2.1 Kinematikk: posisjon, fart og akselerasjon

Sammenhengen posisjon–fart–akselerasjon som derivasjon/integrasjon, bevegelsesgrafer, og standardformlene for konstant akselerasjon.

55 min

13 oppgaver

Kinematikkposisjonfartakselerasjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.2Skrått kast og 2D-kinematikk (sjanger A)3.1Newtons tre lover og frilegemediagram 10.1Tidsdilatasjon, lengdekontraksjon og hastighetsaddisjon

Kinematikk er språket resten av boka er skrevet på. Å beskrive hvordan noe beveger seg — hvor det er, hvor fort det går og hvordan farten endrer seg — er første halvdel av hver eneste mekanikkoppgave. Andre halvdel er å forklare hvorfor (det kommer i delen om Newtons lover).

- På midtveiseksamen — den digitale flervalgsprøven som teller 20 % av karakteren, 3 timer, rundt 20 spørsmål — er graftolkning en gjenganger: «hvilken av grafene hører sammen?», «hvor er akselerasjonen størst?», «hvilken bevegelse er umulig?». Slike spørsmål krever ingen lang utregning, bare at du leser stigningstall og areal riktig.
- På den avsluttende skoleeksamen (4 timer, penn og papir, teller 80 %) står kinematikk sjelden alene. Den er innbakt: du finner en akselerasjon med Newtons 2. lov og skal så finne farten eller strekningen. Den frittstående kastoppgaven — sjanger A, altså skrått kast og bevegelse i to dimensjoner — dukker opp i 3–4 av 7 sett (~50 %), og den bygger direkte på dette kapitlet.

Hjelpemidler du får utdelt: godkjent kalkulator, den matematiske formelsamlingen Rottmann, og et fagspesifikt formelark som følger med oppgavesettet. Formlene for konstant akselerasjon står på det arket. Poengene ligger derfor ikke i å huske dem, men i å vite når de gjelder — og å begrunne valget.

Prioritet: dette bør sitte. Kapitlet er kort, men alt som kommer senere hviler på det.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette er bokas første fysikkapittel, så du trenger ikke noe fra tidligere kapitler her. Det du derimot bør ha friskt fra matematikken, er to sammenhenger:

1. Den deriverte som momentan endringsrate. For en funksjon $f(t)$ er

$f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$

altså grenseverdien av gjennomsnittlig endring per tidsenhet når tidsintervallet krymper mot null. Repetisjon: Derivasjonens definisjon og Derivasjon av vektorfunksjoner.

2. Det bestemte integralet som areal under en graf. For en fartsfunksjon gjelder

$\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = x(t_2) - x(t_1)$

— arealet under $v(t)$ -grafen mellom to tidspunkt er forflytningen i det intervallet, med fortegn. Repetisjon: Bestemt integral som grenseverdi og Analysens fundamentalsetning.

I tillegg forutsetter vi at du kan splitte en vektor i komponenter langs to akser — se Hastighet og akselerasjon og Vektorer og komponenter. Har du hatt Fysikk 1 på videregående, har du møtt mye av dette før; her strammer vi det opp til universitetsnotasjon.

Notasjonsavtale for hele kapitlet: posisjon, hastighet og akselerasjon er vektorer og skrives med fet skrift ( $\mathbf{r}$ , $\mathbf{v}$ , $\mathbf{a}$ ). Skriver vi det samme symbolet kursivt og uten fet skrift ( $x$ , $v$ , $a$ ), mener vi komponenten langs én akse — et tall som kan være negativt. I rettlinjet bevegelse holder det med komponentene, og da dropper vi den fete skriften. Vi bruker $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ gjennom hele boka.

Løkke 1 — posisjon, fart og akselerasjon (~15 min)

Du sitter på T-banen. Toget setter i gang, og du kjenner ryggen presses mot setet. Etter noen sekunder slutter presset — ikke fordi toget står stille, men fordi det har sluttet å øke farten. Kroppen din merker akselerasjon, ikke fart.

Det er hele poenget med kinematikken: fart og akselerasjon er to helt forskjellige størrelser, og de henger sammen på nøyaktig samme måte som fart og posisjon gjør. Vi bygger derfor de tre begrepene i rekkefølge.

Posisjon og posisjonsvektor

\mathbf{r}(t) = x(t)\,\hat{\mathbf{i}} + y(t)\,\hat{\mathbf{j}}

Forflytning og veistrekning

\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(t_2) - \mathbf{r}(t_1)

Gjennomsnittsfart

\mathbf{v}_{\text{gj}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}

Fra gjennomsnitt til øyeblikk

Gjennomsnittsfarten er grovkornet. Vil du vite hvor fort du kjørte akkurat da du passerte fotoboksen, må intervallet krympe.

Steg 1. Regn gjennomsnittsfarten over et kort intervall $\Delta t$ som starter i $t$ :

$v_{\text{gj}} = \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$

Intuisjon: dette er stigningstallet til den rette linja mellom to punkter på $x(t)$ -grafen — en sekant.

Steg 2. La $\Delta t \to 0$ :

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$

Intuisjon: sekanten glir over i tangenten. Momentanfarten er stigningstallet til tangenten i $x(t)$ -grafen — dette er hele grunnen til at grafavlesning gir poeng på midtveis.

Steg 3. Gjør nøyaktig det samme med farten i stedet for posisjonen, og du får akselerasjonen. Kinematikken har altså bare ett grep, brukt to ganger.

Momentanfart (hastighet)

\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt}

Akselerasjon

\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}

✏️Eksempel 1: Fra posisjonsuttrykk til fart og akselerasjon

En tralle beveger seg langs en rett skinne. Posisjonen langs skinna er

$x(t) = 2{,}0\ \text{m} + \left(4{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right) t - \left(0{,}50\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right) t^2$

a) Finn $v(t)$ og $a(t)$ .

b) Når snur trallen, og hvor langt fra origo er den da?

c) Hvor er trallen ved $t = 6{,}0\ \text{s}$ , og hvilken vei beveger den seg?

Metodevalg først: oppgaven gir posisjonen som funksjon av tiden, og fart og akselerasjon er per definisjon den første og andre deriverte av posisjonen. Vi trenger altså ingen bevegelseslikning — bare derivasjon.

a) Deriverer vi ledd for ledd:

$v(t) = \frac{dx}{dt} = 4{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} - \left(1{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right) t, \qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = -1{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Akselerasjonen er altså konstant, $1{,}0\ \text{m/s}^2$ rettet i negativ $x$ -retning.

Benevningskontroll: koeffisienten foran $t^2$ har enhet $\text{m/s}^2$ ; ganget med $t^2$ (enhet $\text{s}^2$ ) gir det meter. Det stemmer, og den samme kontrollen bekrefter at $v$ får $\text{m/s}$ og $a$ får $\text{m/s}^2$ .

b) Trallen snur i det øyeblikket hastigheten skifter fortegn, altså der $v = 0$ :

$4{,}0 - 1{,}0\,t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 4{,}0\ \text{s}$

$x(4{,}0\ \text{s}) = 2{,}0 + 4{,}0 \cdot 4{,}0 - 0{,}50 \cdot 4{,}0^2 = 10{,}0\ \text{m}$

Trallen snur $10{,}0\ \text{m}$ fra origo, $4{,}0\ \text{s}$ etter start.

c) Ved $t = 6{,}0\ \text{s}$ :

$x = 2{,}0 + 24{,}0 - 18{,}0 = 8{,}0\ \text{m}, \qquad v = 4{,}0 - 6{,}0 = -2{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

Trallen er $8{,}0\ \text{m}$ fra origo og beveger seg med farten $2{,}0\ \text{m/s}$ i negativ $x$ -retning — altså tilbake mot startpunktet. Retningen er en del av svaret, ikke en ekstraopplysning.

Legg merke til at akselerasjonen er den samme hele veien ( $-1{,}0\ \text{m/s}^2$ ), selv i det øyeblikket farten er null. Fart null betyr ikke akselerasjon null.

📝Oppgave 1

Forklar med dine egne ord, i to–tre setninger hver:

a) forskjellen på forflytning og veistrekning,

b) hvorfor et legeme kan ha akselerasjon ulik null i et øyeblikk der farten er null.

📝Oppgave 2

En heis starter i første etasje og beveger seg langs en loddrett

y

-akse med positiv retning oppover. Posisjonen er

$y(t) = \left(1{,}2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)t^2 - \left(0{,}080\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^3}\right)t^3$

for $0 \le t \le 10\ \text{s}$ .

a) Finn $v(t)$ og $a(t)$ .

b) Når er heisens fart størst, og hvor stor er den da?

c) Hva er akselerasjonen i det øyeblikket, og hva merker en passasjer akkurat da?

Løkke 2 — den andre veien: fra akselerasjon til fart og posisjon (~15 min)

I en typisk eksamensoppgave går det motsatt vei av det vi nettopp gjorde. Du finner først akselerasjonen — den kommer ut av kreftene, via Newtons 2. lov — og skal så finne farten og strekningen. Det betyr integrasjon, den motsatte operasjonen av derivasjon.

Areal under fartsgrafen

x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt

📜Bevegelseslikningene for konstant akselerasjon

Er akselerasjonen konstant i hele tidsrommet du regner på, gjelder disse tre (de står på formelarket du får utdelt):

$v = v_0 + a t$
$x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$
$v^2 - v_0^2 = 2a\,(x - x_0)$

Her er $x_0$ og $v_0$ posisjonen og farten ved $t = 0$ — initialbetingelsene. Den siste likningen er tidløs og er den raskeste når oppgaven verken gir eller spør etter tiden.

Gyldighetsbetingelsen er alt: likningene gjelder bare når $a$ er konstant. Varierer akselerasjonen — luftmotstand, en fjær, en kraft som avhenger av posisjonen — er de feil, og å bruke dem der gir null uttelling uansett hvor pent regnestykket ser ut. Da må du integrere selv eller regne numerisk.

Utledningen du skal kunne gjøre selv

Formlene står på arket, men sensor kan be deg utlede dem — og utledningen er tre linjer.

Steg 1. Start med definisjonen $a = dv/dt$ og integrer fra $0$ til $t$ med $a$ konstant:

$\int_{v_0}^{v} dv' = \int_0^t a\,dt' \quad \Rightarrow \quad v - v_0 = a t$

Intuisjon: når fartsendringen per sekund er den samme hele veien, blir samlet fartsendring rett og slett «endring per sekund ganger antall sekunder».

Steg 2. Sett inn $v = dx/dt$ og integrer én gang til:

$x - x_0 = \int_0^t (v_0 + a t')\,dt' = v_0 t + \tfrac12 a t^2$

Intuisjon: arealet under en rett fartsgraf er et rektangel ( $v_0 t$ ) pluss en trekant ( $\tfrac12 \cdot t \cdot at$ ). Det er hele formelen, tegnet.

Steg 3. Eliminér $t$ ved å sette $t = (v - v_0)/a$ inn i uttrykket for $x$ . Etter litt algebra sitter du igjen med $v^2 - v_0^2 = 2a(x-x_0)$ .

Intuisjon: denne varianten er den du griper etter når oppgaven snakker om strekning og fart, men aldri nevner tid.

✏️Eksempel 2: Bremselengde

En bil kjører i $90\ \text{km/h}$ når føreren bremser hardt. Bremsene gir en konstant retardasjon på $6{,}0\ \text{m/s}^2$ helt til bilen står stille.

a) Hvor lang tid tar innbremsingen?

b) Hvor langt kjører bilen i løpet av innbremsingen?

c) Hvor mye lengre blir bremselengden dersom farten i stedet var $110\ \text{km/h}$ ?

Metodevalg først: akselerasjonen er oppgitt som konstant gjennom hele innbremsingen, så bevegelseslikningene for konstant akselerasjon gjelder — det er nettopp betingelsen de krever. Vi legger

x

-aksen langs kjøreretningen, med positiv retning framover. Da er

v_0 = +25\ \text{m/s}

a = -6{,}0\ \text{m/s}^2

Først enhetene: $90\ \text{km/h} = 90/3{,}6 = 25{,}0\ \text{m/s}$ .

a) Fra $v = v_0 + at$ med $v = 0$ :

$t = \frac{-v_0}{a} = \frac{-25{,}0}{-6{,}0} = 4{,}17\ \text{s} \approx 4{,}2\ \text{s}$

b) Her er tiden allerede kjent, men den tidløse likningen er raskere og unngår at en avrundingsfeil i $t$ forplanter seg:

$v^2 - v_0^2 = 2a\,\Delta x \quad \Rightarrow \quad \Delta x = \frac{0 - (25{,}0)^2}{2 \cdot (-6{,}0)} = 52{,}1\ \text{m} \approx 52\ \text{m}$

Kontroll med den andre metoden: $\Delta x = v_0 t + \tfrac12 a t^2 = 25{,}0 \cdot 4{,}17 - 3{,}0 \cdot 4{,}17^2 = 104{,}2 - 52{,}1 = 52{,}1\ \text{m}$ . Begge metodene er fullt gyldige; den tidløse er raskest under tidspress, og det er den du bør gripe til når tiden ikke er etterspurt.

c) $110\ \text{km/h} = 30{,}6\ \text{m/s}$ , som gir

$\Delta x = \frac{(30{,}6)^2}{2 \cdot 6{,}0} = 77{,}8\ \text{m} \approx 78\ \text{m}$

Bremselengden øker altså med $26\ \text{m}$ — nesten femti prosent — for en fartsøkning på drøyt tjue prosent. Grunnen er at $\Delta x$ går som $v_0^2$ : dobler du farten, firedobler du bremselengden. Det er dette kvadratet som ligger bak alle fartsgrensekampanjer.

Benevningskontroll: $(\text{m/s})^2 / (\text{m/s}^2) = \text{m}$ . Riktig enhet.

Typiske feil

Å bruke formlene for konstant akselerasjon der akselerasjonen ikke er konstant. Dette er den dyreste feilen i kapitlet, og den er lett å gjøre fordi formlene er så tilgjengelige på formelarket. Så snart oppgaven nevner luftmotstand, en fjær, en kraft som avhenger av farten eller posisjonen — eller så snart

a(t)

-grafen ikke er en vannrett linje — er

x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2

ugyldig. Da må du integrere selv, eller regne numerisk (det kommer i delen om numerisk modellering med Python).

Å forveksle stigningstall og areal i en graf. I en $v(t)$ -graf er stigningstallet akselerasjonen og arealet forflytningen. Å lese av «høyden» i grafen og kalle den akselerasjon er en klassisk midtveisfelle.

Å glemme fortegnet. Retardasjon er ikke en egen størrelse — det er akselerasjon med motsatt fortegn av farten. Velg positiv retning én gang, skriv den ned, og hold deg til den. Et tallsvar for fart eller akselerasjon uten retning er ufullstendig og koster typisk 2 poeng (dette er felle #9 — manglende retning på en vektorstørrelse, som har sitt eget punkt i feilregisteret i bokas Del 0).

Å svare med et tall uten begrunnelse. Hvert sett har setningen «Husk at alle svar må begrunnes!» i hodet. Et riktig tall uten en setning om hvilket prinsipp du brukte, gir liten uttelling (felle #1). En formel du skriver opp uten å bruke den, gir null.

📝Oppgave 3

En sykkel triller fra ro nedover en jevn bakke med konstant akselerasjon $1{,}5\ \text{m/s}^2$ .

a) Hvor fort går sykkelen etter $8{,}0\ \text{s}$ ?

b) Hvor langt har den kommet da?

c) Hvilken av de tre bevegelseslikningene ville du brukt om oppgaven i stedet ga strekningen og spurte etter sluttfarten, og hvorfor?

📝Oppgave 4

En stein slippes fra hvile fra toppen av en bygning og bruker $2{,}8\ \text{s}$ på å nå bakken. Se bort fra luftmotstand, og bruk $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

a) Hvor høy er bygningen?

b) Hvor stor er farten idet steinen treffer bakken? Oppgi retning.

c) En medstudent hevder at hvis steinen hadde dobbelt så stor masse, ville den brukt halve tiden. Er det riktig? Begrunn.

Løkke 3 — les bevegelsen ut av grafene (~15 min)

På midtveiseksamen får du sjelden et pent formeluttrykk. Du får en graf, og skal svare raskt. Da er det to avlesninger som gjelder, og de er verdt å automatisere:

- stigningstallet i en graf er den deriverte — stigningstall i $x(t)$ er farten, stigningstall i $v(t)$ er akselerasjonen;
- arealet under en graf er integralet — areal under $v(t)$ er forflytningen, areal under $a(t)$ er fartsendringen.

Figuren under viser samme bevegelse tegnet på tre måter. Studer den til du ser koblingene.

✏️Eksempel 3: Full graftolkning (eksamensnivå)

En trikk kjører rett fram. Fart–tid-grafen i figuren over gjelder: farten vokser jevnt fra $0$ til $12\ \text{m/s}$ i løpet av de første $4{,}0\ \text{s}$ , holder seg konstant på $12\ \text{m/s}$ fram til $t = 10{,}0\ \text{s}$ , og avtar deretter jevnt til null ved $t = 13{,}0\ \text{s}$ .

a) Finn akselerasjonen i hver av de tre fasene.

b) Hvor langt kjører trikken i alt?

c) I hvilket øyeblikk er akselerasjonens tallverdi størst, og hva merker de stående passasjerene da?

d) Kan hele bevegelsen beskrives med formelen $x = \tfrac12 a t^2$ ? Begrunn.

Metodevalg først: grafen er stykkevis rett, så akselerasjonen er konstant innenfor hver fase — men forskjellig fra fase til fase. Vi leser derfor av stigningstall fasevis, og finner strekningen som arealet under grafen.

a) Stigningstall i $v(t)$ :

$a_1 = \frac{12{,}0 - 0}{4{,}0 - 0} = 3{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \quad (\text{i kjøreretningen})$
$a_2 = 0 \quad (\text{konstant fart})$
$a_3 = \frac{0 - 12{,}0}{13{,}0 - 10{,}0} = -4{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \quad (\text{mot kjøreretningen})$

b) Arealet under grafen, stykke for stykke:

$\text{trekant} = \tfrac12 \cdot 4{,}0 \cdot 12{,}0 = 24{,}0\ \text{m}$
$\text{rektangel} = 6{,}0 \cdot 12{,}0 = 72{,}0\ \text{m}$
$\text{trekant} = \tfrac12 \cdot 3{,}0 \cdot 12{,}0 = 18{,}0\ \text{m}$

Til sammen $114\ \text{m}$ . Siden farten aldri er negativ, er forflytning og veistrekning her den samme.

c) Størst tallverdi har akselerasjonen i siste fase, $4{,}0\ \text{m/s}^2$ rettet bakover i forhold til kjøreretningen. Passasjerene kastes framover — kroppen fortsetter med den farten den hadde, mens trikken bremser under føttene deres. Det er også her de fleste holder seg fast.

d) Nei. $x = \tfrac12 a t^2$ forutsetter at akselerasjonen er den samme hele tiden og at $v_0 = 0$ . Her endrer $a$ seg to ganger. Formelen er riktig for den første fasen ( $0 \le t \le 4{,}0\ \text{s}$ ), men brukt på hele intervallet gir den galt svar. Vil du regne uten graf, må du dele opp i tre faser og bruke sluttilstanden i den ene som starttilstand i den neste.

📝Oppgave 5

Bruk fart–tid-grafen over. Den viser en tralle som beveger seg langs en rett skinne; positiv fart betyr mot høyre.

a) Finn akselerasjonen i hver av de tre fasene.

b) Når snur trallen?

c) Finn forflytningen fra $t = 0$ til $t = 8{,}0\ \text{s}$ .

d) Finn veistrekningen i samme tidsrom, og forklar hvorfor de to svarene er forskjellige.

📝Oppgave 6

(Kvalitativ oppgave — «forklar/begrunn»-typen som det er minst én av i hvert eksamenssett.) Fire påstander om grafer for rettlinjet bevegelse. Avgjør for hver om den beskriver en mulig eller en umulig bevegelse, og begrunn hver i én til to setninger.

a) En $x(t)$ -graf som går rett opp (loddrett) i et punkt.

b) En $v(t)$ -graf som har en skarp knekk.

c) En $x(t)$ -graf med en skarp knekk.

d) En $v(t)$ -graf som er positiv mens $a(t)$ er negativ i samme øyeblikk.

Løkke 4 — når banen krummer (~10 min)

Alt vi har gjort så langt, gjelder bevegelse langs en rett linje. Krummer banen, er det praktisk å splitte akselerasjonen i to retninger som følger banen selv i stedet for faste akser. Denne oppdelingen står på formelarket, og du får bruk for den når vi kommer til sirkelbevegelse.

Baneakselerasjonens to komponenter

\mathbf{a} = \dot{v}\,\hat{\mathbf{u}}_T + \frac{v^2}{\rho}\,\hat{\mathbf{u}}_N

Normalakselerasjon og krumningsradius

a_N = v^2/\rho

📝Oppgave 7

En bil kjører gjennom en sving med krumningsradius $\rho = 45\ \text{m}$ .

a) Bilen holder konstant speedometeravlesning $54\ \text{km/h}$ gjennom hele svingen. Hva er akselerasjonen — i tallverdi og retning?

b) Sjåføren bremser samtidig med $2{,}0\ \text{m/s}^2$ langs banen. Hvor stor blir den samlede akselerasjonen i det øyeblikket farten er $54\ \text{km/h}$ ?

c) Forklar i én setning hvorfor svaret i a) ikke er null, selv om «farten er konstant».

📝Oppgave 8

Eksamensnivå

En heis i et høyhus starter fra ro i første etasje og skal opp. Bevegelsen har tre faser: den akselererer jevnt opp til $4{,}0\ \text{m/s}$ på $2{,}5\ \text{s}$ , holder deretter denne farten, og bremser til slutt jevnt til null på $2{,}0\ \text{s}$ . Hele turen tar $18{,}0\ \text{s}$ .

a) Finn akselerasjonen i første og siste fase.

b) Hvor langt kjører heisen i alt? Oppgi svaret med to gjeldende siffer.

c) Etasjehøyden er $3{,}2\ \text{m}$ . Hvor mange etasjer kom heisen opp?

d) Skisser $a(t)$ for hele turen, og forklar hva en passasjer kjenner ved $t = 2{,}5\ \text{s}$ og ved $t = 16{,}0\ \text{s}$ .

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Kinematikk

Kinematikk er læren om hvordan legemer beveger seg — posisjon, fart og akselerasjon som funksjoner av tiden — uten å spørre hvorfor. Årsakene, altså kreftene, hører til dynamikken, som er temaet i delen om Newtons lover. Skillet er nyttig i praksis: en kinematikkoppgave kan løses uten å vite noe som helst om massene eller kreftene.

Referansesystem og positiv retning

200\ \text{km/h}

Rettlinjet bevegelse

x

Gjennomsnittsakselerasjon

\mathbf{a}_{\text{gj}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{\mathbf{v}(t_2) - \mathbf{v}(t_1)}{t_2 - t_1}

Middelverdiformelen for konstant akselerasjon

v_{\text{gj}} = \frac{v_0 + v}{2} \qquad \Rightarrow \qquad \Delta x = \frac{v_0 + v}{2}\,t

Initialbetingelser

x_0

Vendepunkt i bevegelsen

x(t)

Fritt fall

g = 9{,}81\ \text{m/s}^2

Banefart

|\mathbf{v}|

Stigningstall i en bevegelsesgraf

x(t)

Retardasjon

a

Fartsendring som areal under akselerasjonsgrafen

v(t)

Benevningskontroll

v^2 = 2a\Delta x

Punktmasse

Modellen der hele legemet erstattes av ett eneste punkt med all massen samlet. Den er gyldig så lenge legemets utstrekning og eventuelle rotasjon ikke spiller noen rolle for spørsmålet — en bil på en motorvei kan trygt behandles som et punkt, en bil som velter kan ikke. All kinematikk i dette kapitlet er punktmassekinematikk. Når utstrekningen først betyr noe, trenger vi begrepene massesenter og treghetsmoment, som kommer i delene om bevegelsesmengde og rotasjon.

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.