fra kap. 1.2, $e^{-x} \approx 1 - x + \tfrac12x^2$ :

$v(t) = v_T\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \approx v_T\left(\frac{t}{\tau} - \frac{t^2}{2\tau^2}\right) = gt - \frac{g^2t^2}{2v_T}$

Det første leddet er nøyaktig fritt fall: like etter slipp er farten null, motstanden derfor null, og legemet faller som om lufta ikke fantes. Det andre leddet er den første korreksjonen, og den er negativ — motstanden begynner å bite.

Intuisjon: modellen må gi fritt fall i starten og terminalfart til slutt. Gjør den ikke det, er noe galt. Dette er den billigste kvalitetskontrollen som finnes på et slikt uttrykk, og på eksamen er den ofte en egen deloppgave med egne poeng.

Hva med den kvadratiske modellen? Her må vi være presise, for her sitter en utbredt misforståelse.

For et legeme som slippes fra ro og faller nedover hele veien, er $\lvert v\rvert v = v^2$ , og likningen

$m\frac{dv}{dt} = mg - Dv^2$

er fortsatt separabel. Den kan faktisk løses i lukket form:

$v(t) = v_T\tanh\left(\frac{gt}{v_T}\right), \qquad v_T = \sqrt{\frac{mg}{D}}$

Du kan verifisere den ved innsetting akkurat som før. Så påstanden «kvadratisk motstand kan aldri løses analytisk» er feil, og den skal du ikke skrive.

Det som derimot er sant, er hvor smalt gyldighetsområdet er. Løsningen over holder bare så lenge

1. farten ikke skifter fortegn — så snart legemet snur, må $\lvert v\rvert v$ skrives ut, og likningen skifter form ved vendepunktet;
2. bevegelsen er i én dimensjon — i to dimensjoner kobles $x$ - og $y$ -likningene gjennom farten $v = \sqrt{v_x^2+v_y^2}$ , og systemet har ingen løsning i elementære funksjoner;
3. koeffisientene er konstante — varierer $D$ med høyden, som i tynnere luft, ryker den også.

Et skrått kast med luftmotstand bryter både punkt 1 og punkt 2, og det er nettopp det som gjør Del 8 nødvendig. Kastet er den vanligste innpakningen av den numeriske deloppgaven i eksamenssettene, og formelarket hjelper deg ikke der: den ferdigheten må sitte i fingrene.

Typiske feil

Felle #4 — å skrive kvadratisk motstand som $-Dv^2$ når farten kan skifte fortegn. Koster typisk ett poeng i utledningen og ett til i koden. Riktig form er

-D\lvert v\rvert v

, og forenklingen til

-Dv^2

er bare lov når du skriver ut at farten er ensrettet.

Å bytte om $k_v$ og $D$ . De har ulike enheter ( $\text{kg/s}$ mot $\text{kg/m}$ ) og gir helt ulike terminalfarter. En benevningskontroll fanger byttet på fem sekunder.

Å miste fortegnet i separasjonen. Integralet $\int dv/(v_T - v)$ gir $-\ln(v_T-v)$ , ikke $+\ln(v_T-v)$ . Mistet minustegn her gir en løsning som vokser uten grense i stedet for å flate ut — og en løsning som vokser mot uendelig er alltid et varsel om at et fortegn er borte.

Å glemme initialbetingelsen. Uten den står du igjen med en ubestemt konstant, og svaret er ikke ferdig. Legg initialbetingelsen inn som integrasjonsgrenser med det samme, så slipper du hele problemet.

Felle #3 — å «integrere» likningen som om $v$ var konstant. Gir null poeng; se kap. 7.1.

Å påstå at kvadratisk motstand i én dimensjon ikke kan løses analytisk. Den kan det, med en $\tanh$ . Det som ikke går, er 2D-tilfellet og tilfeller der farten skifter fortegn — vær presis på hvilket av dem du snakker om.

Å oppgi farten uten retning. Terminalfarten er en vektorstørrelse: skriv « $2{,}62\ \text{m/s}$ nedover», ikke bare tallet. Manglende retning på en vektorstørrelse koster typisk 2 poeng.

📝Oppgave 6

Ta utgangspunkt i $v(t) = v_T\left(1 - e^{-gt/v_T}\right)$ for et legeme som slippes fra ro med lineær luftmotstand.

a) Vis at uttrykket gir fritt fall for små $t$ , ved å Taylor-utvikle til og med andreordens ledd.

b) Vis at $v \to v_T$ når $t \to \infty$ , og forklar fysisk hva det betyr.

c) For hvilken fart er akselerasjonen halvparten av $g$ ?

d) En medstudent har regnet ut $v(t) = v_T\left(1 + e^{-gt/v_T}\right)$ . Hvordan ser du at det er feil uten å regne på nytt?

📝Oppgave 7

(Eksamensnivå, sjanger G med numerisk hale.) En kule med masse

m

skytes rett opp med startfarten

v_0

og påvirkes av tyngden og kvadratisk luftmotstand. Regn positiv retning oppover.

a) Sett opp bevegelseslikningen for hele bevegelsen, både opp og ned, og forklar hvorfor absoluttverdien er nødvendig.

b) Skriv likningen slik den gjelder på vei opp, og slik den gjelder på vei ned.

c) Kommer kula opp med samme fart som den kom ned igjen med, eller ikke? Begrunn fysisk uten å løse likningen.

d) Kan bevegelsen beskrives med ett enkelt lukket uttrykk for $v(t)$ hele veien? Begrunn, og si hva neste steg ville vært.

📝Oppgave 8

(Kvalitativ.) Svar i to–fire setninger per punkt.

a) To fallskjermhoppere med samme utstyr og samme kroppsstilling, men ulik masse, hopper samtidig. Hvem når bakken først, og hvorfor?

b) En medstudent skriver: «Luftmotstand gir alltid en analytisk uløselig likning, så alt må gjøres numerisk.» Rett opp utsagnet så presist du kan.

c) Hvorfor er terminalfarten en gratis poenghøster i en eksamensoppgave, og hva må du likevel huske å skrive?

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Separasjon av variable

dv/dt = f(v)h(t)

Grensen mot fritt fall

v(t) \to gt

Eksponentiell tilnærming

v_T - v

Når gjelder hvilken modell

Grovregelen er at lineær motstand gjelder for små, langsomme legemer i et seigt medium, og kvadratisk motstand for større, raskere legemer i luft eller vann. Skillet skyldes at strømningen rundt legemet skifter karakter: ved lave farter siger mediet jevnt forbi, ved høyere farter dannes virvler bak legemet. Overgangen beskrives av et dimensjonsløst forholdstall som ikke er pensum i dette emnet. På eksamen står det alltid i oppgaveteksten hvilken modell som gjelder. Din jobb er å bruke den riktig — ikke å avgjøre hvilken som er fysisk mest treffende.

Dragkoeffisientene

k_v

D

[k_v] = \frac{\text{N}}{\text{m/s}} = \text{kg/s}, \qquad [D] = \frac{\text{N}}{(\text{m/s})^2} = \text{kg/m}

Tanh-løsningen for kvadratisk motstand

v(t) = v_T\tanh\left(\frac{gt}{v_T}\right), \qquad v_T = \sqrt{\frac{mg}{D}}

Hvorfor 2D-drag må løses numerisk

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Luftmotstand gjør alltid negativt arbeid

\mathbf{F}_D \cdot d\mathbf{r}

Strekningen med luftmotstand

y(t) = v_T\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right]

Den numeriske halen

Den faste siste deloppgaven i en dragoppgave: «skriv et program, eller pseudokode, som løser likningen numerisk». Den er med i 7 av 7 sett (100 %) . Poengene gis for riktige initialbetingelser, et riktig akselerasjonsuttrykk og en riktig oppdateringsløkke — ikke for syntaks. Metoden emnet bygger på heter Euler-Cromer, og den utvikles fra grunnen i Del 8. Det du kan gjøre allerede nå, er å skrive bevegelseslikningen på den formen koden trenger: akselerasjonen isolert på venstre side, motstandsleddet skrevet med absoluttverdi.

Halvveistiden mot terminalfart

t_{1/2} = \tau\ln 2 \approx 0{,}693\,\tau

Ensrettet bevegelse

-D\lvert v\rvert v

Startakselerasjonen i et fall med motstand

v = 0

Sluttfart kontra terminalfart

v_T

Skrått kast med luftmotstand

x

Parametertilpasning fra måledata

v_T

Fortegnsregelen i separasjonen

\int \frac{dv}{v_T - v} = -\ln\lvert v_T - v\rvert + C

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.