4.2 Dosert sving, spiralbane og drill (sjanger E)

Dosert sving med friksjon (Daytona) — drøft friksjonsretningen — og spiralbanen der bare `v cos θ` inngår i `v²/R`.

75 min

18 oppgaver

Dosert svingspiralbanedrill (sjanger E)

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Sentripetalkraft, loop og vertikal sirkel

Brukes videre i

4.PPrøver til del 4: Sirkelbevegelse og sentripetalkraft

Dette er de tunge variantene av sirkeloppgaven. Sirkelbevegelse — sjanger E, altså oppgavetypen der noe følger en krum bane og spørsmålet er hvilke krefter som holder det der — forekommer i 5 av 7 sett (71 %). Når sensor vil skille kandidatene, kommer den i én av to former:

- dosert sving, altså en sving med sidefall, der du må dekomponere både normalkraften og friksjonen — og drøfte hvilken vei friksjonen peker. Det siste er der toppoengene ligger; regnestykket alene holder ikke;
- spiralbane, der bare den vannrette delen av farten inngår i $v^2/R$ . Bruker du hele farten, får du et svar som kan være halvannen gang for stort.

Andre halvdel av kapitlet er en sjangerdrill: én fast oppskrift for hele sjanger E og et gjennomregnet eksamenscase med margnotater om hvor poengene sitter, etterfulgt av oppgaver på eksamensnivå.

Prioritet: bør sitte. Kommer temaet, er de doserte og spiralformede variantene nesten alltid der de vanskeligste deloppgavene ligger.

Forkunnskaper — sist du var her

Kapitlet bygger direkte på kap. 4.1 og på kraftmodellene i kap. 3.2. Det du trenger, oppfrisket:

Newtons 2. lov i radiell retning — høyresiden er allerede kjent:

$\sum F_r = \frac{mv^2}{R}$

der positiv retning er inn mot sentrum, og summen går over de virkelige kreftene. Ingen «sentripetalkraft» tegnes inn som egen pil.

Statisk friksjon er en ulikhet:

$\lvert\mathbf{f}_s\rvert \le \mu_s N$

Likhetstegnet gjelder bare i grensetilfellet, altså når du spør etter maksfarten eller minstefarten. Retningen på friksjonen må drøftes hver gang — den er ikke en egenskap ved vegen, men ved hvilken vei legemet er i ferd med å gli.

Den koniske pendelen fra kap. 4.1: $\tan\theta = v^2/(gR)$ . Den doserte svingen har nøyaktig samme struktur, bare med normalkraft i stedet for snordrag.

Fra matematikken trenger du grunnleggende trigonometri og Trigonometriske identiteter.

Notasjon i dette kapitlet: doseringsvinkelen (sidefallet) skrives $\alpha$ , målt fra vannrett. Merk: $\alpha$ brukes i Del 6 om vinkelakselerasjon — her i Del 4 betyr $\alpha$ utelukkende banens helningsvinkel, og vinkelakselerasjon forekommer ikke i kapitlet. Spiralens stigningsvinkel skrives $\theta$ , målt fra vannrett. Baneradien er $R$ (målt vannrett fra spiralaksen), snordrag $T$ , omløpstid $T_p$ . Vi regner med $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

Løkke 1 — den doserte svingen uten friksjon (~20 min)

Kjør av en motorvei i en lang sving, og legg merke til at vegbanen heller innover. Det er ikke tilfeldig: sidefallet gjør at normalkraften fra vegen får en komponent inn mot svingens sentrum. Da trenger ikke friksjonen gjøre hele jobben — og bilen holder svingen selv på glatt føre.

Vi starter med det reneste tilfellet: en sving som er dosert akkurat passe til farten, slik at det ikke trengs friksjon i det hele tatt.

Dosering (sidefall)

\alpha

Den ideelle farten — utledningen du skal kunne

Steg 1 — velg akser. Her er den viktigste avgjørelsen i hele oppgaven: legg aksene vannrett og loddrett, ikke langs banen.

Intuisjon: akselerasjonen peker inn mot svingens sentrum, og det sentrum ligger vannrett fra bilen. Legger du aksene langs planet slik du gjorde på skråplanet, får du akselerasjonskomponenter i begge retninger og et rot av likninger.

Steg 2 — dekomponér normalkraften. $\mathbf{N}$ står vinkelrett på vegbanen, som heller vinkelen $\alpha$ . Da danner $\mathbf{N}$ vinkelen $\alpha$ med loddlinja:

$N_{\text{loddrett}} = N\cos\alpha, \qquad N_{\text{vannrett}} = N\sin\alpha \ (\text{inn mot sentrum})$

Intuisjon: jo brattere sidefall, desto mer av normalkraften peker innover og desto mindre peker oppover. Ved $\alpha = 0$ er hele normalkraften loddrett — det er den flate svingen fra kap. 4.1.

Steg 3 — skriv de to likningene. Uten friksjon virker bare $\mathbf{N}$ og $m\mathbf{g}$ . Bilen beveger seg ikke opp eller ned, så loddrett akselerasjon er null:

$\text{loddrett:} \quad N\cos\alpha - mg = 0$
$\text{vannrett (inn mot sentrum):} \quad N\sin\alpha = \frac{mv^2}{R}$

Intuisjon: den ene likningen sier at bilen ikke synker gjennom vegen, den andre at den svinger. To likninger, to ukjente ( $N$ og $v$ ).

Steg 4 — del den nederste på den øverste. Da forsvinner både $N$ og $m$ :

$\tan\alpha = \frac{v^2}{gR} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{gR\tan\alpha}$

Intuisjon: dette er nøyaktig samme uttrykk som for den koniske pendelen i kap. 4.1. Fysikken er den samme — en skrå kraft som både bærer og svinger — bare med normalkraft i stedet for snordrag.

Steg 5 — kontroller. Enheten: $\sqrt{\text{m/s}^2 \cdot \text{m}} = \text{m/s}$ ✓. Grensen $\alpha \to 0$ gir $v \to 0$ : en flat sving krever friksjon, ellers kan du ikke svinge i det hele tatt ✓. Grensen $\alpha \to 90^\circ$ gir $v \to \infty$ : en loddrett vegg må passeres uendelig fort, og da er det heller ikke noe igjen til å bære bilen ✓.

📜Ideell fart i en dosert sving

I en sving med radius

R

og doseringsvinkel

\alpha

finnes nøyaktig én fart der det ikke trengs friksjon i det hele tatt:

$\tan\alpha = \frac{v^2}{gR} \quad \Longleftrightarrow \quad v_{\text{ideell}} = \sqrt{gR\tan\alpha}$

Uttrykket er uavhengig av massen: en fullastet lastebil og en motorsykkel har samme ideelle fart i samme sving.

Kjører du fortere enn dette, er normalkraftens vannrette komponent for liten, og friksjonen må hjelpe til nedover langs banen. Kjører du saktere, er den for stor, og friksjonen må virke oppover langs banen for å hindre at bilen sklir innover og ned.

Ideell fart (friksjonsfri fart)

v_{\text{ideell}} = \sqrt{gR\tan\alpha}

Normalkraften i en dosert sving

N = \frac{mg}{\cos\alpha}

✏️Eksempel 1: Doseringen i en motorveisving

En avkjøringssving på en motorveg har radius $220\ \text{m}$ og er dosert med $\alpha = 12{,}0^\circ$ .

a) Finn den ideelle farten gjennom svingen.

b) En bil med masse $1\,400\ \text{kg}$ kjører i akkurat denne farten. Hvor stor er normalkraften fra vegbanen?

c) Hvor stor er friksjonskraften i dette tilfellet?

Metodevalg først: bilen går i sirkel med konstant fart, så resultanten vannrett er

mv^2/R

inn mot sentrum og resultanten loddrett er null. Ved ideell fart er friksjonen null, så bare

\mathbf{N}

m\mathbf{g}

er med.

$v_{\text{ideell}} = \sqrt{gR\tan\alpha} = \sqrt{9{,}81 \cdot 220 \cdot \tan 12{,}0^\circ} = \sqrt{9{,}81 \cdot 220 \cdot 0{,}2126} = \sqrt{458{,}8}$

$v_{\text{ideell}} = 21{,}4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 77\ \text{km/h}$

langs banen. Det er et plausibelt tall for en avkjøring, og det er nettopp poenget med doseringen: den er dimensjonert for den farten trafikken faktisk holder.

b) Fra den loddrette likningen:

$N\cos\alpha = mg \quad \Rightarrow \quad N = \frac{mg}{\cos\alpha} = \frac{1\,400 \cdot 9{,}81}{\cos 12{,}0^\circ} = \frac{13\,734}{0{,}9781} = 1{,}40 \cdot 10^{4}\ \text{N}$

rettet vinkelrett ut fra vegbanen. Tyngden er $1{,}37\cdot 10^4\ \text{N}$ , så normalkraften er om lag $2\ \%$ større — akkurat som $1/\cos 12^\circ = 1{,}022$ tilsier.

c) Null. Ved ideell fart er normalkraftens vannrette komponent akkurat lik $mv^2/R$ , så det er ingenting igjen for friksjonen å bidra med. Statisk friksjon leverer bare det som kreves, og her kreves ingenting.

Kontroll: $N\sin\alpha = 1{,}404\cdot 10^4 \cdot 0{,}2079 = 2{,}92\cdot 10^3\ \text{N}$ , og $mv^2/R = 1\,400 \cdot 458{,}8/220 = 2{,}92\cdot 10^3\ \text{N}$ . De stemmer overens. ✓

📝Oppgave 1

a) Forklar med egne ord hvorfor en dosert sving gjør det lettere å svinge enn en flat sving.

b) Hvorfor inneholder ikke uttrykket $v_{\text{ideell}} = \sqrt{gR\tan\alpha}$ bilens masse?

📝Oppgave 2

En jernbanekurve har radius $150\ \text{m}$ og skal doseres slik at et tog i $14{,}4\ \text{m/s}$ ikke gir sidekrefter mot skinnene.

a) Finn doseringsvinkelen.

b) Toget kjører i stedet med $20{,}0\ \text{m/s}$ gjennom samme kurve. Hvilken vei må den vannrette kraften fra skinnene peke, og hvorfor?

c) Hva skjer med den nødvendige doseringsvinkelen om radien dobles ved samme fart?

Løkke 2 — dosert sving med friksjon (~25 min)

— naturlig pausepunkt —

I virkeligheten kjører ingen akkurat den ideelle farten. Da må friksjonen inn, og med den kommer spørsmålet som avgjør toppoengene: hvilken vei peker den?

Svaret er alltid det samme prinsippet fra kap. 3.2: friksjonen motsetter seg den bevegelsen som er i ferd med å skje. Så du må først spørre deg hvilken vei bilen ville glidd.

Friksjonsretningen i en dosert sving

v > v_{\text{ideell}}

Maks- og minfart — utledningen du skal kunne

Steg 1 — sett opp likningene for maksfarten. Ved maksfart er bilen på nippet til å skli opp og ut, så friksjonen peker ned langs banen med sin største verdi $f = \mu_s N$ . Dekomponér begge kreftene vannrett og loddrett:

$\text{loddrett:} \quad N\cos\alpha - \mu_s N\sin\alpha - mg = 0$
$\text{vannrett (inn):} \quad N\sin\alpha + \mu_s N\cos\alpha = \frac{mv^2}{R}$

Intuisjon: friksjonen peker skrått nedover langs banen. Den har derfor en komponent nedover (som trekker fra i den loddrette likningen) og en komponent innover (som legger til i den radielle). Begge fortegnene følger av retningsvalget, ikke av hukommelsen.

Steg 2 — del den radielle likningen på den loddrette. Både $N$ og $m$ forsvinner:

$\frac{v^2}{gR} = \frac{\sin\alpha + \mu_s\cos\alpha}{\cos\alpha - \mu_s\sin\alpha} = \frac{\tan\alpha + \mu_s}{1 - \mu_s\tan\alpha}$

der siste form fås ved å dele teller og nevner på $\cos\alpha$ .

Intuisjon: uttrykket er den ideelle farten «pluss litt friksjon». Sett $\mu_s = 0$ , og du får $\tan\alpha$ tilbake.

Steg 3 — minstefarten får du ved å snu friksjonen, altså erstatte $\mu_s$ med $-\mu_s$ :

$v_{\min} = \sqrt{gR\,\frac{\tan\alpha - \mu_s}{1 + \mu_s\tan\alpha}}$

Intuisjon: nå hjelper friksjonen til med å holde bilen oppe i stedet for inne, og begge fortegnene snur.

Steg 4 — les av når uttrykkene gir mening. Er $\mu_s \ge \tan\alpha$ , blir telleren i $v_{\min}$ negativ. Det betyr ikke at farten er imaginær: det betyr at friksjonen er sterk nok til å holde bilen på plass selv i ro, og at det da ikke finnes noen nedre fartsgrense. Skriv da $v_{\min} = 0$ og forklar hvorfor.

Uttrykket for $v_{\max}$ har en tilsvarende begrensning: nevneren $1 - \mu_s\tan\alpha$ må være positiv. Er $\mu_s\tan\alpha \ge 1$ — svært bratt dosering og svært godt veigrep — finnes ingen øvre grense fra glidning i det hele tatt, og andre effekter (velting, dekkenes tåleevne) overtar.

📜Maks- og minfart i en dosert sving

For en sving med radius

R

, doseringsvinkel

\alpha

og statisk friksjonstall

\mu_s

$v_{\max} = \sqrt{gR\,\frac{\tan\alpha + \mu_s}{1 - \mu_s\tan\alpha}} \qquad (\text{krever } \mu_s\tan\alpha < 1)$

$v_{\min} = \sqrt{gR\,\frac{\tan\alpha - \mu_s}{1 + \mu_s\tan\alpha}} \qquad (\text{bare når } \mu_s < \tan\alpha; \text{ ellers } v_{\min} = 0)$

Begge er uavhengige av massen, og begge inneholder den ideelle farten som $\mu_s = 0$ -tilfellet. Rekkefølgen er alltid

$v_{\min} \le v_{\text{ideell}} \le v_{\max}$

og det er en billig kontroll å sjekke at tallene dine faktisk kommer i den rekkefølgen.

Når finnes det ingen fartsgrenser?

\mu_s \ge \tan\alpha

Typiske feil — dosert sving

1. Å ikke drøfte friksjonsretningen. Dette er den dyreste feilen i sjangeren. Skriver du bare opp en formel og setter inn tall, får du sjelden full uttelling — gjennomgangskravet på hvert sett er at alle svar må begrunnes. Én setning holder: «Ved maksfart er bilen i ferd med å skli opp og ut, så friksjonen peker ned langs banen.»

2. Å sette $N = mg$ . I en dosert sving er $N = mg/\cos\alpha$ ved ideell fart, og noe annet ved andre farter. $N = mg$ gjelder bare på flat veg.

3. Å dekomponere langs planet. På skråplanet i kap. 3.2 la vi aksene langs og normalt på flaten, fordi akselerasjonen gikk langs flaten. Her går akselerasjonen vannrett inn mot sentrum, så aksene skal ligge vannrett og loddrett. Bytter du dette, ender du med akselerasjonskomponenter i begge likningene.

4. Å behandle friksjonen som fast $\mu_s N$ . Statisk friksjon er en ulikhet (felle #12 — likhetstegn der det skulle stått ulikhet). Likhetstegnet gjelder bare når du spør etter en grense. Ved en oppgitt fart mellom $v_{\min}$ og $v_{\max}$ er friksjonen mindre enn taket, og da må du regne den ut fra likningene, ikke sette den til $\mu_s N$ .

✏️Eksempel 2: Den bratt doserte ovalbanen (eksamensnivå)

En ovalbane for motorsport har svinger med radius $300\ \text{m}$ og en dosering på $\alpha = 31{,}0^\circ$ . Friksjonstallet mellom dekk og banedekke er $\mu_s = 0{,}20$ på et regnvått løp.

a) Finn den ideelle farten.

b) Finn den største farten en bil kan holde uten å skli ut. Forklar hvilken vei friksjonen peker.

c) Finn den minste farten en bil kan holde uten å skli innover.

d) Kontroller svarene med et grensetilfelle.

Metodevalg først: bilen går i sirkel med konstant fart, så resultanten vannrett er

mv^2/R

inn mot sentrum og resultanten loddrett er null. Tre krefter virker: normalkraften vinkelrett på banen, den statiske friksjonen langs banen og tyngden. Aksene legges vannrett og loddrett, fordi akselerasjonen er vannrett.

Vi trenger $\tan 31{,}0^\circ = 0{,}6009$ og $gR = 9{,}81 \cdot 300 = 2\,943\ \text{m}^2/\text{s}^2$ .

$v_{\text{ideell}} = \sqrt{gR\tan\alpha} = \sqrt{2\,943 \cdot 0{,}6009} = \sqrt{1\,768} = 42{,}1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} = 151\ \text{km/h}$

Sensorblikk: her gis poeng for oppsettet med de to likningene, ikke bare for tallet. Skriv dem opp selv om du husker sluttformelen.

b) Retningsdrøftingen først: ved farter over den ideelle er normalkraftens innoverkomponent for liten til å levere $mv^2/R$ . Bilen er da i ferd med å skli opp og ut av svingen, og siden friksjonen alltid motsetter seg den bevegelsen som er i ferd med å skje, peker den ned langs banen. Ved maksfarten er den på sitt tak, $f = \mu_s N$ .

$\text{loddrett:} \quad N\cos\alpha - \mu_s N \sin\alpha = mg$
$\text{vannrett:} \quad N\sin\alpha + \mu_s N\cos\alpha = \frac{mv^2}{R}$

Deler vi den nederste på den øverste:

$v_{\max} = \sqrt{gR\,\frac{\tan\alpha + \mu_s}{1 - \mu_s\tan\alpha}} = \sqrt{2\,943 \cdot \frac{0{,}8009}{0{,}8798}} = \sqrt{2\,679} = 51{,}8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

altså $186\ \text{km/h}$ langs banen.

Sensorblikk: setningen om friksjonsretningen er selvstendig poenggivende. Uten den er besvarelsen ufullstendig, uansett hvor riktig tallet er.

— naturlig pausepunkt —

c) Ved farter under den ideelle er innoverkomponenten for stor, og bilen er i ferd med å skli ned og inn. Friksjonen peker da opp langs banen, og de to fortegnene snur:

$v_{\min} = \sqrt{gR\,\frac{\tan\alpha - \mu_s}{1 + \mu_s\tan\alpha}} = \sqrt{2\,943 \cdot \frac{0{,}4009}{1{,}1202}} = \sqrt{1\,053} = 32{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

altså $117\ \text{km/h}$ . Her er $\mu_s = 0{,}20 < \tan\alpha = 0{,}601$ , så uttrykket gir en reell nedre grense: doseringen er så bratt at en bil som kjører for sakte, faktisk sklir innover.

d) Kontroller. Først rekkefølgen: $32{,}5 < 42{,}1 < 51{,}8$ ✓ — maksfarten er størst og minstefarten minst, slik den må være.

Så grensetilfellet $\mu_s \to 0$ : begge uttrykkene går mot $\sqrt{gR\tan\alpha} = v_{\text{ideell}}$ . Uten friksjon finnes bare én mulig fart ✓.

Og $\alpha \to 0$ (flat bane): $v_{\max} \to \sqrt{\mu_s gR}$ , som er akkurat resultatet for en flat sving fra kap. 4.1, mens telleren i $v_{\min}$ blir negativ — det finnes ingen nedre grense på flat veg ✓.

📝Oppgave 3

En avkjøringssving har radius $120\ \text{m}$ , dosering $\alpha = 18{,}0^\circ$ og tørt asfaltdekke med $\mu_s = 0{,}55$ .

a) Finn den ideelle farten.

b) Finn maksfarten, og oppgi den i $\text{km/h}$ .

c) Finnes det en minstefart her? Begrunn svaret.

📝Oppgave 4

En bil med masse $1\,250\ \text{kg}$ kjører med $25{,}0\ \text{m/s}$ gjennom en sving med radius $200\ \text{m}$ og dosering $\alpha = 15{,}0^\circ$ .

a) Er farten større eller mindre enn den ideelle? Hvilken vei peker friksjonen?

b) Finn normalkraften og friksjonskraften ved denne farten.

c) Hvor stort må friksjonstallet minst være?

Løkke 3 — spiralbanen (~15 min)

En korketrekker i en berg-og-dal-bane, en spiralformet avkjøringsrampe i et parkeringshus, en vannsklie som snor seg rundt en søyle: dette er spiralbaner, eller helikser.

Her er det én ting som må sitte, og den er hele oppgaven: det er bare den vannrette delen av farten som krummer banen. Den loddrette delen bærer legemet opp eller ned, men bidrar ikke til sirkelbevegelsen.

Spiralbane (heliks)

R

📜Sentripetalakselerasjon i en spiralbane

For et legeme som følger en spiral med radius

R

og stigningsvinkel

\theta

, med farten

v

langs banen, er akselerasjonen inn mot aksen

$a_r = \frac{(v\cos\theta)^2}{R} = \frac{v^2\cos^2\theta}{R}$

Den loddrette fartskomponenten $v\sin\theta$ er konstant og bidrar ikke: den endrer hverken retning eller størrelse så lenge stigningen er jevn.

Bruker du hele farten i stedet, får du et svar som er $1/\cos^2\theta$ ganger for stort. Ved $\theta = 35^\circ$ er det nesten $50\ \%$ for mye — nok til å ødelegge hele deloppgaven.

Hvorfor bare den vannrette delen teller

Steg 1. Del hastigheten i to: én komponent i det vannrette planet, $v_h = v\cos\theta$ , og én langs aksen, $v_z = v\sin\theta$ .

Intuisjon: de to er uavhengige, akkurat som $x$ - og $y$ -bevegelsen i et skrått kast (se kap. 2.2).

Steg 2. Se på bevegelsen ovenfra. Da forsvinner den loddrette delen helt, og det du ser, er en ren sirkelbevegelse med radius $R$ og fart $v_h$ .

Intuisjon: skyggen av legemet på bakken går i sirkel. Det er skyggen som svinger, og akselerasjonen inn mot aksen er nøyaktig skyggens akselerasjon.

Steg 3. Er stigningen jevn, er $v_z$ konstant, og den bidrar derfor ingenting til akselerasjonen:

$a_r = \frac{v_h^2}{R} = \frac{v^2\cos^2\theta}{R}$

Intuisjon: en konstant fartskomponent er per definisjon uten akselerasjon.

Steg 4 — kontroller. Ved $\theta = 0$ (ingen stigning) gir uttrykket $a_r = v^2/R$ , den vanlige sirkelen ✓. Ved $\theta \to 90^\circ$ (loddrett opp) går $a_r \to 0$ : banen er da en rett loddrett linje og krummer ikke ✓.

Stigningsvinkelen i en spiral

\theta

Loddrett likevekt i en spiralbane

\sum F_z = 0

✏️Eksempel 3: Korketrekkeren

En vogn kjører gjennom en korketrekker i en berg-og-dal-bane. Spiralen har radius $6{,}0\ \text{m}$ og stigningsvinkel $35^\circ$ fra vannrett, og farten langs banen er $14\ \text{m/s}$ .

a) Finn den vannrette og den loddrette fartskomponenten.

b) Finn sentripetalakselerasjonen inn mot spiralaksen, og oppgi den i antall $g$ .

c) Hvor stor feil ville du fått om du satte hele farten inn i $v^2/R$ ?

Metodevalg først: bare den vannrette delen av farten krummer banen, fordi den loddrette delen er konstant og derfor ikke gir akselerasjon. Vi deler hastigheten i to og bruker

a_r = v_h^2/R

$v_h = v\cos\theta = 14 \cdot \cos 35^\circ = 14 \cdot 0{,}8192 = 11{,}5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \ (\text{vannrett})$

$v_z = v\sin\theta = 14 \cdot 0{,}5736 = 8{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \ (\text{langs aksen})$

Kontroll: $\sqrt{11{,}47^2 + 8{,}03^2} = 14{,}0\ \text{m/s}$ ✓ — komponentene summerer seg tilbake til farten langs banen.

$a_r = \frac{v_h^2}{R} = \frac{(11{,}47)^2}{6{,}0} = \frac{131{,}5}{6{,}0} = 21{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

rettet vannrett inn mot spiralaksen. Delt på $g$ : $21{,}9/9{,}81 = 2{,}2$ , altså om lag $2{,}2\,g$ — en kraftig, men fullt realistisk belastning i en korketrekker.

c) Med hele farten:

$\frac{v^2}{R} = \frac{196}{6{,}0} = 32{,}7\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Det er $32{,}7/21{,}9 = 1{,}49$ , altså nesten $50\ \%$ for stort. Forholdet er nøyaktig $1/\cos^2 35^\circ = 1{,}49$ — feilen er systematisk, ikke tilfeldig, og vokser raskt med stigningsvinkelen.

📝Oppgave 5

En vannsklie snor seg i en spiral rundt en søyle. Radien er $3{,}5\ \text{m}$ og banen danner $28^\circ$ med vannrett. En badegjest med masse $62\ \text{kg}$ har farten $7{,}5\ \text{m/s}$ langs sklia.

a) Finn sentripetalakselerasjonen inn mot søyla.

b) Hvor stor vannrett kraft må sklieveggen levere?

c) Hvor mange prosent for stor ville akselerasjonen blitt om du hadde brukt hele farten?

Løkke 4 — drill: én oppskrift for hele sjanger E (~15 min)

— naturlig pausepunkt —

Resten av kapitlet er ren trening. Alle variantene du har møtt — flat sving, dosert sving, konisk pendel, loop, spiral — løses med samme fem steg. Lær oppskriften, og du slipper å kjenne igjen oppgaven; du kan bare kjøre prosedyren.

📜Løsningsoppskrift for sjanger E

1. Identifiser sentrum og den radielle retningen. Hvor ligger sirkelens sentrum sett fra legemet? Er retningen dit vannrett (dosert sving, spiral, konisk pendel) eller loddrett (topp og bunn av en loop)? Alt annet følger av dette valget.

2. Tegn frilegemediagrammet. Bare virkelige krefter, alle navngitt. Ingen «sentripetalkraft», ingen kraft utover.

3. Skriv de to likningene. Én i radiell retning med høyresiden $mv^2/R$ , og én i retningen der akselerasjonen er null (som regel loddrett):

$\sum F_r = \frac{mv^2}{R}, \qquad \sum F_{\perp} = 0$

4. Drøft friksjon og kontakt. Hvilken vei ville legemet glidd? Er friksjonen på sitt tak $\mu_s N$ , eller er den en ukjent størrelse? Kan normalkraften bli null? Dette steget er der poengene ligger — skriv drøftingen ut i ord.

5. Løs, kontroller, oppgi. Del gjerne den ene likningen på den andre for å bli kvitt $N$ og $m$ . Sjekk enheten, sjekk minst ett grensetilfelle, og oppgi hvert svar med enhet og retning.

✏️Eksempel 4: Velodromen — hele oppskriften med sensorblikk

En innendørs sykkelbane (velodrom) har svinger med radius $25{,}0\ \text{m}$ og en dosering på $\alpha = 42{,}0^\circ$ . Friksjonstallet mellom dekk og bane er $\mu_s = 0{,}15$ . En rytter med sykkel har samlet masse $85\ \text{kg}$ .

a) Finn den farten der rytteren ikke trenger friksjon i det hele tatt, og finn normalkraften ved denne farten.

b) Finn den største og den minste farten rytteren kan holde i svingen.

c) Kontroller svarene.

Steg 1 — sentrum og radiell retning. Svingens sentrum ligger vannrett fra rytteren, inne på banen. Den radielle retningen er derfor vannrett, og aksene legges vannrett og loddrett.

Sensorblikk: dette valget er verdt å skrive ned. Kandidater som legger aksene langs banen — som på et skråplan — ender med akselerasjonskomponenter i begge likningene og mister oversikten.

Steg 2 — frilegemediagram. Tre krefter virker på rytteren: normalkraften $\mathbf{N}$ vinkelrett ut fra banen, den statiske friksjonen $\mathbf{f}_s$ langs banen, og tyngden $m\mathbf{g} = 834\ \text{N}$ nedover. Se figuren i løkke 1 — den er tegnet for nettopp denne situasjonen.

Steg 3–5, deloppgave a). Ved ideell fart er friksjonen null:

$\text{loddrett:} \quad N\cos\alpha = mg \quad \Rightarrow \quad N = \frac{834}{\cos 42{,}0^\circ} = \frac{834}{0{,}7431} = 1{,}12 \cdot 10^{3}\ \text{N}$

rettet vinkelrett ut fra banedekket. Det er $1{,}35$ ganger tyngden — merk hvor mye hardere rytteren presses mot banen enn på flat mark.

$\text{vannrett:} \quad N\sin\alpha = \frac{mv^2}{R} \quad \Rightarrow \quad \tan\alpha = \frac{v^2}{gR}$

$v_{\text{ideell}} = \sqrt{gR\tan\alpha} = \sqrt{9{,}81 \cdot 25{,}0 \cdot 0{,}9004} = \sqrt{220{,}9} = 14{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \ (53{,}5\ \text{km/h})$

Sensorblikk: normalkraften kan finnes uten farten, rett fra den loddrette likningen. Det er en «billig» deloppgave — ta den selv om resten stopper opp.

— naturlig pausepunkt —

Steg 4, deloppgave b) — drøftingen. Over den ideelle farten er rytteren i ferd med å skli opp og ut, så friksjonen peker ned langs banen. Under den ideelle farten er hun i ferd med å skli ned og inn, og friksjonen peker opp langs banen. I begge grensetilfellene er friksjonen på sitt tak, $f = \mu_s N$ .

$v_{\max} = \sqrt{gR\,\frac{\tan\alpha + \mu_s}{1 - \mu_s\tan\alpha}} = \sqrt{245{,}3 \cdot \frac{1{,}0504}{0{,}8649}} = \sqrt{297{,}8} = 17{,}3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_{\min} = \sqrt{gR\,\frac{\tan\alpha - \mu_s}{1 + \mu_s\tan\alpha}} = \sqrt{245{,}3 \cdot \frac{0{,}7504}{1{,}1351}} = \sqrt{162{,}1} = 12{,}7\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

Rytteren må altså holde seg mellom $12{,}7$ og $17{,}3\ \text{m/s}$ langs banen for ikke å gli. Det er nettopp derfor en velodrom må sykles fort: kjører du for sakte i den bratte delen, sklir du ned.

Sensorblikk: retningsdrøftingen i steg 4 er selvstendig poenggivende. Tall uten den setningen gir sjelden full uttelling.

c) Kontroller.

- Rekkefølge: $12{,}7 < 14{,}9 < 17{,}3$ ✓.
- Gyldighet: $\mu_s\tan\alpha = 0{,}15 \cdot 0{,}900 = 0{,}135 < 1$ , så uttrykket for $v_{\max}$ er gyldig; og $\mu_s = 0{,}15 < \tan\alpha = 0{,}900$ , så det finnes en reell nedre grense ✓.
- Grensetilfelle: setter vi $\mu_s = 0$ , faller begge uttrykkene sammen med den ideelle farten $14{,}9\ \text{m/s}$ ✓.
- Enheter: alle farter i $\text{m/s}$ , kreftene i newton ✓.

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger E

En dosert sving har radius $180\ \text{m}$ og skal kunne kjøres i $30{,}0\ \text{m/s}$ uten friksjon.

a) Finn doseringsvinkelen.

b) Hvor stor blir normalkraften på en bil med masse $1\,600\ \text{kg}$ ved denne farten?

c) Hvor stor sentripetalakselerasjon har bilen, i antall $g$ ?

📝Oppgave 7

Eksamensnivå, sjanger E

To biler kjører gjennom samme doserte sving, den ene dobbelt så tung som den andre, med samme fart.

a) Hvilken av dem trenger størst friksjonskraft? Begrunn.

b) Hvilken av dem trenger størst friksjonstall? Begrunn.

c) Hva forteller dette om hvorfor fartsgrenser i svinger er de samme for personbil og lastebil?

📝Oppgave 8

Eksamensnivå, sjanger E

En kule henger i en snor fra taket i en buss og danner en vinkel $\theta = 9{,}0^\circ$ ut fra loddlinja når bussen kjører jevnt gjennom en sving med radius $95\ \text{m}$ .

a) Hvilken vei henger kula — inn mot eller ut fra svingens sentrum? Begrunn.

b) Finn bussens fart.

c) En passasjer sier at kula «kastes utover». Forklar hva som egentlig skjer.

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger E

En fjellveg har en dosert sving med radius $60{,}0\ \text{m}$ og dosering $\alpha = 9{,}0^\circ$ . Om vinteren faller friksjonstallet til $\mu_s = 0{,}12$ .

a) Finn den ideelle farten og maksfarten. Drøft friksjonsretningen i begge tilfellene.

b) Finnes det en minstefart? Begrunn.

c) Skiltet fartsgrense er $50\ \text{km/h}$ . Er den forsvarlig på vinterføre?

d) Kontroller uttrykket for $v_{\max}$ i to grensetilfeller.

📝Oppgave 10

Eksamensnivå, sjanger E

En spiralformet nedkjøringsrampe i et parkeringshus har radius $9{,}0\ \text{m}$ og synker $3{,}2\ \text{m}$ per omdreining.

a) Finn stigningsvinkelen til rampen.

b) En bil kjører rampen med konstant fart $6{,}0\ \text{m/s}$ langs banen. Finn sentripetalakselerasjonen.

c) Hvor lang tid bruker bilen på én omdreining, og hvor mye synker den per sekund?

d) Hvor stort friksjonstall kreves minst dersom rampen ikke er dosert?

📝Oppgave 11

Eksamensnivå, sjanger E

En liten kule svinges i en vertikal sirkel med radius $0{,}80\ \text{m}$ i enden av en snor. I toppunktet er farten $4{,}0\ \text{m/s}$ , og kula har masse $0{,}15\ \text{kg}$ .

a) Finn snordraget i toppunktet.

b) Hvor mye må farten reduseres før snora blir slakk?

c) Hva skjer med kula i det øyeblikket snora blir slakk?

📝Oppgave 12

Eksamensnivå, sjanger E

En bil kjører gjennom en dosert sving med akkurat den ideelle farten. Sjåføren øker så farten litt.

a) Forklar uten regning hva som skjer med normalkraften, og hvorfor.

b) Vis ved regning at normalkraften faktisk øker, ved å bruke uttrykket $N = mg\cos\alpha + (mv^2/R)\sin\alpha$ som gjelder når friksjonen peker ned langs banen.

c) Forklar hvorfor det er en øvre grense for hvor mye farten kan økes, selv om normalkraften vokser.

📝Oppgave 13

Eksamensnivå, sjanger E

En besvarelse løser en dosert sving slik: «Aksene legges langs og normalt på vegbanen, som på et skråplan. Da er $N = mg\cos\alpha$ , og friksjonskraften langs planet er $\mu_s mg\cos\alpha$ .»

a) Hvorfor er aksevalget uheldig her?

b) Hvorfor er $N = mg\cos\alpha$ galt i denne situasjonen?

c) Hva blir riktig oppsett?

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Dosert sving kontra flat sving

\sqrt{\mu_s gR}

Konisk pendel og dosert sving — samme likninger

T

Konisk pendel	Dosert sving (ideell fart)
Skrå kraft	snordraget $T$	normalkraften $N$
Loddrett	$T\cos\theta = mg$	$N\cos\alpha = mg$
Radielt	$T\sin\theta = mv^2/R$	$N\sin\alpha = mv^2/R$
Resultat	$\tan\theta = v^2/(gR)$	$\tan\alpha = v^2/(gR)$

Aksevalget i en dosert sving

\sum F_r = mv^2/R

Fartsvinduet i en dosert sving

v_{\min} \le v \le v_{\max}

Friksjonsvinkelen og den doserte svingen

\arctan\mu_s

Krumningsradien i en spiralbane

R

Signalordene som avslører en sjanger E-oppgave

R

Hvorfor doserer man svinger?

Tre grunner, alle med samme fysiske rot: - Sikkerhet på glatt føre. Uten dosering forsvinner hele sentripetalkraften når friksjonen svikter. Med dosering er en del av den levert av normalkraften, som ikke avhenger av veigrepet. - Komfort. Ved ideell fart kjenner passasjerene bare en forsterket «loddrett» kraft gjennom setet, ingen sidekraft. - Slitasje. I jernbanekurver reduserer doseringen sidekreftene mot den ytre skinnen, som ellers slites raskt. Prisen er at doseringen er dimensjonert for én fart. Trafikk som går mye saktere eller fortere enn den, får friksjonen i arbeid igjen.

Kontrollene som avslører feil i en dosert sving

\mu_s \to 0

Sidefall oppgitt i prosent

6\ \%

Velting kontra glidning i en sving

Modellene i dette kapitlet behandler kjøretøyet som en punktmasse, og forutsier derfor bare når det glir . Et høyt og smalt kjøretøy kan i stedet velte før det glir. Hvilken av de to som skjer først, avgjøres av forholdet mellom sporvidde og tyngdepunktshøyde på den ene siden og friksjonstallet på den andre. Er friksjonstallet høyt nok, når kjøretøyet veltegrensen først. Velting krever kraftmoment og behandles i Del 6 om rotasjon og stive legemer. I sirkeloppgavene her holder det å nevne forbeholdet: svaret gjelder glidning, ikke velting. Å si det er en av de billigste måtene å vise at du kjenner modellens grenser.

Friksjonen som ukjent størrelse

v_{\min}

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.