1.2 Taylor-utvikling og linearisering

Rekkeutvikling om et punkt, `sin θ ≈ θ` for små vinkler, og relativistisk `E` for små farter — verktøyet bak lineariseringen i svingnings- og SR-oppgaver.

60 min

8 oppgaver

Taylor-utviklinglinearisering

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Dimensjonsanalyse, benevning og størrelsesorden

Brukes videre i

7.2Harmonisk oscillator: andreordens homogen ODE

Taylor-utvikling er testet i 4 av 7 avsluttende sett (57 %) — og de gangene den ikke er testet direkte, er den likevel maskineriet bak en annen oppgave.

Slik dukker den opp:

- Linearisering av $\sin\theta \approx \theta$ når en pendel skal gi en pen bevegelseslikning. Dette er selve inngangen til svingningsdelen senere i boka.
- Rekkeutvikling av relativistisk energi for lave farter, slik at man gjenfinner det klassiske uttrykket $\tfrac12 mv^2$ . Dette står i settet fra høsten 2022.
- Linearisering av en ikke-lineær kraft om en likevekt, som er det som gjør et hvilket som helst potensial til en harmonisk svingning i nærheten av bunnen.
- Som rent flervalgsspørsmål på midtveiseksamen (den digitale flervalgsprøven som teller 20 % av karakteren): «hva er andreordensleddet i utviklingen av …?»

Prioritet: bør sitte. Kapitlet er blant de mest gjenbrukte i boka — du trenger det i svingningskapitlene, i luftmotstandskapitlet og i relativitetsdelen.

Kapitlet trener også sjanger J, de kvalitative oppgavene der du skal forklare eller begrunne i ord i stedet for å regne — minst én slik deloppgave finnes i hvert eneste sett — og sjanger I, relativitetsoppgaven, som er i 6 av 7 sett (86 %) og nesten alltid ligger sist.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 1.1 (benevningskontroll — vi bruker den på hvert eneste ledd i en rekke) og på derivasjon fra R1 og R2.

De tre tingene du må ha friskt:

1. Den deriverte som stigningstall. For en funksjon $f$ er
$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
altså stigningstallet til tangenten i punktet $x = a$ . Repetisjon: Derivasjonens definisjon og Derivasjonsregler.

2. De deriverte av $\sin$ , $\cos$ og $e^x$ , med $x$ i radianer:
$(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x, \qquad (e^{x})' = e^{x}$
Repetisjon: Derivasjon av trigonometriske funksjoner og Kjerneregelen (som du trenger når du deriverer $(1-\beta^2)^{-1/2}$ ).

3. Fakultet. $n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ , og $0! = 1$ . Altså $1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ . Fakultetene er nevnerne i alle Taylor-rekker.

Har du sett uendelige rekker før, er det en fordel — men ikke et krav. Repetisjon om du vil ha det: Rekker og summasjon og Uendelige rekker og konvergens.

En pendel som svinger med store utslag, er et vanskelig fysikkproblem. Bevegelseslikningen inneholder $\sin\theta$ , og den likningen har ingen løsning som kan skrives med de funksjonene du kjenner.

En pendel som svinger med små utslag, er et av de enkleste problemene i hele mekanikken. Løsningen er en ren cosinusbølge med konstant periode.

Forskjellen mellom «umulig» og «enkelt» er ett eneste grep: å erstatte $\sin\theta$ med $\theta$ . Det grepet heter linearisering, og verktøyet bak det heter Taylor-utvikling.

Ideen er å bytte ut en tung funksjon med et polynom som ligner den i nærheten av ett bestemt punkt. Polynomet er lett å regne med; funksjonen er ikke. Prisen er en feil, og hele kunsten ligger i å vite hvor stor den feilen er.

Kapitlet er delt i tre løkker: først bygger vi Taylor-polynomet, så bruker vi det til linearisering, og til slutt gjør vi det klassiske grepet fra relativitetsteorien — å vise at $\tfrac12 mv^2$ bare er førsteleddet i noe større.

Løkke 1 — Taylor-polynomet (~20 min)

Utviklingspunkt

x = a

Taylor-polynom

n

Maclaurin-polynom

a = 0

Orden på en tilnærming

(x-a)

Hvor kommer $f^{(j)}(a)/j!$ fra?

Utledningen er kortere enn formelen ser ut til.

Steg 1 — still kravet. Vi vil finne et polynom
$P_n(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n$
som har samme verdi og samme deriverte som $f$ i punktet $a$ .

Intuisjon: vi kjøper likhet med funksjonen i ett punkt, og håper at det holder et lite stykke rundt.

Steg 2 — sett $x = a$ . Alle ledd med $(x-a)$ blir null, og vi står igjen med $P_n(a) = c_0$ . Kravet $P_n(a) = f(a)$ gir
$c_0 = f(a)$

Intuisjon: det nullte kravet er bare «treff funksjonsverdien».

Steg 3 — deriver én gang og sett $x=a$ . $P_n'(x) = c_1 + 2c_2(x-a) + \cdots$ , som i $x=a$ blir $c_1$ . Kravet $P_n'(a) = f'(a)$ gir
$c_1 = f'(a)$

Intuisjon: nå har vi også riktig stigning — vi har fått tangenten.

Steg 4 — deriver to ganger. $P_n''(x) = 2c_2 + 6c_3(x-a) + \cdots$ , som i $x=a$ blir $2c_2$ . Kravet $P_n''(a) = f''(a)$ gir
$c_2 = \frac{f''(a)}{2}$

Intuisjon: faktoren 2 dukker opp fordi $x^2$ derivert to ganger gir 2. Deriverer du $x^j$ $j$ ganger, får du $j!$ — og det er nøyaktig den faktoren vi må dele med for å nøytralisere den.

Steg 5 — generelt. Samme regning $j$ ganger gir
$c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}$

Intuisjon: fakultetene i nevneren er ikke magi. De er bare motvekten til de fakultetene som oppstår når man deriverer en potens gjentatte ganger.

Benevningskontroll (den vanes verdt): i en fysisk Taylor-rekke må hvert ledd ha samme enhet. I $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ er alle ledd dimensjonsløse, fordi $\theta$ i radianer er dimensjonsløs — dette er en av grunnene til at radianer er tvingende nødvendig (se advarselen lenger nede).

✏️Eksempel 1: utvikling av $e^{x}$ om $x = 0$

a) Finn Taylor-polynomene

P_1

P_2

P_3

til

f(x) = e^{x}

x = 0

b) Bruk dem til å anslå $e^{0{,}3}$ , og sammenlign med den eksakte verdien $e^{0{,}3} = 1{,}349859$ .

c) Hvor mye bedre blir tilnærmingen for hvert ledd du tar med?

Metodevalg: vi bruker definisjonen direkte — regn de deriverte i utviklingspunktet, del på fakultetene, sett sammen.

a) Alle deriverte av $e^{x}$ er $e^{x}$ selv, og $e^{0} = 1$ . Altså er $f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 1$ , og

$P_1(x) = 1 + x$
$P_2(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2}$
$P_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

b) Med $x = 0{,}3$ :

Tilnærming	Verdi	Avvik fra $1{,}349859$
$P_1$	$1{,}300000$	$-0{,}049859$
$P_2$	$1{,}345000$	$-0{,}004859$
$P_3$	$1{,}349500$	$-0{,}000359$

c) Avviket krymper med omtrent en faktor 10 for hvert ledd. Det er ingen tilfeldighet: det første leddet vi ikke tar med, er av orden

x^{k+1}

, og med

x = 0{,}3

gir hver ekstra potens en faktor

0{,}3

— pluss at fakultetet i nevneren vokser.
Merk hvor tilnærmingen er god: ved

x = 0{,}3

bommer den lineære tilnærmingen med under 4 %. Ved

x = 3

ville

P_1 = 4

, mens

e^{3} \approx 20{,}1

— en bom på 80 %. Nær utviklingspunktet er god; langt unna er ubrukelig.

📝Oppgave 1

(Innsteg. Ren bruk av definisjonen fra eksempel 1.)

a) Finn Maclaurin-polynomet av 2. orden til $f(x) = \cos x$ (altså utviklingen om $x = 0$ ).

b) Finn Maclaurin-polynomet av 3. orden til $g(x) = \sin x$ .

c) Bruk svaret i a) til å anslå $\cos(0{,}5)$ , og sammenlign med den eksakte verdien $0{,}877583$ .

📜Taylors formel med restledd

For en funksjon

f

som er tilstrekkelig mange ganger deriverbar gjelder eksakt:

$f(x) = \underbrace{\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^{j}}_{P_n(x)} \;+\; \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{R_n(x)}$

der $\xi$ er et punkt et sted mellom $a$ og $x$ (vi vet ikke hvilket).

Hva formelen er verdt i praksis: vi kjenner ikke $\xi$ , men vi kan ofte sette en øvre grense for $|f^{(n+1)}|$ i hele intervallet. Da får vi en feilgrense:

$|R_n(x)| \le \frac{\max|f^{(n+1)}|}{(n+1)!}\,|x-a|^{n+1}$

For $\sin$ og $\cos$ er alle deriverte tallmessig høyst 1, så feilgrensen er ganske enkelt $|x-a|^{n+1}/(n+1)!$ .

Formelen med restledd står i Rottmann — du skal kjenne den igjen og bruke den, ikke pugge den. Det som må sitte i fingrene, er å regne ut de deriverte og sette inn.

Restleddet

R_n

R_n(x) = f(x) - P_n(x)

Relativt avvik

\text{relativt avvik} = \frac{|\text{tilnærmet verdi} - \text{eksakt verdi}|}{|\text{eksakt verdi}|}

Radian

2\pi

✏️Eksempel 2: hvor små må «små vinkler» være?

Tilnærmingen $\sin\theta \approx \theta$ er selve inngangsporten til pendelfysikken. Undersøk hvor god den er.

a) Bruk restleddet til å sette en øvre grense for feilen i $\sin\theta \approx \theta$ .

b) Regn ut det relative avviket ved $\theta = 0{,}1$ , $\theta = 0{,}2$ og $\theta = 0{,}3$ radianer.

c) Hvor stor kan vinkelen være i grader dersom vi tåler et relativt avvik på $1\ \%$ ?

d) Hvor mye bedre blir det med tredjeordensleddet, $\sin\theta \approx \theta - \theta^{3}/6$ ?

Metodevalg: vi bruker restleddsformelen for feilgrensen, og regner deretter faktiske avvik. Grensen fra restleddet er en garanti; de faktiske avvikene forteller hvor konservativ garantien er.

a) Maclaurin-polynomene $P_1$ og $P_2$ til $\sin\theta$ er begge lik $\theta$ , fordi andreordensleddet er null. Vi kan derfor bruke restleddet for $n = 2$ :

$|R_2(\theta)| \le \frac{\max|f'''|}{3!}\,|\theta|^{3} = \frac{1}{6}|\theta|^{3}$

siden $f'''(\theta) = -\cos\theta$ og $|\cos\theta| \le 1$ .

Dette er hele grunnen til at tilnærmingen er så god: feilen går som $\theta^3$ , ikke som $\theta^2$ .

b) Med $\sin(0{,}1) = 0{,}0998334$ , $\sin(0{,}2) = 0{,}1986693$ og $\sin(0{,}3) = 0{,}2955202$ :

$\theta$ (rad)	$\theta$ (grader)	$\sin\theta$	relativt avvik
$0{,}1$	$5{,}7^{\circ}$	$0{,}0998334$	$0{,}17\ \%$
$0{,}2$	$11{,}5^{\circ}$	$0{,}1986693$	$0{,}67\ \%$
$0{,}3$	$17{,}2^{\circ}$	$0{,}2955202$	$1{,}5\ \%$

Avviket firedobles omtrent når vinkelen dobles — akkurat som en

\theta^3

-feil delt på en

\theta

-verdi skal gjøre.
c) Relativt avvik er

(\theta - \sin\theta)/\sin\theta

. Ved

\theta = 0{,}25

rad blir det

1{,}0\ \%

, og

0{,}25\ \text{rad} = 14^{\circ}

.
Praktisk regel: under omtrent $15^{\circ}$ er $\sin\theta \approx \theta$ god til én prosent. Det er nettopp derfor pendeloppgaver alltid sier «små utslag».
d) Ved

\theta = 0{,}3

\theta - \theta^3/6 = 0{,}3 - 0{,}0045 = 0{,}29550

, mot eksakt

0{,}2955202

. Avviket er nå

2\cdot 10^{-5}

i absolutt verdi og under

0{,}007\ \%

relativt — altså rundt 200 ganger bedre enn den lineære tilnærmingen.

Hvorfor vi likevel bruker den lineære i pendeloppgaver: fordi et $\theta^3$ -ledd i bevegelseslikningen gjør den ulineær, og da forsvinner den enkle løsningen. Vi ofrer nøyaktighet for å få en likning vi kan løse.

📝Oppgave 2

(Innøving på feilgrensen fra restleddet.)

a) Bruk restleddet til å sette en øvre grense for feilen i tilnærmingen $\cos\theta \approx 1 - \theta^{2}/2$ .

b) Regn ut grensen for $\theta = 0{,}5$ rad, og sammenlign med det faktiske avviket. Eksakt: $\cos(0{,}5) = 0{,}877583$ .

c) En student regner $\sin(20^{\circ})$ som $20$ . Hva er galt, og hva blir riktig svar med tilnærmingen?

Typiske feil — Taylor-utvikling

Feil A: å bruke grader i stedet for radianer.

\sin\theta \approx \theta

gjelder bare i radianer, fordi derivasjonsreglene

(\sin x)' = \cos x

gjør det. Sett alltid kalkulatoren i radianmodus før du regner på svingninger, og skriv om vinkler oppgitt i grader først.

Feil B: å utvikle om feil punkt. «For små utslag» betyr utvikling om $\theta = 0$ . «For farter nær lysfarten» betyr ikke utvikling om $v = 0$ — der er hele poenget at $\beta$ er stor. Les hvilken grense oppgaven ber om.

Feil C: å ta med feil antall ledd. Ber oppgaven om «andre orden», skal $x^2$ -leddet være med, også hvis det er null. Ber den om «det første korreksjonsleddet», mener den det første leddet etter det du allerede har — som for $\sin$ er $-\theta^3/6$ , ikke $\theta^2$ -leddet.

Feil D: regnefeil i de deriverte. Fortegnene i $\sin$ / $\cos$ -kjeden ( $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ ) er den vanligste kilden. Skriv opp kjeden før du setter inn.

Feil E: å bruke tilnærmingen langt utenfor gyldighetsområdet uten å si noe om feilen. Dette er en variant av felle #1 — tallsvar uten resonnement, den dyreste enkeltfeilen på eksamen: et tall fra en tilnærming uten en setning om når tilnærmingen holder, er et tall sensor ikke kan gi full uttelling for. Feilene i denne boka er nummererte fordi de går igjen, og hele registeret står samlet i eksamenskartet.

Småvinkeltilnærmingen

\sin\theta \approx \theta

\sin\theta \approx \theta \qquad (\text{feil av orden } \theta^{3}/6)

Cosinustilnærmingen

\cos\theta \approx 1 - \theta^{2}/2

\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^{2}}{2} \qquad (\text{feil av orden } \theta^{4}/24)

Binomialtilnærmingen

(1+x)^{n} \approx 1 + nx

|x| \ll 1

Eksponentialtilnærmingen

e^{x} \approx 1 + x + x^{2}/2

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots

📝Oppgave 3

(Eksamensnær — dette er nøyaktig formen midtveis-flervalget har.)

a) Finn de tre første leddene i utviklingen av $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$ om $x = 0$ , både ved å derivere og ved å bruke binomialtilnærmingen med $n = -1$ .

b) Finn andreordensleddet i utviklingen av $\sqrt{1+x}$ om $x=0$ .

c) Bruk resultatet i b) til å anslå $\sqrt{1{,}08}$ , og oppgi det relative avviket fra den eksakte verdien $1{,}039230$ .

Løkke 2 — linearisering (~20 min)

— naturlig pausepunkt —

Nå bruker vi verktøyet til det fysikken faktisk trenger det til: å bytte en tung funksjon med en rett linje, slik at en umulig likning blir løsbar.

Linearisering

f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)

Tangentlinje-tilnærmingen

a

Utledningen: tyngden litt over bakken

Du har brukt $F_g = mg$ hele videregående. Men gravitasjonsloven sier at kraften avtar med kvadratet av avstanden fra jordas sentrum. Hvordan henger de sammen?

Steg 1 — start med den eksakte loven. For et legeme i høyde $h$ over overflaten på en planet med masse $M$ og radius $R$ :

$F(h) = \frac{GMm}{(R+h)^{2}}$

Intuisjon: avstanden fra sentrum er $R+h$ , ikke $h$ — legemet er allerede $6\,371$ kilometer fra sentrum før det løftes en meter.

Steg 2 — trekk ut den store faktoren. Skriv $(R+h)^2 = R^2(1 + h/R)^2$ :

$F(h) = \frac{GMm}{R^{2}}\left(1+\frac{h}{R}\right)^{-2}$

Intuisjon: nå står hele avstandsavhengigheten i en parentes som er nesten 1, fordi $h/R$ er et lite tall. Dette grepet — å skrive uttrykket som «noe stort ganger noe nær 1» — er det som gjør Taylor brukbar.

Steg 3 — kjenn igjen $g$ . Faktoren foran er nettopp tyngdekraften ved overflaten, så vi definerer

$g = \frac{GM}{R^{2}}$

Intuisjon: $g$ er ikke en naturkonstant på linje med $G$ . Den er en egenskap ved denne planeten, ved denne radien.

Steg 4 — lineariser. Med $x = h/R \ll 1$ og $n = -2$ i binomialtilnærmingen:

$\left(1+\frac{h}{R}\right)^{-2} \approx 1 - \frac{2h}{R}$

$F(h) \approx mg\left(1 - \frac{2h}{R}\right)$

Intuisjon: tyngden avtar lineært med høyden i første omgang, med en relativ endring på $2h/R$ per meter. Faktoren 2 kommer fra kvadratet i gravitasjonsloven.

Steg 5 — tallfest. For $h = 1\,000\ \text{m}$ og $R = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}$ :

$\frac{2h}{R} = \frac{2\cdot 1000}{6{,}371\cdot 10^{6}} = 3{,}14\cdot 10^{-4}$

Tyngden er altså $0{,}03\ \%$ mindre en kilometer oppe. Det er derfor $F_g = mg$ med konstant $g$ er en helt trygg modell for all mekanikk nær bakken — og hvorfor vi likevel skriver ut betingelsen når vi bruker den.

Kontroll av tilnærmingen: eksakt er $(1+1{,}5696\cdot 10^{-4})^{-2} = 0{,}99968615$ , mens lineariseringen gir $0{,}99968608$ . Avviket er under $10^{-5}$ prosent.

✏️Eksempel 3: når slutter «konstant $g$» å være godt nok?

Bruk lineariseringen $F(h) \approx mg\left(1-\dfrac{2h}{R}\right)$ med $R = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}$ og $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ .

a) Hvor mange prosent svakere er tyngden i $10\ \text{km}$ høyde (rutehøyde for et passasjerfly)?

b) Regn ut både den lineariserte og den eksakte verdien for $h = 100\ \text{km}$ , og sammenlign.

c) Vurder: kan man bruke konstant $g$ i en oppgave om et fall fra $100\ \text{km}$ ?

Metodevalg: vi bruker lineariseringen der den er ment å brukes (små

h/R

), og sammenligner med den eksakte verdien der den begynner å knirke. Det er nettopp den vurderingen sensor ser etter når en tilnærming brukes.

a) Med $h = 1{,}00\cdot 10^{4}\ \text{m}$ :
$\frac{2h}{R} = \frac{2\cdot 1{,}00\cdot 10^{4}}{6{,}371\cdot 10^{6}} = 3{,}14\cdot 10^{-3}$

Tyngden er altså $0{,}31\ \%$ svakere i $10\ \text{km}$ høyde. Tilsvarende $g$ -verdi: $9{,}81\cdot(1-0{,}00314) = 9{,}78\ \text{m/s}^{2}$ .

b) Med $h = 1{,}00\cdot 10^{5}\ \text{m}$ er $h/R = 1{,}570\cdot 10^{-2}$ .

Linearisert: $1 - 2\cdot 0{,}01570 = 0{,}96861$ , altså $g_{\text{lin}} = 9{,}502\ \text{m/s}^{2}$ .

Eksakt: $(1+0{,}01570)^{-2} = 0{,}96933$ , altså $g_{\text{eks}} = 9{,}509\ \text{m/s}^{2}$ .

Lineariseringen bommer på selve tilnærmingen med bare $0{,}075\ \%$ — den er fremdeles utmerket. Men tyngden selv er nå $3{,}1\ \%$ svakere enn ved bakken.

c) To ulike spørsmål må skilles:

- Er lineariseringen god? Ja, svært god helt opp hit — avviket mot den eksakte formelen er under en promille.
- Er konstant $g$ godt nok? Det avhenger av hvilken nøyaktighet oppgaven krever. Tyngden varierer $3\ \%$ over fallet, så en falltidsberegning med konstant $g$ vil bomme i samme størrelsesorden. For et overslag er det greit; for en presis beregning må variasjonen med.

Konklusjon i én setning: for all vanlig mekanikk nær bakken (bygninger, kast, skråplan, pendler) er konstant $g$ trygt, og du bør si hvorfor — $h/R$ er av orden $10^{-5}$ eller mindre.

📝Oppgave 4

(Eksamensnær bruk av binomialtilnærmingen.)

Trykket $p$ i en væskesøyle øker med dybden. For en gass avtar derimot tettheten oppover, og en enkel modell for lufttrykket i høyde $h$ over bakken er

$p(h) = p_0\,e^{-h/H}, \qquad H \approx 8{,}5\ \text{km}$

der $p_0$ er trykket ved bakken og $H$ kalles skalahøyden.

a) Lineariser $p(h)$ for $h \ll H$ , og skriv resultatet med $p_0$ og $H$ .

b) Hvor mange prosent faller trykket over de første $100\ \text{m}$ , etter den lineariserte modellen?

c) Regn ut det eksakte fallet over $100\ \text{m}$ og sammenlign. Bruk $e^{-x} \approx 1 - x + x^{2}/2$ om nødvendig.

d) Ved hvilken høyde bommer lineariseringen med mer enn $1\ \%$ av trykkfallet?

Likevektspunkt

x_0

Linearisering om likevekt

x_0

📜Den effektive fjærkonstanten

La et legeme bevege seg i en potensiell energi

U(x)

med et stabilt likevektspunkt i

x_0

. Da er den effektive fjærkonstanten for små forskyvninger

$k = U''(x_0)$

Kort begrunnelse: kraften er $F(x) = -U'(x)$ . Deriverer vi den, får vi $F'(x) = -U''(x)$ , og med $k = -F'(x_0)$ følger $k = U''(x_0)$ .

Bruk: finn likevektspunktet ved å løse $U'(x)=0$ , deriver én gang til, sett inn — og du har fjærkonstanten uten å ha løst en eneste bevegelseslikning.

Kravet $U''(x_0) > 0$ er nøyaktig kravet om at likevekten er stabil. Er den andrederiverte negativ, finnes det ingen svingning — legemet løper vekk fra punktet.

✏️Eksempel 4: pendelen lineariseres

En pendel består av en liten kule med masse

m

i enden av en masseløs stang med lengde

\ell

. Når stanga danner vinkelen

\theta

med loddlinja, er kraftmomentet fra tyngden om opphengspunktet

$\tau(\theta) = -mg\ell\sin\theta$

(minustegnet betyr at momentet driver pendelen tilbake mot $\theta = 0$ ).

a) Vis at $\theta = 0$ er et likevektspunkt, og at det er stabilt.

b) Lineariser $\tau(\theta)$ om likevekten.

c) For $m = 0{,}50\ \text{kg}$ og $\ell = 1{,}20\ \text{m}$ : regn ut det eksakte og det lineariserte momentet ved $\theta = 10^{\circ}$ og ved $\theta = 20^{\circ}$ , og oppgi de relative avvikene.

d) Hva er den fysiske gevinsten ved lineariseringen?

Metodevalg: vi bruker linearisering om likevekt. Her er «kraften» et kraftmoment og «posisjonen» en vinkel, men matematikken er identisk — det er nettopp derfor metoden er så generell.

a) $\tau(0) = -mg\ell\sin 0 = 0$ , så $\theta = 0$ er et likevektspunkt.

Stabilitet: $\tau'(\theta) = -mg\ell\cos\theta$ , som i $\theta = 0$ gir $\tau'(0) = -mg\ell < 0$ . Et negativt stigningstall betyr at et positivt utslag gir et negativt (tilbakedrivende) moment. Stabil ✓

b) Førsteordens Taylor om $\theta = 0$ :
$\tau(\theta) \approx \tau(0) + \tau'(0)\,\theta = -mg\ell\,\theta$

Alternativt, og raskere: sett $\sin\theta \approx \theta$ rett inn i uttrykket. Begge veier gir samme svar, og på eksamen er den siste raskest — men den første viser tydeligere hvorfor det er lov.

Den effektive «vinkel-fjærkonstanten» er altså $k_{\theta} = mg\ell$ .

c) Med $mg\ell = 0{,}50\cdot 9{,}81\cdot 1{,}20 = 5{,}886\ \text{N}\cdot\text{m}$ :

$\theta$	$\theta$ (rad)	eksakt $\|\tau\|$	linearisert $\|\tau\|$	relativt avvik
$10^{\circ}$	$0{,}1745$	$1{,}022\ \text{N}\cdot\text{m}$	$1{,}027\ \text{N}\cdot\text{m}$	$0{,}51\ \%$
$20^{\circ}$	$0{,}3491$	$2{,}013\ \text{N}\cdot\text{m}$	$2{,}055\ \text{N}\cdot\text{m}$	$2{,}1\ \%$

Momentet er rettet mot likevektsstillingen i begge tilfeller. Avviket firedobles når vinkelen dobles, akkurat som en

\theta^{3}

-feil skal gjøre.
d) Gevinsten er at bevegelseslikningen skifter karakter. Med det eksakte momentet får vi en likning som inneholder

\sin\theta

og som ikke kan løses med kjente funksjoner. Med det lineariserte momentet får vi en likning der akselerasjonen er proporsjonal med utslaget og motsatt rettet — den samme formen som en fjær — og den har en enkel løsning: en ren svingning med fast periode. Hele svingningsdelen av faget hviler på dette ene grepet.

📝Oppgave 5

(Krevende. Linearisering om likevekt i en potensiell energi.)

En atomær binding kan grovt modelleres med den potensielle energien

$U(x) = U_0\left[\left(\frac{x_0}{x}\right)^{2} - 2\,\frac{x_0}{x}\right], \qquad x > 0$

der $U_0 > 0$ og $x_0 > 0$ er konstanter, og $x$ er avstanden mellom atomene.

a) Vis at $x = x_0$ er et likevektspunkt, og finn $U(x_0)$ .

b) Vis at likevekten er stabil, og finn den effektive fjærkonstanten $k$ .

c) Skriv den lineariserte kraften på formen $F \approx -k(x-x_0)$ .

d) Sett inn $U_0 = 4{,}0\cdot 10^{-21}\ \text{J}$ og $x_0 = 3{,}0\cdot 10^{-10}\ \text{m}$ , og regn ut $k$ med to gjeldende siffer. Kontrollér enheten.

Løkke 3 — relativistisk energi for lave farter (~20 min)

— naturlig pausepunkt —

Dette er den klassiske Taylor-oppgaven i FYS1100, og en av de vakreste regningene i hele faget: vi skal vise at det uttrykket du lærte for kinetisk energi på videregående, bare er det første leddet i en større sannhet.

Vi trenger noen begreper fra relativitetsteorien først. Du møter dem grundig i relativitetsdelen sist i boka; her bruker vi dem bare som matematiske uttrykk. Har du hatt Fysikk 2 på videregående, har du sett dem før — og du kan friske opp bakgrunnen i Relativistisk energi og masse.

Hastighetsforholdet

\beta

\beta = \frac{v}{c}, \qquad c = 2{,}998\cdot 10^{8}\ \text{m/s}

Lorentz-faktoren

\gamma

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} = \left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2}

Relativistisk kinetisk energi

m

📜Lavfartsgrensen for relativistisk energi

For

\beta = v/c \ll 1

gjelder

$K = (\gamma-1)mc^{2} = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{3}{8}\frac{mv^{4}}{c^{2}} + \cdots$

Det første leddet er nøyaktig den klassiske kinetiske energien. Det andre er den første relativistiske korreksjonen, og den er mindre enn det første leddet med en faktor $\tfrac34\beta^{2}$ .

Relativitetsteorien motsier altså ikke den klassiske mekanikken — den inneholder den som grensetilfelle. Det er et av de sterkeste argumentene for at teorien er riktig, og et poeng sensor gjerne vil se skrevet ut i ord.

Utledningen steg for steg

Steg 1 — skriv $\gamma$ på binomialform. Sett $u = \beta^{2}$ :

$\gamma = (1-\beta^{2})^{-1/2} = (1-u)^{-1/2}$

Intuisjon: nå ser uttrykket ut som $(1+x)^{n}$ med $x = -u$ og $n = -\tfrac12$ — det er nøyaktig formen binomialtilnærmingen er laget for.

Steg 2 — utvikle to ledd. Med $(1+x)^{n} \approx 1 + nx + \tfrac{n(n-1)}{2}x^{2}$ og $x = -u$ , $n = -\tfrac12$ :

$nx = -\tfrac12\cdot(-u) = \tfrac12 u$
$\frac{n(n-1)}{2}x^{2} = \frac{(-\tfrac12)(-\tfrac32)}{2}u^{2} = \frac{3}{8}u^{2}$

$\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^{2} + \frac{3}{8}\beta^{4}$

Intuisjon: alle ledd er positive, som de må være — $\gamma$ er alltid større enn 1.

Steg 3 — trekk fra 1 og gang med $mc^2$ .

$K = (\gamma-1)mc^{2} \approx \left(\frac{1}{2}\beta^{2} + \frac{3}{8}\beta^{4}\right)mc^{2}$

Intuisjon: å trekke fra 1 fjerner hvileenergien og lar korreksjonsleddene stå igjen. Legg merke til at det ikke finnes noe ledd av første orden i $\beta$ — energien avhenger av farten i andre potens, som den skal.

Steg 4 — sett $\beta = v/c$ tilbake inn.

$\frac{1}{2}\beta^{2}mc^{2} = \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}mc^{2} = \frac{1}{2}mv^{2}$

$\frac{3}{8}\beta^{4}mc^{2} = \frac{3}{8}\frac{v^{4}}{c^{4}}mc^{2} = \frac{3}{8}\frac{mv^{4}}{c^{2}}$

$\boxed{K \approx \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{3}{8}\frac{mv^{4}}{c^{2}}}$

Intuisjon: faktorene $c^{2}$ forkorter seg bort i første ledd — og det er nettopp derfor lysfarten ikke synes i klassisk mekanikk.

Steg 5 — benevningskontroll. Første ledd: $\text{kg}\cdot\text{m}^{2}/\text{s}^{2} = \text{J}$ ✓. Andre ledd:
$\frac{\text{kg}\cdot(\text{m/s})^{4}}{(\text{m/s})^{2}} = \text{kg}\cdot\frac{\text{m}^{2}}{\text{s}^{2}} = \text{J} \;\checkmark$

Begge ledd har energienhet, som de må ha for i det hele tatt å kunne legges sammen.

✏️Eksempel 5: elektronet ved $0{,}10c$ (eksamensnivå)

Et elektron har masse $m = 9{,}109\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ og beveger seg med farten $v = 0{,}100c$ , der $c = 2{,}998\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ .

a) Regn ut $\gamma$ og den eksakte kinetiske energien $K = (\gamma-1)mc^{2}$ .

b) Regn ut den klassiske verdien $\tfrac12 mv^{2}$ , og finn det relative avviket fra a).

c) Legg til korreksjonsleddet $\tfrac38 mv^{4}/c^{2}$ og finn det nye avviket.

d) Ved hvilken $\beta$ bommer den rene andreordenstilnærmingen $\gamma \approx 1+\tfrac12\beta^{2}$ med mer enn $1\ \%$ ?

Metodevalg: vi regner den eksakte verdien først, slik at vi har en fasit å måle tilnærmingene mot. Det er slik man alltid bør vurdere en tilnærming — mot den eksakte verdien, ikke mot magefølelsen.

a) Med $\beta = 0{,}100$ :
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}0100}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}9900}} = 1{,}005038$

Hvileenergien:
$mc^{2} = 9{,}109\cdot 10^{-31}\cdot (2{,}998\cdot 10^{8})^{2}\ \text{J} = 8{,}187\cdot 10^{-14}\ \text{J}$
(som er $0{,}511\ \text{MeV}$ — den mest siterte tallverdien i partikkelfysikken).

$K = (1{,}005038-1)\cdot 8{,}187\cdot 10^{-14}\ \text{J} = 4{,}125\cdot 10^{-16}\ \text{J}$

b) Farten er $v = 0{,}100\cdot 2{,}998\cdot 10^{8} = 2{,}998\cdot 10^{7}\ \text{m/s}$ .
$\frac{1}{2}mv^{2} = \tfrac12\cdot 9{,}109\cdot 10^{-31}\cdot(2{,}998\cdot 10^{7})^{2}\ \text{J} = 4{,}094\cdot 10^{-16}\ \text{J}$

Relativt avvik:
$\frac{4{,}094 - 4{,}125}{4{,}125} = -7{,}5\cdot 10^{-3} = -0{,}75\ \%$

Den klassiske formelen gir altså for lite, med tre kvarte prosent.

c) Korreksjonsleddet kan skrives som en brøkdel av det klassiske leddet:
$\frac{3}{8}\frac{mv^{4}}{c^{2}} = \frac{3}{4}\beta^{2}\cdot\frac{1}{2}mv^{2}$

Men enklest er å bruke $\tfrac38\beta^{4}mc^{2}$ direkte:
$\frac{3}{8}\cdot(0{,}100)^{4}\cdot 8{,}187\cdot 10^{-14}\ \text{J} = 3{,}070\cdot 10^{-18}\ \text{J}$

Sum: $4{,}094\cdot 10^{-16} + 0{,}031\cdot 10^{-16} = 4{,}1243\cdot 10^{-16}\ \text{J}$ .

Nytt relativt avvik: $-6{,}3\cdot 10^{-5}$ , altså $-0{,}006\ \%$ — mer enn hundre ganger bedre enn den rene klassiske verdien.

d) Vi løser $\dfrac{1+\tfrac12\beta^{2}}{\gamma} = 0{,}99$ numerisk. Ved $\beta = 0{,}30$ er avviket $0{,}31\ \%$ , ved $\beta = 0{,}40$ er det $1{,}0\ \%$ , ved $\beta = 0{,}50$ er det $2{,}6\ \%$ . Grensen ligger altså ved

$\beta \approx 0{,}40, \qquad v \approx 1{,}2\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

Konklusjon å ta med: for alt som beveger seg langsommere enn omtrent $10\ \%$ av lysfarten — altså alt du møter i resten av denne boka utenom relativitetsdelen — er $\tfrac12mv^{2}$ riktig til bedre enn én prosent. Det er derfor klassisk mekanikk fungerer.

📝Oppgave 6

(Eksamensnær, sjanger I — relativitetsoppgaven, som er i 6 av 7 sett.)

Et proton har masse $m = 1{,}673\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$ og beveger seg med $v = 0{,}200c$ , der $c = 2{,}998\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ .

a) Regn ut $\gamma$ med fem gjeldende siffer.

b) Regn ut den eksakte kinetiske energien $K = (\gamma-1)mc^{2}$ .

c) Regn ut den klassiske verdien og oppgi det relative avviket.

d) Forklar i to setninger hvorfor avviket er større her enn for elektronet i eksempel 5, selv om protonet er nesten to tusen ganger tyngre.

📝Oppgave 7

(Krevende, sjanger I kombinert med Taylor. Dette er mønsteret fra det avsluttende settet der relativistisk energi skulle rekkeutvikles.)

a) Vis ved Taylor-utvikling at $\gamma = (1-\beta^{2})^{-1/2}$ har utviklingen
$\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^{2} + \frac{3}{8}\beta^{4} + \frac{5}{16}\beta^{6}$

b) Skriv den kinetiske energien $K = (\gamma-1)mc^{2}$ med de tre første leddene uttrykt ved $m$ , $v$ og $c$ .

c) Ved $\beta = 0{,}500$ er $\gamma = 1{,}154701$ eksakt. Regn ut hvor godt hver av de tre tilnærmingene (to, tre og fire ledd) treffer, og oppgi de relative avvikene.

d) Forklar hvorfor rekka bare inneholder like potenser av $\beta$ .

📝Oppgave 8

Sjanger J

a) En medstudent skriver: «

\sin\theta \approx \theta

, så jeg kan alltid erstatte sinus med vinkelen.» Hva mangler i påstanden, og hvordan ville du formulert den riktig?

b) Forklar hvorfor det at $K = (\gamma-1)mc^{2}$ går over i $\tfrac12 mv^{2}$ for lave farter, er et argument for relativitetsteorien og ikke mot den.

c) En oppgave ber deg linearisere en kraft om et likevektspunkt. Hvorfor forsvinner alltid nullteordensleddet i den utviklingen?

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Gyldighetsområde for en tilnærming

\sin\theta \approx \theta

Tilnærming	Krav	Gyldighetsområde
$\sin\theta \approx \theta$	$1\ \%$	$\theta \lesssim 0{,}25\ \text{rad} \approx 15^{\circ}$
$\gamma \approx 1+\tfrac12\beta^{2}$	$1\ \%$	$\beta \lesssim 0{,}40$
$F \approx mg$ nær bakken	$0{,}1\ \%$	$h \lesssim 3\ \text{km}$

Ordensvurdering av et ledd

\varepsilon

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.