4.1 Sentripetalkraft, loop og vertikal sirkel

Bevegelse langs en sirkelbane med konstant banefart. Ordet «uniform» betyr her bare at farten (tallverdien av hastigheten) ikke endrer seg; retningen gjør det hele tiden.

En uniform sirkelbevegelse er altså ikke en bevegelse uten akselerasjon. Hastigheten $\mathbf{v}$ har konstant lengde, men skifter retning kontinuerlig, og nettopp den retningsendringen er akselerasjonen.

$$\omega = \frac{d\theta}{dt}$$

Enheten er radianer per sekund, $\text{rad/s}$. Radianen er dimensjonsløs, så i en benevningskontroll teller $\text{rad/s}$ som $1/\text{s}$ — det er verdt å huske når du kontrollerer et uttrykk.

$$T_p = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi}{\omega}$$

Enhet: sekund. Den omvendte størrelsen, $f = 1/T_p$, kalles frekvensen og måles i hertz ($\text{Hz}$), altså omløp per sekund.

$$v = \omega R$$

Her er $v$ i $\text{m/s}$, $\omega$ i $\text{rad/s}$ og $R$ i meter. Formelen sier noe fysisk: to punkter på samme roterende skive har samme vinkelfart, men det ytterste har størst banefart.

$$a_r = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$

Enhet: $\text{m/s}^2$. Fordi den står vinkelrett på farten, endrer den bare retningen på bevegelsen, aldri farten. Det er også grunnen til at en normalkraft som peker inn mot sentrum aldri gjør arbeid på legemet.

Krumningsradien $\rho$ er radien i den sirkelen som ligger tettest inntil banen i et punkt. For en sirkelbane er den ganske enkelt lik baneradien, $\rho = R$, i alle punkter.

Poenget med å holde de to symbolene fra hverandre er at $\rho$ også er definert for baner som ikke er sirkler — en spiral, en parabelbane, en sving som strammer seg til. Da varierer $\rho$ fra punkt til punkt, mens $v^2/\rho$ fortsatt gir akselerasjonen på tvers av banen.

$$F_{\text{sentripetal}} = \sum F_r = \frac{mv^2}{R}$$

I én situasjon er det snordraget som spiller rollen, i en annen normalkraften, i en tredje friksjonen, i en fjerde gravitasjonen. Spørsmålet «hva er sentripetalkraften her?» betyr derfor alltid: hvilke virkelige krefter summerer seg til $mv^2/R$?

Konsekvensen for tegningen er absolutt: en sentripetalkraft skal aldri tegnes inn som en egen pil i et frilegemediagram. Da har du talt den samme kraften to ganger.

Den radielle retningen er linja fra legemet til sirkelens sentrum. Før du skriver en eneste likning, bestemmer du deg for hva som er positiv radiell retning — nesten alltid inn mot sentrum, fordi akselerasjonen peker den veien og høyresiden da blir positiv.

Deretter får hver kraft fortegn etter valget ditt: krefter inn mot sentrum teller positivt, krefter ut fra sentrum negativt. Skriv valget ned i besvarelsen. Halvparten av fortegnsfeilene i vertikale sirkler kommer av at kandidaten byttet konvensjon underveis uten å merke det.

$$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$$

Uttrykket er uavhengig av massen, og det er en øvre grense, ikke en fart bilen må ha. Den kommer av at friksjonen er den eneste kraften med komponent inn mot sentrum, kombinert med taket $f_s \le \mu_s N$.

Legg merke til at farten vokser som kvadratroten: firedobler du radien, dobler du bare maksfarten.

To krefter virker: snordraget $\mathbf{T}$ langs snora og tyngden $m\mathbf{g}$ nedover. Dekomponerer du snordraget, gir den loddrette delen likevekt og den vannrette delen hele sentripetalkraften:

$$T\cos\theta = mg, \qquad T\sin\theta = \frac{mv^2}{R}$$

Deler du den nederste likningen på den øverste, forsvinner både $T$ og $m$:

$$\tan\theta = \frac{v^2}{gR}$$

Dette er samme struktur som den doserte svingen i kap. 4.2 — der er det normalkraften som spiller snordragets rolle.

$$N \ge 0$$

Blir det utregnede uttrykket for $N$ negativt, betyr det ikke at kraften «peker andre veien». Det betyr at kontakten er brutt: legemet har forlatt banen, og modellen gjelder ikke lenger.

$N = 0$ er derfor grensetilfellet — akkurat i det øyeblikket berører legemet fortsatt banen, men uten å presse mot den. Alle «hvor fort må den minst gå?»-oppgaver i dette kapitlet bygger på nettopp den betingelsen.

Betingelsen $v_{\text{topp}} \ge \sqrt{gR}$ gjelder bare når banen kun kan skyve utenfra og inn — en vogn på innsiden av en loop, en bøtte i enden av en snor, en kule på innsiden av en sylinder.

Er legemet festet i en stiv stang eller går det i et rør eller i et spor som griper om det, kan banen både skyve og trekke. Da er ikke $N \ge 0$ noe krav lenger, og legemet kan i prinsippet krype rundt toppen med vilkårlig liten fart.

Les derfor oppgaveteksten nøye: ordene «snor», «tau» og «på innsiden av» utløser minstefartsbetingelsen, mens «stiv stang», «rør» og «i et spor» slår den av. Sensor belønner den som sier hvilket av tilfellene som gjelder.

$$N = m\left(\frac{v^2}{R} + g\right)$$

altså alltid større enn $mg$. Forholdet $N/(mg)$ kalles gjerne belastningen i «antall $g$»: er $N = 4mg$, sier man at passasjeren kjenner $4\,g$.

I toppen av loopen er det motsatte tilfellet: der er $N = m(v^2/R - g)$, og ved minstefarten blir $N = 0$ — det er den korte følelsen av vektløshet berg-og-dal-baner selges på.

$$K = \tfrac12 mv^2$$

Enheten er joule, $\text{J} = \text{N}\cdot\text{m} = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2$. Energi er en skalar — den har ingen retning, og skal derfor aldri skrives med vektormarkering. Legg merke til at farten inngår kvadratisk, akkurat som i sentripetalakselerasjonen.

$$U = mgy$$

der $y$ måles fra et referansenivå du velger selv. Valget er fritt fordi bare differanser i $U$ har fysisk betydning; i loop-oppgaver er det praktisk å legge $y = 0$ i bunnen av banen.

Si alltid i besvarelsen hvor nullnivået ditt ligger. Halvparten av fortegnsforvirringen i energiregnskaper kommer av et referansenivå som aldri ble skrevet ned.

Den er bevart — altså den samme før og etter — når bare krefter som lagrer energi gjør arbeid på legemet. På en friksjonsfri loop er den betingelsen oppfylt, og begrunnelsen er verdt å skrive ut hver gang:

> Tyngden er den eneste kraften som gjør arbeid. Normalkraften står vinkelrett på > bevegelsen i hvert punkt, og en kraft vinkelrett på farten gjør ikke arbeid.

$$\tfrac12 mv_1^2 + mgy_1 = \tfrac12 mv_2^2 + mgy_2$$

Betingelsen er det som gir poeng. Å bruke likningen uten å si hvorfor den gjelder, koster $-1$ poeng (felle #7 — bevaringslov brukt uten begrunnelse). Er banen ru, gjelder den ikke lenger, og da må friksjonsarbeidet inn i regnskapet — det er tema i kap. 5.1.

Sirkelbevegelse der banefarten endrer seg — for eksempel en kule som svinger i en vertikal sirkel og går saktere i toppen enn i bunnen.

Da er begge leddene i baneakselerasjonen med: én komponent inn mot sentrum, $v^2/R$, og én langs banen, $\dot v$. De to behandles i hver sin likning, og du trenger som regel bare den radielle for å svare på kraftspørsmålene.

Komponenten av akselerasjonen langs banen, $a_T = \dot v$. Den endrer farten, ikke retningen.

I en vertikal sirkel er det tyngdens komponent langs banen som gir den. I toppunktet og bunnpunktet er tyngden loddrett og banen vannrett, så der er den tangentielle akselerasjonen null — det er nettopp derfor de to punktene er så greie å regne på. Der snora er vannrett, er situasjonen motsatt: hele tyngden er tangentiell, og $a_T = g$.

$$\omega = 2\pi f$$

I tekniske oppgaver oppgis rotasjon ofte som omdreininger per minutt. Del på $60$ for å få frekvensen i hertz, og gang med $2\pi$ for å få vinkelfarten i $\text{rad/s}$. Å hoppe over det første steget er en klassisk regnefeil.

Følelsen av vektløshet oppstår når normalkraften fra underlaget er null, ikke når tyngden forsvinner.

I toppen av en loop skjer det ved $v_{\text{topp}} = \sqrt{gR}$: da er tyngden akkurat den kraften som trengs for å bøye banen, og setet trenger ikke bidra. Legemet er da i fritt fall, men faller langs sirkelen i stedet for rett ned. Det er samme fenomen som holder astronauter «vektløse» i en romstasjon i bane.

Forholdet mellom normalkraften fra underlaget og tyngden, $N/(mg)$. En passasjer som kjenner $N = 4mg$, sier gjerne at hun opplever «$4\,g$».

I bunnen av en sirkelbane er belastningen $v^2/(gR) + 1$, altså alltid større enn 1. Størrelsen er dimensjonsløs, og den brukes fordi kroppens tåleevne henger sammen med forholdet til normal tyngde, ikke med kraften i newton.

Tre piler hører ikke hjemme i et frilegemediagram for sirkelbevegelse:

- en pil merket «sentripetalkraft» — den er resultanten av de andre;
- en pil som peker ut fra sentrum for å forklare at man «kastes utover» — i et inertialsystem finnes den ikke;
- massen ganger akselerasjonen, $mv^2/R$, tegnet som en kraft — det er høyresiden i Newtons 2. lov, ikke en kraft på legemet.

Alle tre koster poeng. Tegn bare krefter med en navngitt kilde: et underlag, en snor, jordas tyngde, en flate som gnisser.

Fire innsettinger tar femten sekunder hver og fanger de fleste regnefeil:

- $R \to \infty$ (rett bane): sentripetalkraften skal gå mot null.
- $v \to 0$: normalkraften i bunnen skal gå mot $mg$, altså vanlig hvile.
- $g \to 0$ (tenkt vektløs verden): topp- og bunnlikningen skal bli identiske.
- $\mu_s \to 0$ i en flat sving: maksfarten skal gå mot null.

Får du et annet svar enn det som er fysisk opplagt, ligger feilen nesten alltid i et fortegn.

Formelen $\sum F_r = mv^2/R$ forutsetter at legemet faktisk følger sirkelen. Den forutsetningen kan briste:

- en vogn i en loop mister kontakten når $N$ ville blitt negativ, og går over i et fritt kast (se kap. 2.2);
- en bil i en sving glir ut når kravet overstiger $\mu_s N$;
- en snor blir slakk når det utregnede snordraget ville blitt negativt.

I alle tre tilfellene er svaret det samme: modellen din gjelder ikke lenger, og besvarelsen bør si det uttrykkelig. Sensor premierer den som ser når en modell slutter å gjelde.