7.1 Differensiallikninger fra Newtons 2. lov

Hvordan `m d²y/dt² = ΣF` blir en differensialligning, hvilke typer som forekommer, og hvorfor «å integrere som om `y` er konstant» er meningsløst.

60 min

9 oppgaver

Differensiallikninger fra Newtons 2. lov

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.2Kraftmodeller og dekomponering på skråplan

Brukes videre i

7.2Harmonisk oscillator: andreordens homogen ODE 7.3Luftmotstand og førsteordens separabel ODE 8.1Fra ODE til kode: Euler–Cromer-løkka

Differensiallikninger er testet i 6 av 7 sett (86 %). De kommer nesten alltid i samme form: du får en fysisk situasjon, skal utlede likningen fra Newtons 2. lov, løse den analytisk, og til slutt skissere hvordan du ville løst den på datamaskin. Det er én sammenhengende oppgave, og den er verdt fem–seks deloppgaver.

Kapitlet hører til sjanger G — svingninger og differensiallikninger, altså oppgavene der den ukjente er en funksjon av tiden og ikke et tall. Her bygger vi inngangen: å sette opp likningen og å se hva slags likning du har fått.

Slik ligger poengene, ut fra sensorveiledningene i H2023, V2024 og V2025:

Steg	Uttelling
Frilegemediagram og oppsett av likningen fra Newtons 2. lov	bærende — resten hviler på det
Klassifisering (orden, lineær/ikke-lineær, homogen/inhomogen, separabel)	selvstendig poenggivende — skriv den alltid ut
Riktig antall initialbetingelser, fysisk begrunnet	egne poeng
Å velge riktig løsningsmetode ut fra klassifiseringen	egne poeng

Den dyreste fellen i hele boka bor i dette kapitlet. Å «integrere» en differensiallikning som om den ukjente funksjonen var en konstant gir null poeng — ikke delvis uttelling, null. Dette er felle #3 i bokas feilregister (feilene har et samlet register i kap. 0.1). Vi bruker en hel læringsløkke på å vise nøyaktig hva som går galt.
Høyeste prioritet — dette må sitte. Del 7 er dessuten inngangen til det numeriske sporet: den samme likningen du setter opp her, er den du senere løser med datamaskin.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 2.1, kap. 3.1 og kap. 3.2. Det du trenger derfra, ferdig oppfrisket:

Newtons 2. lov, komponentvis, én gang per legeme:

$\sum F_x = ma_x, \qquad \sum F_y = ma_y$

Akselerasjonen er den dobbelt deriverte av posisjonen:

$v = \frac{dy}{dt}, \qquad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}$

Det er nettopp denne sammenhengen som gjør Newtons 2. lov til en differensiallikning: venstre side inneholder krefter, høyre side inneholder en derivert av den ukjente funksjonen.

Kraftmodellene fra kap. 3.2: tyngden $m\mathbf{g}$ , normalkraften $\mathbf{N}$ , dynamisk friksjon $\lvert\mathbf{f}_d\rvert = \mu_d N$ mot bevegelsesretningen, og fjærkraften

$\mathbf{F} = -k(x - x_0)$

der $k$ er fjærkonstanten og $x_0$ er posisjonen der fjæra er avspent.

Konstant- $a$ -formlene $v = v_0 + at$ og $x = x_0 + v_0t + \tfrac12at^2$ gjelder bare når akselerasjonen er konstant. Så snart en kraft avhenger av farten eller posisjonen, er de ubrukelige — og da er du i dette kapitlet.

Fra matematikken trenger du derivasjon og integrasjon: Derivasjon av vektorfunksjoner og Variabelskifte (substitusjon). R2 dekker ikke differensiallikninger som eget tema — hele typologien innføres her, fra bunnen.

Notasjonsavtale for kapitlet. Vi arbeider stort sett i én dimensjon og skriver da posisjonen $y$ (eller $x$ ) og farten $v$ som kursive skalarer med fortegn: positiv verdi betyr «i den positive akseretningen». Krefter som opptrer som vektorer skrives fete: $\mathbf{F}$ , $\mathbf{N}$ . Tyngden skrives $m\mathbf{g}$ eller $\mathbf{F}_g$ — aldri $\mathbf{G}$ , siden $G$ er reservert gravitasjonskonstanten senere i boka. Snordrag er $T$ ; en svingeperiode skriver vi $T_p$ for å unngå kollisjon. Vi bruker $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

Løkke 1 — når kraften ikke er konstant (~12 min)

Du slipper pedalene i en lang nedoverbakke. De første sekundene øker farten jevnt, som i fritt fall langs bakken. Men farten fortsetter ikke å øke jevnt: etter hvert flater den ut mot en verdi der du bare triller, uansett hvor lang bakken er.

Hvorfor? Fordi luftmotstanden vokser med farten. Kraften som bremser deg, avhenger av det du prøver å regne ut. Og i det øyeblikket er ikke lenger $v = v_0 + at$ til noen hjelp: den formelen forutsetter at $a$ er konstant, og her er den ikke det.

Intuisjon: så lenge kreftene er konstante, er mekanikk en oppskrift. Så snart en kraft avhenger av fart eller posisjon, blir den en likning om en funksjon — og det er en differensiallikning.

Differensiallikning

y(t)

📜Bevegelseslikningen: Newtons 2. lov som differensiallikning

Sett opp Newtons 2. lov for legemet, sett inn kraftmodellene, og erstatt akselerasjonen med den andrederiverte av posisjonen:

$m\frac{d^2y}{dt^2} = \sum F\left(y,\ \frac{dy}{dt},\ t\right)$

Høyresiden kan inneholde tre slags avhengighet, og det er dem du skal lete etter:

- avhengighet av posisjonen $y$ — fjærkraft, gravitasjon, potensialkrefter;
- avhengighet av farten $dy/dt$ — luftmotstand, dempere, viskøs motstand;
- eksplisitt avhengighet av tiden $t$ — en motor som skrus opp, en varierende ytre påkjenning.

Er høyresiden helt uavhengig av alle tre, er akselerasjonen konstant, og du kan bruke konstant- $a$ -formlene i stedet. Det er den ene sjekken som avgjør om du i det hele tatt har en differensiallikning å hanskes med.

Løsning av en differensiallikning

y(t) = \dots

✏️Eksempel 1: Fritt fall som differensiallikning

En ball slippes fra en høyde. Vi regner $y$ positivt oppover og ser bort fra luftmotstanden.

a) Sett opp bevegelseslikningen.

b) Vis at $y(t) = y_0 + v_0t - \tfrac12 gt^2$ er en løsning.

c) Hva betyr $y_0$ og $v_0$ fysisk?

Metodevalg først: vi bruker Newtons 2. lov på ballen alene. Med luftmotstanden neglisjert er tyngden den eneste kraften, så oppsettet er kort — men strukturen er den samme som i alle senere oppgaver.

a) Frilegemediagrammet for ballen har én pil: tyngden $m\mathbf{g}$ rett nedover, altså i negativ $y$ -retning. Newtons 2. lov i $y$ -retningen gir

$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg \quad \Longrightarrow \quad \frac{d^2y}{dt^2} = -g$

Massen faller ut. Høyresiden er en konstant — den avhenger verken av $y$ , av farten eller av tiden.

b) Vi deriverer den påståtte løsningen to ganger:

$\frac{dy}{dt} = v_0 - gt, \qquad \frac{d^2y}{dt^2} = -g$

Den andrederiverte er $-g$ , som er nøyaktig høyresiden. Likningen er altså oppfylt for alle $t$ , og funksjonen er en løsning.

c) Setter vi $t = 0$ , får vi $y(0) = y_0$ og $dy/dt\big|_{t=0} = v_0$ . Altså er $y_0$ starthøyden og $v_0$ startfarten (positiv oppover). De to konstantene er ikke noe likningen bestemmer — de kommer fra hvordan ballen ble sluppet.

Benevningskontroll: venstre side i $d^2y/dt^2 = -g$ har enhet $\text{m/s}^2$ , og det har $g$ også. Det stemmer.

Merk hva vi gjorde her: vi verifiserte en løsning uten å utlede den. Det er en helt gyldig og ofte rask metode, og på eksamen er svaret ofte oppgitt i oppgaveteksten nettopp for at du skal kunne gjøre dette.

📝Oppgave 1

Skriv opp bevegelseslikningen for hvert av de tre tilfellene, og si i hver av dem hvilken funksjon som er den ukjente. Du skal ikke løse noe.

a) En kloss glir uten friksjon nedover et fast skråplan med helning $\theta$ . La $s$ være posisjonen langs planet, positiv nedover.

b) En kloss på et vannrett, friksjonsfritt underlag er festet til en fjær med fjærkonstant $k$ . La $x$ være utslaget fra der fjæra er avspent.

c) En kasse skyves over et vannrett gulv av en konstant kraft $F$ , med dynamisk friksjonstall $\mu_d$ mot underlaget. La $x$ være posisjonen langs gulvet, positiv i skyveretningen.

Løkke 2 — klassifiseringen som gir poeng (~16 min)

Når likningen står der, er neste steg alltid det samme: hva slags likning er dette? Sensor gir egne poeng for klassifiseringen, og grunnen er praktisk — det er klassifiseringen som bestemmer hvilken metode du kan bruke. Hopper du over den, gjetter du på metode.

Fire spørsmål, i denne rekkefølgen. De tar tjue sekunder til sammen når de sitter.

Ordenen til en differensiallikning

m\frac{dv}{dt} = mg - k_v v \quad \text{er av \textbf{første} orden}

Lineær differensiallikning

\sin

Homogen og inhomogen likning

\frac{d^2u}{dt^2} + \omega_0^2 u = 0 \qquad \text{homogen}

Separabel differensiallikning

\frac{dv}{dt} = f(v)\,h(t) \quad \Longrightarrow \quad \frac{dv}{f(v)} = h(t)\,dt

Klassifiseringen peker rett på metoden. Denne tabellen er hele beslutningstreet for Del 7, og den er verdt å kunne uten å slå opp:

Likningen er …	Typisk fysikk	Metode	Hvor i boka
1. orden, separabel	fall med lineær eller kvadratisk luftmotstand	separér variablene og integrer	kap. 7.3
2. orden, lineær, homogen, konstante koeffisienter	fjær, pendel for små utslag, dempet svingning	karakteristisk likning	kap. 7.2
2. orden, lineær, inhomogen	hengende fjær med tyngde	flytt origo til likevekten, så som over	kap. 7.2
ikke-lineær, men nær en likevekt	pendel, ikke-lineær fjær	Taylor-utvikle og linearisér	kap. 7.2
ikke-lineær, langt fra likevekt, eller 2D	kast med luftmotstand, planetbane	numerisk løsning	Del 8

Den nederste raden er ikke en nødløsning. Numerisk løsning er en egen, fullverdig metode i dette emnet, og den er testet i alle sju settene. Del 8 bygger den fra grunnen. Frem til da skal du kunne si i klartekst at likningen må løses numerisk, og hvorfor — det er en vanlig deloppgave i seg selv.

✏️Eksempel 2: Klassifiser fire bevegelseslikninger

Klassifiser hver av likningene etter orden, lineær/ikke-lineær og homogen/inhomogen, og si hvilken metode klassifiseringen peker på. Alle konstantene er positive.

a) $\ m\dfrac{dv}{dt} = mg - k_v v$ — lodd som faller med lineær luftmotstand

b) $\ m\dfrac{d^2y}{dt^2} = -ky$ — kloss på vannrett fjær

c) $\ m\dfrac{d^2y}{dt^2} = -ky - b\dfrac{dy}{dt}$ — samme fjær, med en demper

d) $\ m\ell\dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -mg\sin\theta$ — pendel med lengde $\ell$

Metodevalg: vi kjører de fire spørsmålene i rekkefølge på hver likning. Klassifiseringen skrives alltid ut i klartekst — det er den som gir poeng, ikke bare svaret etterpå.

a) Høyeste deriverte er $dv/dt$ , altså første orden. Den ukjente $v$ opptrer i første potens alene, så likningen er lineær. Flytter vi $k_v v$ over, står det $m\,dv/dt + k_v v = mg$ , og høyresiden $mg$ inneholder ikke $v$ — den er inhomogen. Den er også separabel: alt med $v$ kan samles på den ene siden.
Metode: separér og integrer.

b) Høyeste deriverte er $d^2y/dt^2$ , altså andre orden. Den ukjente står i første potens: lineær. Alt inneholder $y$ , høyresiden blir null: homogen, og med konstante koeffisienter.
Metode: karakteristisk likning.

c) Fortsatt andre orden, fortsatt lineær (både $y$ og $dy/dt$ er i første potens), fortsatt homogen. Dempeleddet endrer ikke klassifiseringen — det endrer bare hvilke røtter den karakteristiske likningen får.
Metode: karakteristisk likning, samme oppskrift som b).

d) Andre orden. Men $\theta$ står inni en sinus, så likningen er ikke lineær. Den er homogen i den forstand at høyresiden er null når $\theta = 0$ , men den vanlige oppskriften gjelder ikke.
Metode: Taylor-utvikle $\sin\theta \approx \theta$ for små utslag, og løs den lineariserte likningen; for store utslag må den løses numerisk.

Sensorblikk: legg merke til at c) og d) ser like «kompliserte» ut, men bare den ene har en lukket løsningsformel. Det er nettopp det klassifiseringen avslører — og derfor den skal skrives før du velger metode.

📝Oppgave 2

Klassifiser hver av likningene etter (i) orden, (ii) lineær eller ikke-lineær, (iii) homogen eller inhomogen. Alle konstanter er positive.

a) $\ \dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{D}{m}\lvert v\rvert v$

b) $\ \dfrac{d^2x}{dt^2} + 4\dfrac{dx}{dt} + 9x = 0$

c) $\ \dfrac{d^2y}{dt^2} = -g - \dfrac{k_v}{m}\dfrac{dy}{dt}$

d) $\ \dfrac{d^2x}{dt^2} = -\dfrac{k}{m}x - \dfrac{c}{m}x^3$

Løkke 3 — initialbetingelsene (~12 min)

En differensiallikning beskriver loven. Den sier hva som styrer bevegelsen, men ikke hvor bevegelsen startet. Derfor har en differensiallikning uendelig mange løsninger — én for hver måte du kunne ha satt systemet i gang på.

Intuisjon: likningen $d^2y/dt^2 = -g$ gjelder like godt for en ball du slipper som for en ball du kaster oppover. Fysikken er den samme; startbetingelsene er ulike.

Initialbetingelse

t = 0

📜Like mange initialbetingelser som ordenen

Løsningen av en differensiallikning av orden $n$ inneholder $n$ ubestemte konstanter, og du trenger nøyaktig $n$ initialbetingelser for å bestemme dem.

- Første orden (fart med luftmotstand): én konstant, én initialbetingelse — typisk $v(0)$ .
- Andre orden (fjær, pendel): to konstanter, to initialbetingelser — typisk $y(0)$ og $v(0)$ .

Intuisjon: ordenen teller hvor mange ganger du må «integrere opp», og hver integrasjon føder én ukjent konstant.

Praktisk konsekvens: ser du en andreordens likning og bare én oppgitt startopplysning, mangler du noe — les oppgaveteksten en gang til. Ofte ligger den andre betingelsen skjult i en formulering som «slippes fra ro» eller «passerer likevektspunktet».

Generell og partikulær løsning

y(t) = y_0 + v_0t - \tfrac12gt^2 \quad \text{er generell så lenge } y_0, v_0 \text{ er frie}

✏️Eksempel 3: Fra generell til partikulær løsning

En stein kastes rett oppover fra $y = 0$ med farten $6{,}0\ \text{m/s}$ . Luftmotstanden neglisjeres, og $y$ regnes positivt oppover.

a) Skriv den generelle løsningen av bevegelseslikningen.

b) Bestem konstantene fra initialbetingelsene, og begrunn dem fysisk.

c) Når er steinen på det høyeste, og hvor høyt kommer den?

Metodevalg: likningen er

d^2y/dt^2 = -g

med konstant høyreside, altså den enkleste typen. Vi integrerer to ganger og lar konstantene stå til initialbetingelsene settes inn.

a) Første integrasjon gir farten, andre gir posisjonen:

$\frac{dy}{dt} = -gt + C_1, \qquad y(t) = -\tfrac12gt^2 + C_1t + C_2$

To ubestemte konstanter — som seg hør og bør for en andreordens likning.

b) Steinen forlater hånden i origo, så $y(0) = 0$ , og den kastes oppover med $6{,}0\ \text{m/s}$ , altså i positiv retning: $v(0) = +6{,}0\ \text{m/s}$ . Innsatt i uttrykkene over:

$y(0) = C_2 = 0, \qquad \frac{dy}{dt}\bigg|_{t=0} = C_1 = 6{,}0\ \text{m/s}$

$y(t) = 6{,}0\,t - 4{,}905\,t^2 \quad (\text{meter, med } t \text{ i sekunder})$

c) På toppen er farten null:

$\frac{dy}{dt} = 6{,}0 - 9{,}81t = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 0{,}6116\ \text{s}$

$y(0{,}6116) = 6{,}0 \cdot 0{,}6116 - 4{,}905 \cdot 0{,}6116^2 = 3{,}670 - 1{,}835 = 1{,}83\ \text{m}$

Steinen er på det høyeste etter $0{,}61\ \text{s}$ og kommer $1{,}83\ \text{m}$ over utgangspunktet.

Kontroll med en annen metode: energibetraktningen gir $\tfrac12mv_0^2 = mgh$ , altså $h = v_0^2/(2g) = 36/19{,}62 = 1{,}83\ \text{m}$ ✓. To uavhengige veier til samme tall er et godt tegn, og sensor godtar begge.

Merk: her kunne vi integrere rett fram, fordi høyresiden var en ren konstant. Det er nettopp den situasjonen som ikke gjelder i resten av kapitlet.

📝Oppgave 3

En kloss på en fjær beveger seg etter likningen

$\frac{d^2x}{dt^2} = -25\,x$

med $x$ i meter og $t$ i sekunder.

a) Vis ved innsetting at $x(t) = A\cos(5t) + B\sin(5t)$ er en løsning for alle verdier av $A$ og $B$ .

b) Klossen slippes fra ro i $x = 0{,}12\ \text{m}$ . Bestem $A$ og $B$ , og begrunn begge initialbetingelsene fysisk.

c) Hvor mange initialbetingelser trengs, og hvorfor akkurat så mange?

Løkke 4 — metodefellen som gir null poeng (~12 min)

Nå kommer den viktigste enkeltbiten i kapitlet. Se på likningen for et lodd som faller med lineær luftmotstand:

$m\frac{dv}{dt} = mg - k_v v$

En fristende, men feil, tanke er: «jeg integrerer begge sider med hensyn på tiden». Gjør du det og behandler $v$ på høyresiden som om den var en konstant, får du

$m\,v = (mg - k_v v)\,t \quad \Longrightarrow \quad v = \frac{gt}{1 + k_v t/m}$

Det ser ut som et svar. Det har riktig enhet. Det starter til og med i null og flater ut mot riktig sluttverdi. Og det gir null poeng, fordi funksjonen ikke løser likningen.

Hvorfor: når du integrerer $k_v v\,dt$ , kan du ikke sette $\int v\,dt = v\,t$ . Det ville krevd at $v$ var konstant — og hele poenget med likningen er at $v$ endrer seg. Du bruker altså svaret ditt som forutsetning for å finne svaret.

Hvor galt blir det? Med et lodd der terminalfarten er $2{,}62\ \text{m/s}$ , gir den gale metoden $1{,}38\ \text{m/s}$ etter $0{,}30$ sekunder, mens den riktige løsningen gir $1{,}77\ \text{m/s}$ . Avviket er $22\ \%$ — midt i det tidsrommet oppgaven som regel spør om. At de to kurvene ender på samme verdi når $t \to \infty$ , er en tilfeldighet ved akkurat denne modellen, og redder ingenting: sensor retter metoden, ikke sluttverdien.

Typiske feil

Felle #3 — «integrere» en differensiallikning som om den ukjente er konstant. Gir null poeng, ikke delvis uttelling. Kjennetegnet er at

\int v\,dt

blir skrevet som

vt

, eller at

\int y\,dt

blir

yt

. Er den ukjente funksjonen på høyresiden, må du enten separere variablene (kap. 7.3) eller bruke karakteristisk likning (kap. 7.2).

Å svare med et tall på et spørsmål om en differensiallikning. Løsningen er en funksjon. Et tall kan være svaret på «hvor fort går den etter 2 sekunder», men aldri på «løs likningen».

Feil orden. Å kalle $m\,d^2y/dt^2 = -ky$ førsteordens fordi den «ser enkel ut». Ordenen leses av den høyeste deriverte, ikke av hvor komplisert likningen føles.

For få initialbetingelser. En andreordens likning med bare $y(0)$ oppgitt gir en løsning med én konstant fortsatt ubestemt — og et svar med en ubestemt konstant i er ikke ferdig.

Å hoppe over klassifiseringen. Den er selvstendig poenggivende og tar tjue sekunder. Skriv den ut hver eneste gang, også når du «ser» metoden med det samme.

Å blande derivasjon med hensyn på tid og med hensyn på posisjon. I $dU/dx$ deriverer du et potensial med hensyn på posisjon; i $dv/dt$ deriverer du farten med hensyn på tid. De to har ulik enhet og kan aldri settes lik hverandre uten et mellomledd.

📝Oppgave 4

En student skal finne farten til et lodd som faller i en væske. Bevegelseslikningen er

$m\frac{dv}{dt} = mg - k_v v$

Studenten skriver: «Jeg integrerer begge sider fra $0$ til $t$ og får $mv = mgt - k_v vt$ , altså $v = \dfrac{gt}{1 + k_vt/m}$ .»

a) Forklar presist hvilket steg som er ugyldig, og hvorfor.

b) Test svaret ved å sette det inn i differensiallikningen for et lite tidspunkt. Hva ser du?

c) Studenten innvender: «Men uttrykket mitt gir jo riktig terminalfart når $t$ blir stor!» Er det et gyldig forsvar?

Likevektsløsning

m\frac{dv}{dt} = mg - k_v v \quad \xrightarrow{\ dv/dt = 0\ } \quad v = \frac{mg}{k_v}

📝Oppgave 5

Et lodd faller i olje. Bevegelseslikningen er

$m\frac{dv}{dt} = mg - k_v v$

med $m = 0{,}0200\ \text{kg}$ og $k_v = 0{,}0800\ \text{kg/s}$ . Positiv retning er nedover.

a) Finn likevektsløsningen, og forklar fysisk hva den betyr.

b) Hva er akselerasjonen i det øyeblikket loddet slippes fra ro?

c) Hva er akselerasjonen når farten er halvparten av likevektsverdien?

d) Uten å løse likningen: skisser med ord hvordan $v(t)$ ser ut, og begrunn formen ut fra a)–c).

Løkke 5 — når analytisk løsning ryker, og hva som da skjer (~14 min)

Det finnes ingen generell metode for å løse differensiallikninger. Det som finnes, er noen få familier vi kan løse eksakt — og de dekker heldigvis mesteparten av det som testes på eksamen:

- førsteordens separable likninger, som luftmotstandslikningene i kap. 7.3;
- andreordens lineære med konstante koeffisienter, som fjæra og den lineariserte pendelen i kap. 7.2.

Alt annet — kvadratisk luftmotstand i to dimensjoner, pendelen med store utslag, en planet i bane rundt sola — må løses numerisk.

Det numeriske sporet er en egen del av denne boka (Del 8), og det er ikke en nødløsning: numerisk Python er testet i 7 av 7 sett (100 %), og det er nesten alltid siste deloppgave i nettopp ODE-oppgaven. Metoden heter Euler–Cromer, og den bygger på at du deler tiden i små steg og oppdaterer fart og posisjon steg for steg. Del 8 bygger den fra grunnen av. Det du skal ta med deg herfra, er å skrive likningen på en form som er klar for numerisk behandling: akselerasjonen isolert på venstre side, alt annet uttrykt ved posisjon, fart og tid.

Tilstandsform: én andreordens likning blir til to førsteordens

\frac{d^2y}{dt^2} = f\left(y, \frac{dy}{dt}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{dy}{dt} = v \\[6pt] \dfrac{dv}{dt} = f(y, v)\end{cases}

✏️Eksempel 4 (eksamensnivå): fjær med luftmotstand

En kule med masse $m$ henger i en fjær med fjærkonstant $k$ og svinger loddrett i lufta. Fjæra er avspent ved $y = 0$ , og $y$ regnes positivt oppover. I tillegg til tyngden og fjærkraften virker en luftmotstand med tallverdi $D\lvert v\rvert v$ , rettet mot bevegelsen.

a) Sett opp bevegelseslikningen.

b) Klassifiser den.

c) Finn likevektsposisjonen.

d) Kan likningen løses analytisk? Begrunn, og si hva neste steg ville vært.

e) Skriv likningen på tilstandsform.

Metodevalg: ett frilegemediagram for kula, Newtons 2. lov loddrett, deretter klassifisering før noe annet. Kraften fra luftmotstanden skrives med absoluttverdi nettopp fordi kula skifter retning under svingningen.

a) Tre krefter virker på kula: fjærkraften $-ky$ (peker mot avspent lengde), tyngden $-mg$ (nedover) og luftmotstanden $-D\lvert v\rvert v$ (alltid mot bevegelsen). Newtons 2. lov loddrett:

$m\frac{d^2y}{dt^2} = -ky - mg - D\left\lvert\frac{dy}{dt}\right\rvert\frac{dy}{dt}$

Hvorfor absoluttverdi? Skriver du $-Dv^2$ , blir motstandsleddet negativt uansett retning, og kula ville bli bremset på vei ned og skjøvet nedover på vei opp. Med $-D\lvert v\rvert v$ snur leddet fortegn samtidig med farten, og kraften peker alltid mot bevegelsen. Dette er felle #4 i feilregisteret, og den koster poeng både i utledningen og senere i koden.

b) Andre orden (høyeste deriverte er $d^2y/dt^2$ ). Ikke lineær, på grunn av $\lvert v\rvert v$ . Inhomogen, fordi tyngdeleddet $-mg$ ikke inneholder den ukjente.

c) I likevekt står kula i ro: både farten og akselerasjonen er null, så luftmotstanden faller bort:

$0 = -ky_L - mg \quad \Longrightarrow \quad y_L = -\frac{mg}{k}$

Altså henger kula en strekk $mg/k$ under avspent lengde — negativ $y$ , som seg hør og bør når $y$ er positiv oppover.

d) Nei. Likningen er andreordens og ikke-lineær, og den faller utenfor begge de familiene vi kan løse eksakt: den er ikke separabel (andre orden), og karakteristisk likning gjelder bare for lineære likninger. Neste steg er numerisk løsning: del tiden i små steg og oppdater fart og posisjon steg for steg med Euler–Cromer-metoden, som bygges i Del 8.

Delvis analytisk innsikt får vi likevel: for svært små svingninger er farten liten, og $\lvert v\rvert v$ er da mye mindre enn $v$ selv. Da nærmer likningen seg den udempede fjærlikningen fra kap. 7.2, som vi kan løse. Det er alltid verdt å si i en slik deloppgave — det viser at du kjenner grensetilfellet.

e) Med $v = dy/dt$ :

$\begin{cases} \dfrac{dy}{dt} = v \\[6pt] \dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{k}{m}y - g - \dfrac{D}{m}\lvert v\rvert v \end{cases}$

Sensorblikk: legg merke til at $D$ deles på $m$ i akselerasjonslinja. Det er en av de vanligste feilene når et nytt kraftledd legges til — kraften må gjennom Newtons 2. lov før den blir en akselerasjon. To initialbetingelser trengs, $y(0)$ og $v(0)$ , og de er samtidig startverdiene den numeriske løkka trenger.

📝Oppgave 6

En fallskjermhopper i fritt fall før skjermen åpnes påvirkes av tyngden og en kvadratisk luftmotstand med tallverdi $Dv^2$ . Vi regner positiv retning nedover, og hopperen faller hele tiden nedover.

a) Sett opp bevegelseslikningen for farten $v(t)$ , og forklar hvorfor du kan skrive motstandsleddet som $-Dv^2$ i akkurat denne situasjonen.

b) Klassifiser likningen.

c) Finn terminalfarten uttrykt ved $m$ , $g$ og $D$ , og regn den ut for $m = 80{,}0\ \text{kg}$ og $D = 0{,}250\ \text{kg/m}$ .

d) Hvorfor må motstandsleddet skrives $-D\lvert v\rvert v$ i det generelle tilfellet?

📝Oppgave 7

En kloss med masse $m$ ligger på et vannrett, friksjonsfritt bord og er festet til en fjær med fjærkonstant $k$ . Fjæra er avspent ved $x = 0$ . I tillegg virker en dempende kraft $-b\,dx/dt$ fra en oljedemper, og en ytre motor drar i klossen med kraften $F_0\cos(\Omega t)$ .

a) Sett opp bevegelseslikningen.

b) Klassifiser den fullstendig.

c) Hvor mange initialbetingelser trengs, og hva ville de være fysisk?

d) Hva ville likningen bli hvis motoren skrus av, og hva ville den bli hvis både motoren og demperen fjernes?

e) Skriv den fulle likningen på tilstandsform.

📝Oppgave 8

(Eksamensnivå, sjanger G — differensiallikningsoppgaven.) En dykkerklokke med masse

m

senkes i vann. Kreftene på den er tyngden

mg

nedover, en konstant oppdrift

B

oppover, og en lineær vannmotstand med tallverdi

k_v\lvert v\rvert

rettet mot bevegelsen. Regn positiv retning nedover, og anta

mg > B

a) Sett opp bevegelseslikningen for farten $v(t)$ , gyldig så lenge klokka synker.

b) Klassifiser likningen.

c) Finn synkefarten i likevekt, og sett opp betingelsen for at klokka i det hele tatt synker.

d) Klokka slippes fra ro. Vil den nærme seg likevektsfarten ovenfra eller nedenfra? Begrunn uten å løse likningen.

e) Oppdriften økes langsomt til $B > mg$ . Hva skjer med likevektsløsningen, og hva betyr fortegnet fysisk?

📝Oppgave 9

(Kvalitativ.) To studenter diskuterer utsagnet: «En differensiallikning har alltid uendelig mange løsninger, så den kan ikke forutsi noe.»

a) Forklar hva som er riktig og hva som er galt i utsagnet.

b) En kule svinger på en fjær. Hvorfor er det ikke nok å kjenne posisjonen ved $t = 0$ for å vite hva som skjer videre?

c) For en førsteordens likning som $m\,dv/dt = mg - k_v v$ holder det derimot med én opplysning. Forklar hvorfor forskjellen ligger i ordenen og ikke i fysikken.

Svar i to–fire setninger per punkt.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Startverdiproblem

v_0

Randbetingelse (til forskjell fra initialbetingelse)

t = 0

Autonom differensiallikning

m\frac{dv}{dt} = mg - k_v v \quad \text{er autonom}

Konstante koeffisienter

a\frac{d^2y}{dt^2} + b\frac{dy}{dt} + cy = 0 \quad \text{med } a, b, c \text{ konstante}

Analytisk løsning

En løsning skrevet som en formel i kjente funksjoner: potenser, eksponentialfunksjoner, sinus og cosinus. Den kan deriveres, grensebetraktes og settes inn i andre uttrykk. Analytiske løsninger finnes bare for spesielle likninger. Når de finnes, er de å foretrekke: de viser hvordan svaret avhenger av parametrene, ikke bare hva tallet blir for én bestemt kalibrering.

Numerisk løsning

En tabell av tallverdier for den ukjente funksjonen i et endelig antall tidspunkt, beregnet steg for steg fra initialbetingelsene. Du får ingen formel, men du får kurven — og du får den for likninger som ikke kan løses analytisk. Metoden emnet bygger på heter Euler-Cromer og utvikles i Del 8. Der lærer du også hvorfor akkurat den metoden foretrekkes framfor den enda enklere Forward Euler-metoden.

Diskretisering

t_0, t_1, t_2, \dots

Superposisjonsprinsippet for lineære homogene likninger

y_1(t)

Kraftlov: hva høyresiden kan avhenge av

Høyresiden i en bevegelseslikning kan avhenge av posisjonen (fjærkraft, gravitasjon), av farten (luftmotstand, demping) og av tiden (en ytre påkjenning som varierer) — eller av flere av delene samtidig. Å identifisere hvilken av de tre du har, er det som avgjør både klassifiseringen og metoden. Avhenger høyresiden av ingen av dem, er akselerasjonen konstant, og du er tilbake i kap. 2.1 .

Verifisering ved innsetting

t

Dimensjonskontroll av en differensiallikning

m\,d^2y/dt^2 = -ky - mg

Entydighet: én tilstand, én framtid

For de bevegelseslikningene som opptrer i dette emnet gjelder at én gitt starttilstand gir nøyaktig én løsning. To ulike bevegelser kan altså aldri ha samme posisjon og samme fart i samme øyeblikk. Praktisk konsekvens: får du to ulike svar på samme startverdiproblem, er minst ett av dem galt. Dette er kjenne-stoff — de matematiske betingelsene bak er ikke pensum, men konklusjonen brukes hele tiden.

Eksplisitt form: akselerasjonen isolert

\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{1}{m}\sum F\left(y, \frac{dy}{dt}, t\right)

Parameter kontra ukjent

m\,d^2y/dt^2 = -ky - mg

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.