10.1 Tidsdilatasjon, lengdekontraksjon og hastighetsaddisjon

Regneoppgaven i SR — `γ`, `Δt = γΔt₀`, `l = l₀/γ`, hastighetsaddisjon — med disiplin på egentid/egenlengde og romtidsdiagram.

70 min

15 oppgaver

Tidsdilatasjonlengdekontraksjonhastighetsaddisjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Kinematikk: posisjon, fart og akselerasjon

Brukes videre i

10.2Relativitetsparadokser og samtidighet

Sjanger I — spesiell relativitet, altså oppgaver om hvordan tid, lengde og fart ser ut for observatører som beveger seg i forhold til hverandre, står i 6 av 7 sett (86 %). Bare H2024 mangler den. Det gjør dette til bokas nest hyppigste tema etter de fire 100 %-søylene.

Og nå det viktigste, som få får sagt tydelig nok: relativitetsoppgaven er nesten alltid den SISTE oppgaven på settet. I grunnmalen som moderne sett følger, er den oppgave 4 av 5 — «O4», altså oppgave fire i grunnmalen. Konsekvensen er praktisk og brutal: mange kandidater rekker aldri fram til den, ikke fordi de ikke kan stoffet, men fordi de har brukt opp tida på oppgave 1 og 2.

Dette er det billigste rådet i hele boka: når du åpner settet, bla bakover og les relativitetsoppgaven først. Deloppgave a) der er nesten alltid en ren $\gamma$ -utregning eller en «hvem måler egentida»-vurdering, og den tar tre minutter. Alle deloppgaver teller likt, med inntil 5 poeng hver, så tre minutter på siste oppgave er verdt like mye som tjue minutter på den første.

Slik ligger poengene i regnevarianten:

Steg	Hva sensor ser etter
Å identifisere egentida — tida målt av en klokke som er til stede ved BEGGE hendelsene	hvilken klokke måler hva, i hvilket system — dette er den hyppigste feilen i hele delen
Riktig $\gamma$ med riktig fart	tallet skal ha 3–4 siffer, fordi svaret er følsomt
Riktig retning på faktoren	tida blir lengre, lengden blir kortere
Bevegelsesligninger med $\gamma$	uten Lorentz-faktoren gir regnedelen 0 poeng

Å bytte om egentid og observert tid, eller $l$ og $l_0$ , er felle #10 og koster typisk 2 poeng. Feilene har et samlet register i bokas kap. 0.1.
Formelarket redder deg på formlene, ikke på forståelsen. Hele relativitetsblokka — Lorentz-transformasjonen, hastighetstransformasjonen,

\Delta t = \gamma\Delta t_0

l = l_0/\gamma

\gamma

selv — står på det utdelte formelarket. Du skal derfor aldri pugge dem. Det du må trene, er å velge riktig formel, sette riktig størrelse inn i riktig plass, og begrunne valget.
Relativitet er IKKE med på midtveiseksamen. Midtveis (ren flervalg, 3 timer, teller 20 %) dekker Del 1–7 og Del 9. Dette stoffet møter du bare på den avsluttende skoleeksamenen, som teller 80 %.
Prioritet: bør sitte. Med 86 % belegg er dette temaet som oftest avgjør forskjellen mellom C og B.
Tidsbruk: ~70 minutter lesing, delt i sju korte løkker med tidsanslag underveis. Kap. 10.2 tar den konseptuelle varianten — paradoksene — og bygger rett på dette kapitlet.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet trenger overraskende lite fra resten av boka. Til gjengjeld trenger det det som er der, presist.

Fra kap. 2.1 — kinematikk. Bare den enkleste sammenhengen, men den brukes hele veien:

$s = vt \qquad \text{for konstant fart}$

Poenget i relativitet er at $s$ og $t$ er forskjellige tall for forskjellige observatører, mens $v$ ofte er den samme. Å holde styr på hvilket system hvert tall hører hjemme i, er hele kunsten.

Fra kap. 1.2 — Taylor. To ting derfra brukes direkte her. Først de to størrelsene som allerede er innført:

$\beta = \frac{v}{c}, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$

og dernest binomialtilnærmingen, som er verktøyet for å vise at relativitetsteorien inneholder den klassiske mekanikken som grensetilfelle:

$(1+x)^n \approx 1 + nx \quad \text{for } |x| \ll 1$

Det er denne som gir $\gamma \approx 1 + \tfrac12\beta^2$ for små farter, og dermed $K = (\gamma-1)mc^2 \approx \tfrac12 mv^2$ . Vi tar den opp igjen i løkke 7.

Fra videregående. Har du hatt Fysikk 2, har du sett postulatene, tidsdilatasjonen og lengdekontraksjonen før: Spesiell relativitetsteori – postulater, Tidsdilatasjon, Lengdekontraksjon og Relativistisk energi og masse. Har du ikke hatt det, bygger vi opp alt fra bunnen her — du trenger ingen forkunnskaper utover algebra.

Notasjonsavtale for kapitlet — les denne, den er der poengene ryker.

- Egentida skrives $\Delta t_0$ , og der det er praktisk med ett symbol, $\tau$ (den greske bokstaven tau). De to betyr nøyaktig det samme i denne boka.
- Egenlengda skrives $l_0$ . Den observerte lengden skrives $l$ , og den observerte tida $\Delta t$ .
- Symbolet $T$ er i denne boka snordrag og brukes ikke om tid her. Trenger vi en periode, skriver vi $T_p$ .
- Vi bruker $c = 3{,}00\cdot10^{8}\,\text{m/s}$ gjennomgående. Der en oppgave krever flere siffer, står det i oppgaveteksten.
- Farten til et system i forhold til et annet skrives $u$ ; farten til et legeme innenfor et system skrives $v$ . Skillet blir viktig i løkke 5.

Løkke 1 — postulatene og Lorentz-faktoren (~10 min)

GPS-mottakeren i telefonen din bestemmer posisjonen ved å måle hvor lang tid signalene fra satellittene har brukt. En feil på ett mikrosekund gir en posisjonsfeil på $300\,\text{m}$ . Satellittene farer rundt jorda med nesten $4\,\text{km/s}$ , og klokkene deres går derfor langsommere enn klokkene på bakken — med omtrent $7\,\text{mikrosekunder i døgnet}$ fra fartseffekten alene.

Uten korreksjon ville systemet drevet ut av kurs på timer. Relativitetsteori er ikke eksotisk; den er innebygd i infrastruktur du bruker daglig.

(GPS har i tillegg en effekt fra at tyngdefeltet er svakere i banehøyden. Den hører til den generelle relativitetsteorien og er utenfor det FYS1100 tester — vi holder oss til fartseffekten her.)

Inertialsystem

Et inertialsystem er et referansesystem der Newtons 1. lov gjelder: et legeme uten resultantkraft beveger seg med konstant fart i rett linje. I praksis: et laboratorium som står stille eller beveger seg med konstant hastighet, ikke et som akselererer eller roterer. Et romskip med motoren av er et inertialsystem; et romskip som bremser, er det ikke. Hele den spesielle relativitetsteorien handler om inertialsystemer. Det er derfor den heter «spesiell» — den er begrenset til det spesialtilfellet at systemene ikke akselererer. Denne begrensningen er ikke pirk: den er nøkkelen til tvillingparadokset i kap. 10.2, der den ene tvillingen nettopp må akselerere.

Einsteins to postulater

c

Hastighetsforholdet

\beta

\beta = \frac{v}{c}, \qquad c = 3{,}00\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Lorentz-faktoren

\gamma

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

$\beta$	0,10	0,50	0,80	0,90	0,99	0,995
$\gamma$	1,0050	1,1547	1,6667	2,2942	7,0888	10,013

✏️Eksempel 1: Å bli kjent med $\gamma$

a) Regn ut

\gamma

for

v = 0{,}600c

og for

v = 0{,}900c

b) En GPS-satellitt går med $3{,}87\,\text{km/s}$ . Regn ut $\gamma - 1$ , og finn hvor mye klokka om bord sakker per døgn.

c) Hvilken fart svarer til $\gamma = 4{,}00$ ?

$\gamma(0{,}600) = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}600^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}640}} = \frac{1}{0{,}8000} = 1{,}250$

$\gamma(0{,}900) = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}810}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}190}} = \frac{1}{0{,}4359} = 2{,}294$

b) Her er $\beta$ bitteliten, og kalkulatoren mister sifrene hvis du regner $\gamma$ direkte og trekker fra 1. Bruk i stedet binomialtilnærmingen fra kap. 1.2:

$\gamma = (1-\beta^2)^{-1/2} \approx 1 + \tfrac12\beta^2 \quad \Longrightarrow \quad \gamma - 1 \approx \tfrac12\beta^2$

$\beta = \frac{3{,}87\cdot10^{3}}{3{,}00\cdot10^{8}} = 1{,}29\cdot10^{-5}, \qquad \gamma - 1 \approx \tfrac12(1{,}29\cdot10^{-5})^2 = 8{,}32\cdot10^{-11}$

Per døgn på $8{,}64\cdot10^{4}\,\text{s}$ blir etterslepet

$\Delta = (\gamma-1)\cdot8{,}64\cdot10^{4} = 8{,}32\cdot10^{-11}\cdot8{,}64\cdot10^{4} = 7{,}19\cdot10^{-6}\,\text{s} \approx 7{,}2\ \mu\text{s}$

Det tilsvarer en posisjonsfeil på over to kilometer i døgnet hvis den ikke korrigeres.

Merk hvorfor tilnærmingen var nødvendig, ikke bare bekvem: $\gamma$ er her $1{,}0000000000833$ , og en vanlig kalkulator som viser ti siffer, ville rundet det av til nøyaktig 1. Taylor-utviklingen er den eneste veien til svaret.

c) Vi løser baklengs:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad \Longrightarrow \quad \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{16{,}0}} = \sqrt{0{,}9375} = 0{,}9682$

altså $v = 0{,}968c = 2{,}90\cdot10^{8}\,\text{m/s}$ . Legg merke til at det skal svært mye til for å få $\gamma$ opp: å firedoble den fra 1 krever $97\ \%$ av lysfarten.

📝Oppgave 1

(Innsteg.)

a) Regn ut $\gamma$ for $v = 0{,}500c$ og $v = 0{,}800c$ .

b) Forklar med egne ord, i to–tre setninger, hva Lorentz-faktoren måler.

c) Et fly flyr med $250\,\text{m/s}$ . Hvor mye er $\gamma - 1$ ? Kommentér svaret.

Løkke 2 — hendelser, egentid og tidsdilatasjon (~15 min)

Dette er kapitlets kjerne, og det er her poengene ryker. Det tekniske er lett: én formel med én faktor. Det vanskelige er å avgjøre hvilken av de to tidene i oppgaven som er egentida.

Bruk tre minutter ekstra på denne løkka. Den betaler seg på hvert eneste sett.

Hendelse

(x, y, z, t)

Egentid

\Delta t_0

📜Tidsdilatasjon

Er egentida mellom to hendelser

\Delta t_0

, måler en observatør som ser klokka bevege seg med farten

v

tida

$\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 \ \ (\ge \Delta t_0)$

I ord: en klokke i bevegelse går langsomt. Uttrykket står på formelarket.

Utledningen med lysklokka er verdt de fem minuttene, fordi den viser at resultatet følger av postulat 2 alene. Tenk deg en klokke som består av to speil i avstanden $L$ , med en lyspuls som spretter mellom dem. Ett «tikk» er én tur opp og ned.

I klokkas eget hvilesystem går lyset rett opp og rett ned, en strekning $2L$ :

$\Delta t_0 = \frac{2L}{c}$

Intuisjon: dette er en helt vanlig $s = vt$ -regning. Ingen relativitet ennå.

I laboratoriets system beveger klokka seg sidelengs med farten $v$ mens lyset er underveis. Lyset må derfor gå en skrå vei, og de to skrå strekningene er lengre enn $2L$ . Men — og dette er postulat 2 — lyset går fortsatt med nøyaktig $c$ . Halve turen danner en rettvinklet trekant med katetene $L$ og $v\Delta t/2$ og hypotenusen $c\Delta t/2$ :

$\left(\frac{c\,\Delta t}{2}\right)^2 = L^2 + \left(\frac{v\,\Delta t}{2}\right)^2$

Intuisjon: hadde lyset fått legge til klokkas fart, ville hypotenusen vært lengre uten at det kostet tid. Det er nettopp det postulatet forbyr, og derfor må tida strekke seg i stedet.

Løs for $\Delta t$ :

$\frac{c^2\Delta t^2 - v^2\Delta t^2}{4} = L^2 \quad \Longrightarrow \quad \Delta t^2\,(c^2 - v^2) = 4L^2 \quad \Longrightarrow \quad \Delta t = \frac{2L}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Intuisjon: faktoren $\sqrt{1-v^2/c^2}$ dukker opp helt av seg selv fra Pytagoras. Den er ikke postulert; den er regnet fram.

$\Delta t = \gamma\cdot\frac{2L}{c} = \gamma\,\Delta t_0$

Intuisjon: argumentet brukte bare at lyset går like fort i begge systemer. Det er grunnen til at resultatet gjelder alle klokker — hadde en mekanisk klokke gått annerledes enn lysklokka ved siden av, kunne du brukt forskjellen til å måle din egen absolutte fart, og det forbyr postulat 1.

✏️Eksempel 2: En prosess om bord i et romskip

Et romskip passerer en romstasjon med farten $v = 0{,}800c$ . Om bord i skipet tar en kjemisk prosess $\tau = 12{,}0$ minutter, målt av klokka på veggen ved siden av reaktoren.

a) Hvilket system måler egentida? Begrunn.

b) Hvor lenge varer prosessen målt fra romstasjonen?

c) Mannskapet påstår at det er stasjonens klokker som går langsomt. Har de rett?

a) Egentida måles om bord i skipet. Begrunnelsen: de to hendelsene er «prosessen starter» og «prosessen slutter», og begge skjer ved reaktoren — altså på samme sted i skipets system. Klokka på veggen er til stede ved begge, og det er definisjonen på egentid. I stasjonens system har skipet flyttet seg mellom de to hendelsene, så de skjer på to ulike steder der, og stasjonen kan derfor ikke måle egentid.

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}800^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}360}} = \frac{1}{0{,}6000} = 1{,}667$

$\Delta t = \gamma\,\tau = 1{,}667\cdot12{,}0 = 20{,}0\ \text{minutter}$

Retningskontroll: svaret er lengre enn egentida, som det skal være — en klokke i bevegelse går langsomt, så det tar lengre tid målt utenfra. Hadde du fått $7{,}2$ minutter, hadde du delt i stedet for å gange, og det er felle #10 (byttet egentid og observert tid), som typisk koster 2 poeng.

c) Ja, de har rett — og det er ingen selvmotsigelse. Situasjonen er fullstendig symmetrisk så lenge begge systemene er inertialsystemer: sett fra skipet er det stasjonen som farer forbi med $0{,}800c$ , og en prosess som varer 12,0 minutter målt på stasjonen (der den skjer på samme sted) varer 20,0 minutter målt om bord.

Grunnen til at dette ikke er en motsigelse, er at de to påstandene handler om forskjellige par av hendelser, og at «samtidig» ikke betyr det samme i de to systemene. Den fulle oppløsningen krever samtidighetens relativitet, og den tar vi i kap. 10.2.

Typiske feil

Felle #10 — byttet egentid og observert tid, eller $l$ og $l_0$ — koster typisk 2 poeng og er den hyppigste feilen i hele delen. Slik unngår du den:

1. Skriv ned de to hendelsene før du regner. Bokstavelig talt, med ord: «hendelse A: partikkelen dannes. Hendelse B: partikkelen henfaller.» Da ser du med én gang hvilke systemer som ser dem på samme sted.

2. Bruk retningskontrollen hver gang. Tida blir lengre enn egentida ( $\Delta t = \gamma\Delta t_0$ , og $\gamma \ge 1$ ). Lengden blir kortere enn egenlengda ( $l = l_0/\gamma$ ). Får du et svar som går motsatt vei, har du snudd brøken. Denne kontrollen tar tre sekunder og redder hele deloppgaven.

3. Ikke bruk klassiske bevegelsesligninger uten $\gamma$ . Å regne en relativistisk strekning som $d = v\tau$ i stedet for $d = v\gamma\tau$ gir 0 poeng på regnedelen — ikke delvis uttelling, men null. Det er den nest dyreste feilen her.

4. Ikke bruk $\gamma$ på feil størrelse. $\gamma$ hører til den relative farten mellom de to systemene, ikke til noen annen fart som måtte være nevnt i oppgaven.

5. Regn med nok siffer. For $\beta$ nær 1 er $\gamma$ ekstremt følsom: $\gamma(0{,}990) = 7{,}089$ , mens $\gamma(0{,}995) = 10{,}01$ . Runder du farten fra 0,995 til 0,99, bommer du med nesten 30 %.

📝Oppgave 2

Eksamensnivå, sjanger I

En ustabil partikkel har middellevetid $\tau = 18{,}0\,\text{ns}$ målt i sitt eget hvilesystem. I et laboratorium lages den med farten $0{,}980c$ .

a) Hvor lenge lever den, målt i laboratoriet?

b) Hvor langt rekker den i laboratoriet før den henfaller?

c) Hvor langt ville den rukket hvis relativitetsteorien ikke gjaldt? Kommentér forskjellen.

📝Oppgave 3

(Kvalitativ, sjanger J — «forklar/begrunn/kritiser»-oppgaven, som har minst én deloppgave i hvert sett.) I hvert av tilfellene under: avgjør hvilken klokke som måler egentid mellom de to hendelsene, og begrunn med testspørsmålet «skjer begge hendelsene på samme sted i dette systemet?».

a) Et tog kjører forbi en perrong. Hendelsene er «togets front passerer perrongens venstre ende» og «togets front passerer perrongens høyre ende».

b) En astronaut i et romskip sovner og våkner. Hendelsene er «sovner» og «våkner».

c) To lyn slår ned i hver sin ende av en åker, målt av en bonde som står midt imellom.

Løkke 3 — egenlengde og lengdekontraksjon (~12 min)

Hvis tida strekker seg, må noe annet krympe. Ellers ville de to observatørene vært uenige om noe man ikke kan være uenig om: hvorvidt partikkelen faktisk nådde detektoren.

Egenlengde

l_0

📜Lengdekontraksjon

Et legeme med egenlengde

l_0

som beveger seg med farten

v

langs sin egen lengderetning, måles til

$l = \frac{l_0}{\gamma} \ \ (\le l_0)$

I ord: et legeme i bevegelse er kortere. Uttrykket står på formelarket.

To presiseringer som gir poeng:

1. Kontraksjonen skjer bare langs bevegelsesretningen. Tverrmålene er upåvirket — et romskip som farer forbi, er kortere, men like tykt. (Det er nettopp derfor lysklokka i løkke 2 kunne ha samme $L$ i begge systemer: $L$ står vinkelrett på farten.)
2. Effekten er gjensidig. Hver av to observatører i relativ bevegelse måler den andres målestokk som kortere enn sin egen. Det er ikke en illusjon og ikke en selvmotsigelse — det er en konsekvens av at de bruker ulike samtidighetsbegreper når de leser av begge ender «samtidig».

Utledningen går enklest via tidsdilatasjonen, og den er verdt å kunne. Se på en partikkel som farer fra punkt A til punkt B i laboratoriet, der avstanden er $l_0$ (den er egenlengde fordi A og B er i ro i laboratoriet).

$\text{i laboratoriet:} \quad \Delta t = \frac{l_0}{v}$

Intuisjon: helt vanlig $s = vt$ i det systemet der avstanden er kjent.

$\text{i partikkelens system:} \quad \tau = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{l_0}{\gamma v}$

Intuisjon: partikkelen ser A og B passere seg på samme sted (der partikkelen er), så den måler egentid — den korteste tida.

I partikkelens eget system står partikkelen stille mens laboratoriet farer forbi med farten $v$ . Avstanden fra A til B, slik partikkelen måler den, er derfor

$l = v\,\tau = v\cdot\frac{l_0}{\gamma v} = \frac{l_0}{\gamma}$

Intuisjon: de to systemene er enige om farten og uenige om både tid og avstand — nøyaktig så mye at $s = vt$ går opp i begge. Det er slik teorien holder sammen.

✏️Eksempel 3 (eksamensnivå): Myoner fra atmosfæren

Myoner er ustabile partikler som dannes når kosmisk stråling treffer den øvre atmosfæren. Middellevetida deres er $\tau = 2{,}20\,\mu\text{s}$ målt i myonets hvilesystem. Et myon dannes i $6{,}5\,\text{km}$ høyde og beveger seg rett nedover med $0{,}995c$ .

a) Vis at myonet ikke ville nådd bakken hvis klassisk fysikk gjaldt.

b) Regn ut hvor langt myonet rekker, sett fra bakken.

c) Gjør den samme vurderingen i myonets eget system, og vis at de to beskrivelsene er enige.

Hendelsene: A er «myonet dannes», B er «myonet henfaller». De skjer begge der myonet er, så

2{,}20\,\mu\text{s}

er egentida.

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}995^2}} = \frac{1}{\sqrt{9{,}9750\cdot10^{-3}}} = \frac{1}{0{,}099875} = 10{,}01$

a) Klassisk ville myonet levd $2{,}20\,\mu\text{s}$ også sett fra bakken, og rukket

$d = v\tau = 0{,}995\cdot3{,}00\cdot10^{8}\cdot2{,}20\cdot10^{-6} = 657\,\text{m}$

altså bare en tiendedel av veien ned. De aller fleste myonene skulle ha rukket å henfalle høyt oppe. Men vi måler dem i store mengder ved havnivå, og det var en av de første direkte bekreftelsene på tidsdilatasjon.

b) Sett fra bakken lever myonet lenger:

$\Delta t = \gamma\tau = 10{,}01\cdot2{,}20\cdot10^{-6} = 2{,}20\cdot10^{-5}\,\text{s} = 22{,}0\,\mu\text{s}$

$d = v\,\Delta t = v\gamma\tau = 0{,}995\cdot3{,}00\cdot10^{8}\cdot2{,}203\cdot10^{-5} = 6{,}58\cdot10^{3}\,\text{m} = 6{,}58\,\text{km}$

Det er nok til å nå bakken fra $6{,}5\,\text{km}$ ✓.

— naturlig pausepunkt —

c) I myonets eget system går klokka helt normalt: myonet lever $2{,}20\,\mu\text{s}$ , verken mer eller mindre. Det er ingen tidsdilatasjon å hente, for myonet er i ro i sitt eget system.

Til gjengjeld er det atmosfæren som farer forbi med $0{,}995c$ , og avstanden ned til bakken er derfor lengdekontrahert. Avstanden $6{,}5\,\text{km}$ er egenlengde i bakkens system (den måles mellom to punkter som er i ro der), så myonet måler

$l = \frac{l_0}{\gamma} = \frac{6{,}5\cdot10^{3}}{10{,}01} = 649\,\text{m}$

Med farten $0{,}995c$ tar den strekningen

$t = \frac{l}{v} = \frac{649}{2{,}985\cdot10^{8}} = 2{,}17\cdot10^{-6}\,\text{s} = 2{,}17\,\mu\text{s}$

som er mindre enn myonets levetid på $2{,}20\,\mu\text{s}$ ✓.

Begge beskrivelsene gir samme svar på det eneste spørsmålet som betyr noe: rekker myonet ned? Ja. Men de forklarer det med hver sin effekt — bakken sier «klokka gikk sakte», myonet sier «avstanden var kort». Dette er det klareste eksemplet i hele kapitlet på at du må si hvilket system du regner i, og at du aldri skal bruke begge effektene samtidig på samme regnestykke. Det siste er en klassisk dobbelttelling som halverer svaret.

📝Oppgave 4

Et romskip har egenlengde $150\,\text{m}$ og passerer jorda med $0{,}900c$ .

a) Hvor langt er skipet målt fra jorda?

b) Hvor lang tid bruker skipet på å passere en fast markør på jorda, målt fra jorda?

c) Hvor lang tid tar den samme passeringen målt om bord i skipet? Regn den ut på to måter, og kontrollér at de stemmer overens.

📝Oppgave 5

(Kvalitativ, sjanger J.) Svar i to–fire setninger på hver.

a) En student sier: «Lengdekontraksjon er bare en optisk illusjon — stanga er jo egentlig like lang.» Hva er galt med formuleringen?

b) To romskip flyr forbi hverandre. Hver av mannskapene måler det andre skipet som kortere. Hvordan kan begge ha rett?

c) Hvorfor krymper ikke et romskip på tvers av bevegelsesretningen?

Løkke 4 — Lorentz-transformasjonen og romtidsdiagrammet (~10 min)

Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon er to spesialtilfeller. Bak dem ligger én regnemaskin som oversetter hvilken som helst hendelse fra ett inertialsystem til et annet. Den står på formelarket, og fra og med H2025 er det også bedt om at situasjonen tegnes i et romtidsdiagram.

📜Lorentz-transformasjonen

S'

bevege seg med den konstante farten

u

langs

x

-aksen i forhold til

S

, og la origo i de to systemene falle sammen ved

t = t' = 0

. En hendelse som har koordinatene

(x, t)

S

, har i

S'

koordinatene

$x' = \gamma(x - ut), \qquad t' = \gamma\!\left(t - \frac{ux}{c^2}\right)$

og veien tilbake fås ved å bytte fortegn på $u$ :

$x = \gamma(x' + ut'), \qquad t = \gamma\!\left(t' + \frac{ux'}{c^2}\right)$

Uttrykkene står på formelarket. Du skal aldri pugge dem — du skal kunne velge riktig retning på $u$ , sette inn riktige koordinater og lese svaret.

Tre observasjoner det gis poeng for å gjøre:

1. Setter du $c \to \infty$ , får du Galilei-transformasjonen $x' = x - ut$ , $t' = t$ fra kap. 2.1. Relativitetsteorien inneholder den klassiske mekanikken, den erstatter den ikke.
2. Leddet $-ux/c^2$ i tidstransformasjonen er hele hemmeligheten. Det sier at hvor en hendelse skjer, påvirker når den skjer i et annet system. To hendelser med $\Delta t = 0$ men $\Delta x \neq 0$ får $\Delta t' \neq 0$ — de er ikke lenger samtidige. Dette er samtidighetens relativitet, og den bærer hele kap. 10.2.
3. Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon følger direkte. To hendelser på samme sted i $S'$ ( $\Delta x' = 0$ ) gir $\Delta t = \gamma\Delta t'$ ; en stang i ro i $S'$ målt samtidig i $S$ ( $\Delta t = 0$ ) gir $\Delta x = \Delta x'/\gamma$ . De to formlene i løkke 2 og 3 er altså ikke selvstendige lover, men to avlesninger av den samme.

Verdenslinje

x

Samtidighetslinje

t =

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger…

To hendelser er samtidige i jordas system, og skjer i posisjonene $x_1 = 0$ og $x_2 = 900\,\text{m}$ , begge ved $t = 0$ . Et romskip passerer med $u = 0{,}600c$ i positiv $x$ -retning.

a) Bruk Lorentz-transformasjonen til å finne $t_1'$ og $t_2'$ i skipets system.

b) Hvilken hendelse skjer først i skipets system, og hvor lang tid er det mellom dem?

c) Skisser situasjonen i et romtidsdiagram med jordas akser: tegn inn de to hendelsene, jordas samtidighetslinje og skipets samtidighetslinje gjennom $E_1$ .

d) Kan den ene hendelsen ha forårsaket den andre? Begrunn.

Løkke 5 — hastighetsaddisjon (~8 min)

Et romskip går med $0{,}80c$ forbi en stasjon og skyter en sonde framover med $0{,}70c$ i forhold til seg selv. Går sonden med $1{,}50c$ sett fra stasjonen?

Nei. Og formelen som forteller hva den faktisk går med, står på formelarket.

📜Hastighetstransformasjonen

S'

bevege seg med farten

u

langs

x

-aksen i forhold til

S

. Et legeme som har farten

v

målt i

S

, har i

S'

farten

$v' = \frac{v - u}{1 - \dfrac{uv}{c^2}}$

og motsatt vei, fra $S'$ til $S$ , med fortegnet på $u$ snudd:

$v = \frac{v' + u}{1 + \dfrac{uv'}{c^2}}$

Uttrykket står på formelarket. Legg merke til at telleren er akkurat den klassiske hastighetsaddisjonen; hele relativiteten sitter i nevneren.

Intuisjon: nevneren er nesten nøyaktig 1 så lenge $uv \ll c^2$ , og da faller formelen sammen med den vanlige $v' = v - u$ du bruker når du regner om mellom en bil og et tog. Nevneren blir først merkbar når begge fartene er en betydelig del av lysfarten.

To egenskaper som er verdt poeng å nevne:

1. Resultatet overstiger aldri $c$ . Setter du $v = c$ , får du $v' = (c-u)/(1-u/c) = c$ uansett hva $u$ er. Lyset går like fort i alle systemer — formelen er bygget slik at postulat 2 er automatisk oppfylt.
2. Fortegnene er det som velter besvarelser. Bestem deg for en positiv retning, skriv ned fortegnet på $u$ og på $v$ i den retningen, og sett inn. Beveger de to seg mot hverandre, har $u$ og $v$ motsatt fortegn, og nevneren blir større enn 1.

✏️Eksempel 4: To romskip og en lysstråle

Sett fra en romstasjon beveger romskip A seg med $0{,}600c$ i positiv $x$ -retning, og romskip B med $0{,}800c$ i samme retning.

a) Hvor fort går B, målt fra A?

b) Et tredje skip C går med $0{,}800c$ i negativ $x$ -retning sett fra stasjonen. Hvor fort går C, målt fra A?

c) A sender ut en lyspuls framover. Hvor fort går den, målt fra stasjonen?

Positiv retning defineres langs $x$ -aksen, og A er systemet vi regner om til, så

u = +0{,}600c

a) Med $v = +0{,}800c$ :

$v' = \frac{0{,}800c - 0{,}600c}{1 - \dfrac{0{,}600\cdot0{,}800c^2}{c^2}} = \frac{0{,}200c}{1 - 0{,}480} = \frac{0{,}200c}{0{,}520} = 0{,}385c$

Klassisk ville svaret vært $0{,}200c$ . Nevneren gjør altså den relative farten nesten dobbelt så stor som den klassiske regningen tilsier — en påminnelse om at korreksjonen ikke alltid går i retning «mindre».

b) Nå er $v = -0{,}800c$ :

$v' = \frac{-0{,}800c - 0{,}600c}{1 - \dfrac{0{,}600\cdot(-0{,}800)c^2}{c^2}} = \frac{-1{,}400c}{1 + 0{,}480} = \frac{-1{,}400c}{1{,}480} = -0{,}946c$

altså $0{,}946c$ i negativ retning. Klassisk ville svaret vært $1{,}400c$ , som er umulig. Her ser du nevneren gjøre nøyaktig jobben sin: den holder resultatet under $c$ uansett hvor store fartene er.

c) $c$ . Ikke $0{,}600c + c = 1{,}600c$ , og ikke noe annet enn $c$ . Formelen bekrefter det:

$v = \frac{c + 0{,}600c}{1 + \dfrac{0{,}600c\cdot c}{c^2}} = \frac{1{,}600c}{1{,}600} = c$

Dette er ikke en tilfeldighet i regnestykket — det er postulat 2, innebygd i formelen. Å gjøre denne kontrollen i en besvarelse er billig og viser at du forstår hva formelen gjør.

📝Oppgave 7

Eksamensnivå, sjanger I

Et romskip går forbi jorda med $0{,}750c$ . Fra skipet skytes en sonde framover med $0{,}500c$ i forhold til skipet.

a) Hvor fort går sonden, målt fra jorda?

b) Hva ville klassisk hastighetsaddisjon gitt, og hvor stort er avviket?

c) Skipet skyter i stedet en sonde bakover med $0{,}500c$ i forhold til seg selv. Hvor fort går den, målt fra jorda, og i hvilken retning?

Løkke 6 — kombinasjonen $d = v\gamma\tau$ (~8 min)

De nyere settene nøyer seg ikke med å be om $\gamma$ . De gir deg en strekning og en egentid og ber deg finne farten. Da er både $v$ og $\gamma$ ukjente — og $\gamma$ inneholder $v$ . Det ser verre ut enn det er.

Denne løkka gir deg en oppskrift som løser hele familien på fem linjer.

📜Å løse for farten når strekning og egentid er gitt

Et legeme beveger seg strekningen

d

målt i laboratoriet, mens klokka som følger legemet viser egentida

\tau

. Sammenhengen er

$d = v\,\Delta t = v\,\gamma\,\tau$

Framgangsmåten når $v$ er ukjent:

Steg 1. Del på $c\tau$ og innfør $\beta = v/c$ . Da står alt uttrykt i den ene ukjente:

$\frac{d}{c\tau} = \beta\gamma = \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$

Intuisjon: venstre side er et rent tall du kan regne ut med én gang. Kall det $k$ .

Steg 2. Kvadrer og løs for $\beta^2$ :

$k^2 = \frac{\beta^2}{1-\beta^2} \quad \Longrightarrow \quad k^2 - k^2\beta^2 = \beta^2 \quad \Longrightarrow \quad \beta^2 = \frac{k^2}{1+k^2}$

Intuisjon: nevneren $1+k^2$ er alltid større enn $k^2$ , så $\beta$ blir alltid mindre enn 1 uansett hvor stor $k$ er. Formelen kan ikke gi et ulovlig svar.

Steg 3. Ta kvadratrota:

$\boxed{\;\beta = \frac{k}{\sqrt{1+k^2}}, \qquad k = \frac{d}{c\tau}\;}$

Steg 4. Kontrollér ved å regne $\gamma$ og sette tilbake i $d = v\gamma\tau$ .

Intuisjon på hele oppskriften: størrelsen $\beta\gamma$ er «farten målt i egentid» — hvor mange lysstrekninger legemet kommer per egentidsekund. Den kan bli så stor du vil, mens $\beta$ selv ikke kan overstige 1. Det er nettopp derfor det lønner seg å løse for $\beta\gamma$ først.

Merk enhetene: oppgir oppgaven $d$ i lysår og $\tau$ i år, er $c = 1$ lysår per år, og $k = d/\tau$ direkte. Det er ofte den raskeste veien.

✏️Eksempel 5 (eksamensnivå): Hvor fort må skipet gå?

En stjerne ligger $9{,}00$ lysår fra jorda, målt i jordas system. Et romskip skal fram, og mannskapet skal ikke bli mer enn $6{,}00$ år eldre på turen.

a) Hvilken fart må skipet ha?

b) Hvor lang tid tar reisen målt fra jorda?

c) Hvor langt er det til stjerna, målt om bord i skipet?

d) Kontrollér at de tre svarene henger sammen.

Hendelsene og systemene først: hendelse A er «skipet forlater jorda», B er «skipet ankommer stjerna». Begge skjer der skipet er, så de

6{,}00

årene om bord er egentida

\tau

. Avstanden

9{,}00

lysår er målt mellom to punkter som er i ro i jordas system, så den er egenlengda

l_0

a) Vi bruker enheter der $c = 1$ lysår per år, slik at

$k = \frac{d}{c\tau} = \frac{9{,}00}{6{,}00} = 1{,}500$

$\beta = \frac{k}{\sqrt{1+k^2}} = \frac{1{,}500}{\sqrt{1+2{,}250}} = \frac{1{,}500}{\sqrt{3{,}250}} = \frac{1{,}500}{1{,}8028} = 0{,}8321$

altså $v = 0{,}832c = 2{,}50\cdot10^{8}\,\text{m/s}$ .

b) Først $\gamma$ :

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}8321^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}30769}} = 1{,}803$

$\Delta t = \gamma\tau = 1{,}803\cdot6{,}00 = 10{,}8\ \text{år}$

Merk at $\gamma = \sqrt{1+k^2}$ direkte — det er en snarvei verdt å huske, og her gir den $\sqrt{3{,}250} = 1{,}803$ ✓ uten omveien om $\beta$ .

c) Om bord er avstanden lengdekontrahert:

$l = \frac{l_0}{\gamma} = \frac{9{,}00}{1{,}803} = 4{,}99\ \text{lysår}$

d) Kontrollen — tre uavhengige veier til samme sted:

- Fra jorda: $d = v\,\Delta t = 0{,}8321\cdot10{,}82 = 9{,}00$ lysår ✓
- Om bord: $l = v\tau = 0{,}8321\cdot6{,}00 = 4{,}99$ lysår ✓ — samme som i c)
- Forholdet: $\Delta t/\tau = 10{,}82/6{,}00 = 1{,}803 = \gamma$ ✓

Legg merke til at både jorda og mannskapet er enige om at reisen ble gjennomført med farten $0{,}832c$ . Farten er de enige om; strekningen og tida er de uenige om. Det er den mest kompakte måten å si hva relativitetsteorien går ut på.

📝Oppgave 8

Eksamensnivå, sjanger I

Et sonderomskip sendes til en stjerne $20{,}0$ lysår unna, målt fra jorda. Instrumentene om bord er bygget for å tåle $5{,}00$ år i drift, og skipet skal akkurat rekke fram innen instrumentenes levetid.

a) Hvilken fart må skipet ha? Angi eksplisitt hvilken av de oppgitte størrelsene som er egentid og hvilken som er egenlengde.

b) Hvor mange år har gått på jorda når skipet ankommer?

c) Hvor langt er det til stjerna, målt om bord?

d) En ingeniør foreslår i stedet å regne farten som $v = 20{,}0/5{,}00 = 4{,}00c$ . Forklar presist hva som er galt.

Løkke 7 — relativistisk energi og Taylor-grensa (~7 min)

Én gang i blant kommer relativitetsoppgaven ikke som en tids- eller lengdeoppgave, men som en energioppgave — gjerne kombinert med en Taylor-utvikling fra kap. 1.2. H2022 gjorde nettopp det.

Det er en gavepakke hvis du har trent på Taylor, for utviklingen er den samme du allerede har gjort.

Hvileenergi

m

📜Relativistisk energi

Den totale energien til et fritt legeme med masse

m

og fart

v

$E = \gamma mc^2$

og den kinetiske energien er totalen minus hvileenergien:

$K = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$

Begge uttrykkene står på formelarket.

Det som må kunne utledes, er grensa for lave farter, og den er en ren Taylor-utvikling. Binomialtilnærmingen fra kap. 1.2 med $n = -\tfrac12$ og $x = -\beta^2$ gir

$\gamma = (1-\beta^2)^{-1/2} \approx 1 + \tfrac12\beta^2 + \tfrac38\beta^4 + \cdots$

Intuisjon: $\beta^2$ er bitteliten for alle hverdagsfarter, og $\beta^4$ er kvadratet av noe bittelite — altså helt forsvinnende. Derfor holder det nesten alltid med det første leddet.

Sett inn i uttrykket for $K$ :

$K = (\gamma-1)mc^2 \approx \left(\tfrac12\beta^2 + \tfrac38\beta^4\right)mc^2 = \tfrac12 mv^2 + \tfrac38\frac{mv^4}{c^2} + \cdots$

Intuisjon: det første leddet er nøyaktig den klassiske kinetiske energien. Relativitetsteorien motsier ikke Newton — den inneholder ham som grensetilfelle, og det andre leddet forteller nøyaktig hvor stor korreksjonen er.

Det relative avviket mellom klassisk og relativistisk $K$ er omtrent $\tfrac34\beta^2$ . Ved $\beta = 0{,}010$ er det $0{,}0075\ \%$ , ved $\beta = 0{,}10$ er det $0{,}75\ \%$ , og ved $\beta = 0{,}30$ er det $6{,}8\ \%$ — der begynner den klassiske formelen å bli ubrukelig.

Å skrive ut denne sammenhengen i ord er et poeng sensor gjerne vil se.

✏️Eksempel 6: Et proton i en akselerator

Et proton har hvilemasse $m = 1{,}673\cdot10^{-27}\,\text{kg}$ og akselereres til $0{,}900c$ .

a) Finn hvileenergien i joule og i megaelektronvolt ( $1\,\text{MeV} = 1{,}602\cdot10^{-13}\,\text{J}$ ).

b) Finn den totale energien og den kinetiske energien.

c) Hva ville den klassiske formelen $\tfrac12 mv^2$ gitt? Kommentér.

$E_0 = mc^2 = 1{,}673\cdot10^{-27}\cdot(3{,}00\cdot10^{8})^2 = 1{,}506\cdot10^{-10}\,\text{J}$

$E_0 = \frac{1{,}506\cdot10^{-10}}{1{,}602\cdot10^{-13}} = 940\,\text{MeV}$

(Tabellverdien er $938\,\text{MeV}$ . Differansen kommer av at vi regner med $c = 3{,}00\cdot10^{8}\,\text{m/s}$ — den avrundingen slår inn i andre potens.)

b) Med $\gamma(0{,}900) = 2{,}294$ :

$E = \gamma mc^2 = 2{,}294\cdot1{,}506\cdot10^{-10} = 3{,}454\cdot10^{-10}\,\text{J} = 2{,}16\cdot10^{3}\,\text{MeV}$

$K = (\gamma-1)mc^2 = 1{,}294\cdot1{,}506\cdot10^{-10} = 1{,}949\cdot10^{-10}\,\text{J} = 1{,}22\cdot10^{3}\,\text{MeV}$

$K_{\text{klassisk}} = \tfrac12 mv^2 = \tfrac12\cdot1{,}673\cdot10^{-27}\cdot(2{,}70\cdot10^{8})^2 = 6{,}10\cdot10^{-11}\,\text{J} = 381\,\text{MeV}$

Den klassiske verdien er bare $31\ \%$ av den riktige. Ved $\beta = 0{,}900$ er det ingen tilnærming lenger, det er en grov feil — og det er nettopp derfor akseleratorer må regnes relativistisk hele veien.

Grensekontroll av teorien vår: setter vi i stedet inn $\beta = 0{,}0100$ , gir den relativistiske formelen $K = 7{,}5291\cdot10^{-15}\,\text{J}$ og den klassiske $7{,}5285\cdot10^{-15}\,\text{J}$ — et avvik på $0{,}0075\ \%$ , som stemmer nøyaktig med anslaget $\tfrac34\beta^2 = 0{,}0075\ \%$ ✓. Taylor-leddet forutsier altså ikke bare at avviket er lite, men nøyaktig hvor lite.

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger I…

Et elektron har hvilemasse $m = 9{,}109\cdot10^{-31}\,\text{kg}$ .

a) Finn hvileenergien i MeV.

b) Finn den kinetiske energien når elektronet går med $0{,}800c$ .

c) Vis ved Taylor-utvikling at $K \to \tfrac12 mv^2$ når $v \ll c$ , og finn hvor stor $\beta$ kan være før den klassiske formelen bommer med mer enn 1 %.

📝Oppgave 10

(Kvalitativ, sjanger J.) Svar i to–fire setninger på hver.

a) Hvorfor kan ikke et legeme med masse nå lysfarten, uansett hvor lenge man skyver på det?

b) En student skriver at «massen øker med farten». Hvorfor er den formuleringen misvisende i dagens fremstilling?

c) Hva slags kontroll bør du alltid gjøre på slutten av en relativistisk utregning, og hvorfor?

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Referansesystem

Et referansesystem er et koordinatsystem med tilhørende klokker, som en observatør bruker til å gi hver hendelse et sted og et tidspunkt. I relativitet tenker vi oss at hvert system har et helt nett av synkroniserte klokker, én i hvert punkt, slik at ingen observasjon forsinkes av at lyset må reise. Det er en viktig presisering: relativistiske effekter handler ikke om at signaler bruker tid, de handler om hva målingene viser etter at signaltiden er trukket fra.

Lysfarten som universell grense

c = 3{,}00\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Egentida er den korteste

\Delta t_0 = \tau

Egenlengda er den lengste

l_0

Tidsdilatasjon

\gamma

Lengdekontraksjon

\gamma

Lorentz-transformasjonen

S'

Galilei-transformasjonen som grensetilfelle

c \to \infty

Hastighetstransformasjonen

v' = \frac{v-u}{1 - uv/c^2}

Verdenslinje og lyskjegle

En verdenslinje er banen et legeme følger gjennom romtidsdiagrammet. Loddrett linje betyr «i ro»; jo mer linja heller, jo raskere går legemet. Lyskjegla fra en hendelse består av 45-graderslinjene gjennom den, altså banene til lyssignaler ut fra hendelsen. Alt som kan påvirkes av hendelsen, ligger inne i den fremtidige lyskjegla; alt som kan ha påvirket den, ligger inne i den fortidige. Ingen verdenslinje for et legeme med masse kan krysse kjegleflaten.

Romlik og tidlik atskillelse

c

Kombinasjonen

d = v\gamma\tau

d = v\,\Delta t = v\,\gamma\,\tau

Hvileenergi og total energi

E_0 = mc^2

Lavfartsgrensa for den kinetiske energien

\gamma

Massen som invariant

m

Myonet som naturlig laboratorium

2{,}20\,\mu\text{s}

Testspørsmålet for egentid

\gamma

Retningskontrollen

c

Samtidighetens relativitet

-ux/c^2

Enheter der

c = 1

c = 1

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

10.1 Tidsdilatasjon, lengdekontraksjon og hastighetsaddisjon

Forkunnskaper — sist du var her

Løkke 1 — postulatene og Lorentz-faktoren (~10 min)

Løkke 2 — hendelser, egentid og tidsdilatasjon (~15 min)

Løkke 3 — egenlengde og lengdekontraksjon (~12 min)

Løkke 4 — Lorentz-transformasjonen og romtidsdiagrammet (~10 min)

Løkke 5 — hastighetsaddisjon (~8 min)

Løkke 6 — kombinasjonen d=vγτd = v\gamma\taud=vγτ (~8 min)

Løkke 7 — relativistisk energi og Taylor-grensa (~7 min)

Begrepsbank

Løkke 6 — kombinasjonen $d = v\gamma\tau$ (~8 min)