3.2 Kraftmodeller og dekomponering på skråplan

$$\lvert \mathbf{f}_s \rvert \le \mu_s N$$

Den statiske friksjonen er akkurat så stor som den trenger å være for å holde legemet i ro — verken mer eller mindre — helt til den treffer taket $\mu_s N$. Skyver du lett på en tung kasse som ikke rikker seg, er friksjonen like stor som skyvet ditt, ikke $\mu_s N$.

Dette er den vanligste friksjonsfeilen: å sette $f_s = \mu_s N$ i en situasjon der ingenting glir. Bruk $\mu_s N$ bare når du spør etter grensen — «hvor bratt kan planet være?», «hvor hardt kan jeg skyve?».

$$\lvert \mathbf{f}_d \rvert = \mu_d N$$

Retningen er alltid mot den relative bevegelsen mellom flatene. Glir klossen nedover planet, peker friksjonen oppover; sendes den oppover, peker friksjonen nedover. Retningen må derfor drøftes i hver enkelt situasjon — den er ikke en egenskap ved planet, men ved bevegelsen.

I de fleste materialpar er $\mu_d$ litt mindre enn $\mu_s$. Det er derfor en tung kasse gjerne «løsner med et rykk» og deretter blir lettere å skyve.

De dimensjonsløse tallene $\mu_s$ (statisk) og $\mu_d$ (dynamisk) som knytter friksjonskraften til normalkraften. De avhenger av materialparet og av flatenes tilstand, ikke av kontaktflatens areal eller av farten — det er dette som gjør modellen så enkel.

Typiske verdier: gummi mot tørr asfalt $\mu_s \approx 0{,}8$, tre mot tre $\approx 0{,}4$, stål mot smurt stål $\approx 0{,}05$, ski mot snø $\approx 0{,}05$. Verdier over $1$ finnes (silikongummi mot glass), men er sjeldne — får du $\mu = 4$ i en oppgave, er det verdt en ekstra kontroll.

Notasjon: skriv alltid subskriptet. Et bart $\mu$ gjør det umulig for sensor å se om du mener grensen eller glidningen.

Friksjonen motvirker den relative bevegelsen (eller tendensen til relativ bevegelse) mellom flatene — ikke nødvendigvis legemets bevegelse i forhold til bakken.

Praktisk oppskrift i tre trinn:

1. spør: hvilken vei ville flatene glidd i forhold til hverandre uten friksjon?
2. tegn friksjonskraften motsatt vei;
3. sjekk fortegnet ditt mot figuren før du regner.

Poenget er at friksjonen ikke alltid bremser. Det er friksjonen fra veien som driver en bil framover: hjulet skyver bakover på asfalten, og asfalten skyver framover på hjulet.

$$\mathbf{F} = -k(x - x_0)$$

Her er $x_0$ fjærens naturlige lengde (likevektsstillingen) og $k$ fjærkonstanten. Minustegnet er selve poenget: kraften peker alltid tilbake mot $x_0$, og det er derfor en fjær gir svingninger. Formelen står på formelarket du får utdelt.

Modellens gyldighet: Hookes lov er en tilnærming som holder for små utslag. Strekker du fjæren for langt, blir sammenhengen ikke-lineær, og til slutt deformeres fjæren varig.

Tallet $k$ i Hookes lov, med enhet $\text{N/m}$ — kraften som trengs per meter utslag. En stiv fjær har stor $k$, en slapp fjær liten.

Praktisk størrelsesorden: en kulepennfjær har $k$ på noen få $\text{N/m}$, en bilfjær rundt $20\,000\ \text{N/m}$. Kombinerer du fjærer, gjelder at parallelle fjærer legger sammen $k$-ene sine, mens fjærer i serie blir slappere enn hver av dem. Fjærkonstanten dukker opp igjen som den avgjørende parameteren i svingninger, der egenfrekvensen blir $\omega_0 = \sqrt{k/m}$.

Til forskjell fra tyngden og fjærkraften er friksjonen ikke konservativ: den mekaniske energien den tar, kommer ikke tilbake. En kloss som sendes opp et skråplan og glir tilbake, returnerer alltid med lavere fart enn den ble sendt opp med, og differansen er blitt varme i kontaktflaten.

Praktisk konsekvens allerede nå: har du regnet ut en returfart som er større enn startfarten i en oppgave med friksjon, er noe galt. Selve energiregnskapet — arbeidet $W_f = -\mu_d N s$ — bygges ut i delen om arbeid og energi.

Punktmassemodellen forutsetter at legemet glir, ikke velter. Et høyt, smalt legeme kan tippe før hvilefriksjonen svikter — det skjer når tyngdens virkelinje faller utenfor understøttelsesflaten.

For en boks med bredde $b$ og høyde $h$ på et skråplan er velting kritisk før glidning dersom $\tan\theta$ når $b/h$ før den når $\mu_s$. Det er derfor høye laster surres og lave laster ikke gjør det. I dette kapitlet antar vi alltid glidning; nevnes velting i en oppgave, må angrepspunktene med, og da trengs kraftmoment — som kommer i delen om rotasjon.

Den faste oppskriften, som er verdt å automatisere:

1. tegn frilegemediagram med navngitte krefter og roterte akser;
2. skriv $\sum F_\perp = 0$ og finn $N$;
3. bestem friksjonens retning ut fra hvilken vei legemet glir (eller ville glidd);
4. skriv $\sum F_\parallel = ma$ med riktige fortegn;
5. løs, og oppgi retning og enhet;
6. kontroller med et grensetilfelle ($\mu \to 0$ eller $\theta \to 0$).

Steg 2 før steg 4 er ingen tilfeldighet: friksjonen kan ikke regnes ut før normalkraften er kjent.

Vinkelen $\theta$ mellom planet og vannrett. Det er den samme vinkelen som opptrer mellom tyngden og normalen til planet — og det er nettopp derfor $\cos\theta$ havner i den normale komponenten.

En helning oppgitt i prosent (som på veiskilt) er ikke en vinkel, men stigningstallet: $10\ \%$ betyr $\tan\theta = 0{,}10$, altså $\theta = 5{,}7^\circ$. Sjekk alltid hvilken av dem oppgaven bruker før du regner.

Legg merke til at den vokser med vinkelen: null på flatt underlag, hele $mg$ på en loddrett vegg. Sammen med at $N$ synker samtidig, forklarer det hvorfor bratte bakker er dobbelt vanskelige — mer drivkraft og mindre friksjonskapasitet.

Fordi friksjonstaket er $\mu N$, betyr en bratt helning ikke bare mer drivkraft, men også mindre friksjon å ta av. Det er den kombinasjonen som gjør at overgangen fra «ligger trygt» til «glir» kan komme brått.

Så snart en snor trekker skrått ut fra planet, en hånd presser ned, eller en ekstra kloss ligger oppå, må normalkraften regnes ut på nytt fra $\sum F_\perp = 0$. Regel for besvarelsen: skriv alltid opp den normale komponentlikningen, selv når svaret ser opplagt ut. Det er raskere enn å oppdage feilen tre deloppgaver senere.

Punktet der hvilefriksjonen når taket sitt, $f_s = \mu_s N$, og legemet er akkurat i ferd med å begynne å gli. Alle «hvor bratt kan …», «hvor hardt kan jeg skyve …» og «hva er minste friksjonstall …»-oppgaver handler om denne grensen.

Praktisk regel: bruk likhetstegnet $f_s = \mu_s N$ bare i grensetilfellet. I alle andre stillinger er hvilefriksjonen mindre, og bestemmes av likevekten — ikke av friksjonstallet.

Vinkelen $\theta_c = \arctan\mu_s$ der et legeme akkurat begynner å gli på et skråplan. Den gir en enkel måleoppskrift: hell et brett langsomt til gjenstanden glir, mål vinkelen, og du har lest av $\mu_s$ direkte.

Fordi både massen og $g$ faller ut av utledningen, er friksjonsvinkelen en ren materialegenskap — den samme på jorda, på månen og for en tung som for en lett kloss.

Massen faller ut, akkurat som i fritt fall, fordi både drivkraften og tregheten er proporsjonale med $m$. Resultatet er verdt å kjenne som et grensetilfelle: enhver formel du utleder med friksjon, skal gå over i dette når $\mu \to 0$.

Uttrykket er også Galileis klassiske innsikt: skråplanet er et «uttynnet fritt fall», der akselerasjonen kan gjøres liten nok til å måles med datidens klokker.

$$a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$$

For en kloss som er på vei oppover (friksjonen snur):

$$a = -g(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)$$

altså en større bremsing på vei opp enn på vei ned. Det er derfor et legeme alltid bruker kortere tid opp enn ned på et skråplan med friksjon — og kommer tilbake med lavere fart enn det ble sendt opp med.

Normalkraften og friksjonen er egentlig to komponenter av én kontaktkraft fra underlaget. Vi deler den i en normal og en tangentiell del fordi de to delene følger hver sin enkle modell.

Dette forklarer også hvorfor friksjonen har et tak proporsjonalt med $N$: presses flatene hardere sammen, kan kontakten overføre mer tangentiell kraft før den «glipper». Vinkelen mellom den samlede kontaktkraften og normalen er nettopp friksjonsvinkelen når glidning er i ferd med å starte.

Modellen $f \le \mu N$ (statisk) og $f = \mu N$ (glidende) heter Coulomb-friksjon. Den er en empirisk tilnærming, ikke en naturlov, og den har tydelige grenser:

- den antar at friksjonen er uavhengig av kontaktflatens areal og av farten;
- den bryter sammen for svært glatte flater, for smurte kontakter og ved høye hastigheter.

Likevel er den god nok for nesten alt i dette faget. Poenget er å vite at det er en modell: oppgavene sier alltid «friksjonstallet er …», og det er den opplysningen som gjør modellen anvendelig.

Motstanden mot at et hjul eller en kule ruller — den skyldes at underlaget og hjulet deformeres litt i kontaktpunktet, ikke at flatene glir mot hverandre.

Rullefriksjon er typisk 10 til 100 ganger mindre enn glidefriksjon for samme materialer, og det er hele grunnen til at hjulet er en god idé. I dette faget nevnes den bare for fullstendighetens skyld: oppgavene bruker glide- eller hvilefriksjon, og et rullende legeme uten glidning behandles med rullebetingelsen i delen om rotasjon.

Ligger snora parallelt med planet, går hele snordraget inn i komponentlikningen langs planet, og normalkraften er uberørt: $N = mg\cos\theta$.

Gjør snora vinkelen $\varphi$ med planet, splittes snordraget: $T\cos\varphi$ langs planet og $T\sin\varphi$ ut fra det. Da synker normalkraften til $N = mg\cos\theta - T\sin\varphi$, og friksjonen synker tilsvarende. To virkninger som trekker hver sin vei gir en optimal trekkvinkel — større jo større friksjonstallet er.

Lengden $x_0$ fjæren har når ingen kraft virker på den. Utslaget i Hookes lov måles alltid fra denne lengden, ikke fra fjærens ende eller fra origo i figuren din.

Den vanligste feilen er å sette inn fjærens totale lengde i stedet for utslaget $x - x_0$. Skriv derfor alltid ned hva $x_0$ er før du regner, og sjekk fortegnet: en trykt fjær skyver, en strukket fjær drar, og begge deler følger av minustegnet i modellen.

Å sette inn en ekstremverdi i et ferdig uttrykk og sjekke at svaret er fysisk fornuftig. På skråplan er de tre nyttigste:

- $\mu \to 0$: uttrykket skal gå over i det friksjonsfrie svaret, $a = g\sin\theta$;
- $\theta \to 0$: alt langs planet skal forsvinne, og $N \to mg$;
- $\theta \to 90^\circ$: $a \to g$ og $N \to 0$ — fritt fall.

Kontrollen koster ti sekunder og fanger fortegns- og faktorfeil. På eksamen er den ofte en egen poenggivende deloppgave, og den drilles systematisk i kap. 3.3.

Fire forutsetninger ligger under nesten hver oppgave i dette kapitlet, og de bør nevnes når du bruker dem:

- legemet behandles som en punktmasse (ingen rotasjon, ingen velting);
- friksjonen følger Coulomb-modellen med konstante friksjonstall;
- snorer er masseløse og uttøyelige, trinser masseløse og friksjonsfrie;
- luftmotstand neglisjeres.

Å skrive «vi antar …» i én linje er ikke pedanteri: det er nettopp det sensor kaller å begrunne, og det viser at du vet når svaret ditt slutter å gjelde.