7.2 Harmonisk oscillator: andreordens homogen ODE

$$\sum F(y_L) = 0$$

For en hengende fjær er $y_L = -mg/k$, altså der fjærkraften akkurat bærer tyngden. Likevektsposisjonen er en egenskap ved systemet, ikke ved bevegelsen: den er den samme uansett hvor mye eller lite loddet svinger.

Alle svingninger i dette kapitlet skjer omkring likevekten, og alle utslag måles fra den.

Grepet der du innfører en ny variabel $u = y - y_L$ — avstanden fra likevekten — og dermed gjør en inhomogen svingelikning homogen.

Det virker fordi $y_L$ er en konstant: de deriverte er upåvirket ($du/dt = dy/dt$ og $d^2u/dt^2 = d^2y/dt^2$), mens den konstante kraften nøyaktig oppheves av fjærkraften i likevektspunktet.

Å hoppe over substitusjonen er en av de dyreste feilene i sjanger G. Da blir likningen inhomogen, oppskriften for karakteristisk likning gjelder ikke direkte, og svingesenteret havner i feil punkt. Skriv alltid ut hva $u$ er, og hvor $u = 0$ ligger.

$$a\frac{d^2u}{dt^2} + b\frac{du}{dt} + cu = 0 \quad \longrightarrow \quad a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$$

Røttene $\lambda_1, \lambda_2$ bestemmer hva slags oppførsel systemet har, og løsningen bygges av $e^{\lambda_1 t}$ og $e^{\lambda_2 t}$.

Oppskriften med de tre rot-tilfellene står i Rottmann og skal slås opp, ikke pugges. Det som gir poeng, er å komme fram til riktig karakteristisk likning fra fysikken — det er verdt 2 poeng i en typisk deloppgave.

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{(fjær)}, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}} \quad \text{(pendel, små utslag)}$$

Enheten er radianer per sekund. Sammenhengen med svingeperioden og frekvensen i hertz er

$$T_p = \frac{2\pi}{\omega_0}, \qquad f = \frac{1}{T_p} = \frac{\omega_0}{2\pi}$$

Egenfrekvensen er bestemt bare av systemet — masse og stivhet — og aldri av hvor kraftig du setter det i gang. Legg merke til at $\omega_0$ leses rett av likningen: står det $d^2u/dt^2 = -64{,}0\,u$, er $\omega_0^2 = 64{,}0$ og $\omega_0 = 8{,}00\ \text{rad/s}$. Å svare $64{,}0$ er å forveksle frekvensen med kvadratet av den.

$$u(t) = A\cos\omega_0 t + B\sin\omega_0 t \quad = \quad C\cos(\omega_0 t + \varphi)$$

der

$$C = \sqrt{A^2 + B^2}, \qquad \tan\varphi = -\frac{B}{A}$$

$C$ er amplituden, altså det største utslaget fra likevekt, og $\varphi$ er fasekonstanten, som sier hvor i svingningen bevegelsen startet.

Den første formen er lettest å bruke når du skal sette inn initialbetingelser, fordi $A$ og $B$ da faller rett ut. Den andre er lettest å tolke og å tegne. Bruk den første til å regne og den andre til å svare — og oppgi alltid amplituden når oppgaven spør om «hvor langt» noe svinger.

$$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}, \qquad u(t) = Ce^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \varphi)$$

Systemet svinger, men amplituden krymper eksponentielt. Dette er det vanlige tilfellet i praksis: en gitarstreng, en fjæret bil på god vei, et lodd i luft.

Legg merke til at $\omega_d < \omega_0$ — demping gjør svingningen litt langsommere. For svak demping er forskjellen ørliten: med $\gamma = 0{,}60\ \text{s}^{-1}$ og $\omega_0 = 8{,}00\ \text{rad/s}$ er $\omega_d = 7{,}98\ \text{rad/s}$, altså $0{,}3\ \%$ lavere — mens amplituden i samme tid er halvert.

$$u(t) = (A + Bt)e^{-\gamma t}$$

Systemet svinger ikke i det hele tatt, men går tilbake til likevekt så raskt som mulig uten å passere den. Betingelsen skrevet ved de opprinnelige størrelsene er

$$b_{\text{kr}} = 2\sqrt{km}$$

Dette er den innstillingen støtdempere i biler, dørlukkere og måleinstrumenter siktes inn mot: en dør som er kritisk dempet, lukker seg raskt og smeller ikke.

$$u(t) = Ae^{\lambda_1 t} + Be^{\lambda_2 t}$$

Systemet kryper tilbake mot likevekt uten å svinge, og langsommere enn ved kritisk demping. En dør med for stram dørpumpe, eller et lodd som svinger i sirup, oppfører seg slik.

Fysisk lesning av de tre tilfellene: dempingen konkurrerer med fjærkraften. Vinner fjæra, får du svingninger; vinner dempingen, får du kryping; er de like sterke, får du grensetilfellet.

Tiden det tar før amplituden er halvert, følger direkte:

$$e^{-\gamma t_{1/2}} = \tfrac12 \quad \Longrightarrow \quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\gamma}$$

Halveringstiden er et praktisk mål på hvor «dødt» et system er, og den er uavhengig av hvor stort utslaget var i utgangspunktet — akkurat som halveringstiden ved radioaktiv nedbrytning.

$$F(x) = -\frac{dU}{dx} \quad \Longleftrightarrow \quad U(x) = -\int F(x)\,dx$$

Integrasjonskonstanten er fri: bare forskjeller i potensial har fysisk betydning. Potensialet er den potensielle energien fra kap. 5.1, sett som funksjon av posisjonen.

Grafen til $U(x)$ er et av de mest lesbare bildene i mekanikken: bunnene er stabile likevekter, toppene er ustabile, og krumningen i en bunn gir svingefrekvensen.

$$U''(x_0) > 0 \ \text{(bunn)}: \ \text{stabil} \qquad U''(x_0) < 0 \ \text{(topp)}: \ \text{ustabil}$$

Bare stabile likevekter gir svingninger. Prøver du lineariseringsformelen i en ustabil likevekt, får du $\omega^2 < 0$ — et signal om at løsningen ikke er en svingning, men en eksponentiell vekst vekk fra punktet.

Praktisk sjekk: en kule i bunnen av en bolle er stabil, en kule på toppen av en kuppel er ustabil. Regnestykket sier nøyaktig det samme.

Tallet $k_{\text{ef}} = -F'(x_0) = U''(x_0)$, altså hvor raskt den tilbakedrivende kraften vokser per meter utslag nær likevekten. Enheten er newton per meter, akkurat som en fjærkonstant.

For en ekte fjær er $k_{\text{ef}} = k$. For alt annet — en pendel, en ikke-lineær fjær, et molekyl — er $k_{\text{ef}}$ det tallet du må regne ut før du kan bruke formelen $\omega = \sqrt{k_{\text{ef}}/m}$.

Å bruke den opprinnelige $k$-en i stedet for $k_{\text{ef}}$ er en klassisk feil i oppgaver med ikke-lineære krefter, og den gir systematisk feil frekvens.

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\sin\theta \quad \xrightarrow{\ \text{små } \theta\ } \quad T_p = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$

Modellen er en idealisering. En ekte pendel har masse i snora og utstrekning i loddet, og da må treghetsmomentet med i regnestykket — det er en av de faste variantene i rotasjonsdelen av faget.

Merk at $\ell$ er valgt som symbol for lengden i denne boka. Bokstaven $L$ er reservert spinn i Del 6, og i en oppgave som blander svingninger og rotasjon ville sammenblandingen vært dyr.

Å erstatte $\sin\theta$ med $\theta$, gyldig når $\theta$ er liten og målt i radianer. Det er førsteordens Taylor-utvikling om $\theta = 0$, og feilen er av tredje orden: $\theta^3/6$.

Ved $\theta = 0{,}20$ rad ($11{,}5^\circ$) er $\sin\theta = 0{,}1987$, altså en feil på $0{,}7\ \%$ i selve kraften. Fordi feilen vokser som $\theta^3$, blir den fort merkbar ved store utslag — men den er ubetydelig i det området pendelklokker og laboratorieoppgaver arbeider i.

Samme tilnærming brukes hver gang en ikke-lineær kraft skal lineariseres om en likevekt, og den er verktøyet som knytter kap. 1.2 direkte til eksamensoppgavene i sjanger G.

$$u(t) = C\cos(\omega_0 t + \varphi)$$

Den oppstår alltid når den tilbakedrivende kraften er proporsjonal med utslaget og motsatt rettet, altså $F = -k_{\text{ef}}u$. Det er derfor den samme bevegelsen dukker opp i fjærer, pendler, molekylsvingninger og elektriske svingekretser — det er formen på kraftloven, ikke systemet, som avgjør.

$$T_p = \frac{2\pi}{\omega_0}, \qquad f = \frac{1}{T_p} = \frac{\omega_0}{2\pi}$$

Enhetene er sekund og hertz ($1\ \text{Hz} = 1\ \text{s}^{-1}$). Vinkelfrekvensen $\omega_0$ måles i radianer per sekund og er $2\pi$ ganger frekvensen i hertz — å blande de to er en av de vanligste tallfeilene i svingningsoppgaver.

Vi skriver perioden $T_p$ og ikke $T$, fordi $T$ betegner snordrag i denne boka.

$$F = -k(x - x_0)$$

Fjærkonstanten $k$ har enhet newton per meter og måler hvor stiv fjæra er. Loven er en tilnærming som gjelder for moderate utstrekninger; strekkes fjæra langt, blir den enten stivere eller slappere, og da må det ikke-lineære leddet med (se eksempel 4).

Hookes lov er selve grunnen til at harmoniske svingninger er så vanlige: den er førsteordens Taylor-utvikling av en hvilken som helst glatt kraft nær en likevekt.

Egenskapen at svingetiden er uavhengig av amplituden. Den gjelder for enhver ren harmonisk oscillator, fordi både utslaget og den tilbakedrivende kraften skaleres med samme faktor når amplituden endres.

Isokronien er grunnlaget for pendelur og for balansehjulet i mekaniske klokker. Den er også grunnen til at et musikkinstrument holder tonehøyden når du spiller svakere.

For en pendel gjelder isokronien bare tilnærmet, og den svikter merkbart over $30$–$40$ graders utslag.

$$\tan\varphi = -\frac{B}{A}$$

Fasekonstanten endrer ikke frekvensen eller amplituden — den flytter bare hele kurven sidelengs. Å velge $t = 0$ i et vendepunkt gir $\varphi = 0$ og en ren cosinus, og det er ofte det ryddigste valget når du selv kan bestemme når klokka startes.

De to uavhengige løsningene som den generelle løsningen bygges av. For den udempede oscillatoren er de $\cos\omega_0 t$ og $\sin\omega_0 t$; for den overkritisk dempede er de $e^{\lambda_1 t}$ og $e^{\lambda_2 t}$.

Enhver løsning er en sum $A \cdot (\text{første}) + B \cdot (\text{andre})$, og det følger av superposisjonsprinsippet for lineære homogene likninger. Antallet grunnløsninger er alltid lik ordenen — derfor to for en bevegelseslikning.

$$e^{i\omega t} = \cos\omega t + i\sin\omega t$$

som er grunnen til at en likning uten en eneste trigonometrisk funksjon i seg likevel får en svingende løsning. Realdelen av roten styrer hvor fort amplituden dør ut, og imaginærdelen styrer hvor fort systemet svinger.

Du trenger ikke regne med komplekse tall for å bruke resultatet: oppskriften i Rottmann gir deg den reelle formen direkte.

$$E = \tfrac12 k_{\text{ef}}C^2 = \tfrac12 m v_{\max}^2$$

I vendepunktene er all energi potensiell og farten null; i likevektspunktet er all energi kinetisk og farten størst. Det gir en nyttig snarvei: $v_{\max} = C\omega_0$.

Energiregnskapet er ofte den raskeste veien til ytterpunktene i en svingning, mens differensiallikningen trengs når spørsmålet gjelder tidsforløpet. Se kap. 5.1 for bakgrunnen.

$$\zeta = \frac{b}{b_{\text{kr}}} = \frac{b}{2\sqrt{km}} = \frac{\gamma}{\omega_0}$$

$\zeta < 1$ gir svingninger, $\zeta = 1$ er kritisk demping, og $\zeta > 1$ gir ren kryping tilbake. Fordi tallet er dimensjonsløst, kan det sammenliknes på tvers av helt ulike systemer — en bilfjæring og en måleinstrumentnål med samme $\zeta$ oppfører seg kvalitativt likt.

Den lengden en fjær har når ingen kraft virker på den. Posisjonen der loddet ville hengt hvis tyngden var borte.

For en fjær på et vannrett bord sammenfaller avspent lengde med likevektsposisjonen. For en hengende fjær gjør den det ikke: likevekten ligger $mg/k$ lenger nede.

Å blande de to er en klassisk feilkilde i oppgaver der loddet slippes «fra avspent lengde» — da er startutslaget fra likevekt nettopp $mg/k$, ikke null.

Punktet svingningen foregår omkring — alltid likevektsposisjonen, aldri fjærens avspente lengde og aldri startpunktet.

En konstant kraft som tyngden flytter svingesenteret, men lar frekvensen være uendret. Det er innholdet i substitusjonen $u = y - y_L$, og det er grunnen til at en fjær svinger like fort hengende som liggende.

$$\lvert a\rvert_{\max} = \omega_0^2 C$$

og den peker alltid inn mot likevekten. Kombinasjonen «største utslag, null fart, største akselerasjon» er et av de mest testede konseptspørsmålene på midtveiseksamen, som er ren flervalg.