3.1 Newtons tre lover og frilegemediagram

En kraft er en påvirkning fra ett legeme på et annet, som endrer legemets bevegelse eller form. Kraft er en vektor: den har tallverdi, retning og et angrepspunkt, og krefter legges sammen som vektorer.

Enheten er newton: $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$, altså den kraften som gir en masse på $1\ \text{kg}$ akselerasjonen $1\ \text{m/s}^2$. En nyttig referanse: tyngden av et melkeglass er omtrent $3\ \text{N}$, av et voksent menneske omtrent $700\ \text{N}$.

Hver eneste kraft har en kilde — et annet legeme som utøver den. Klarer du ikke å peke på kilden, er kraften sannsynligvis ikke der.

Massen er et mål på hvor vanskelig det er å endre et legemes bevegelse. Den samme kraften gir liten akselerasjon på en stor masse og stor akselerasjon på en liten. Massen er en skalar: den har ingen retning, og skal aldri skrives med vektormarkering.

Merk skillet mot tyngde: massen er den samme overalt i universet, mens tyngden $m\mathbf{g}$ avhenger av hvor du er. En astronaut har samme masse på månen som på jorda, men veier under en tredjedel så mye. På norsk brukes «vekt» dessverre om begge deler i dagligtale — i fysikken holder vi dem strengt fra hverandre.

Et referansesystem der Newtons 1. lov faktisk gjelder — der et legeme uten resultantkraft virkelig beholder hastigheten sin. Et laboratorium på jorda er et godt nok inertialsystem for det meste av mekanikken, selv om jorda strengt tatt roterer.

En buss som bremser er derimot ikke et inertialsystem: sett fra bussens gulv akselererer passasjerene framover uten at noen kraft virker på dem. Regel for hele boka: vi arbeider alltid i et inertialsystem, altså sett fra bakken eller et annet system i jevn bevegelse. Da slipper vi å innføre krefter som ikke har noen kilde.

$$\sum\mathbf{F} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \dots$$

Det er denne summen — og bare den — som bestemmer akselerasjonen. Enkeltkreftene kan være aldri så store; er summen null, står legemet stille eller går med konstant fart.

Praktisk regel: i et frilegemediagram tegner du enkeltkreftene, ikke resultanten. Resultanten er noe du regner deg fram til etterpå, ikke en kraft noe legeme utøver. Tegner du både enkeltkreftene og resultanten i samme figur, har du talt kreftene dobbelt.

Et legeme er i likevekt når $\sum\mathbf{F} = 0$, altså når akselerasjonen er null.

- Statisk likevekt: legemet står stille (en lampe som henger, en kloss på et bord).
- Dynamisk likevekt: legemet beveger seg med konstant hastighet (en bil i marsjfart, en fallskjermhopper ved terminalfart).

De to tilfellene behandles helt likt matematisk — begge gir likningene $\sum F_x = 0$ og $\sum F_y = 0$. Det er derfor en statikkoppgave og en oppgave om konstant fart er samme oppgave i forkledning.

En figur der ett legeme er isolert fra omgivelsene, og der alle kreftene som virker på det er tegnet inn som navngitte piler.

Slik ser en fullstendig utgave ut, punkt for punkt:

1. isolér ETT legeme — tegn det som en enkel form, og ta bort alt annet;
2. tegn alle krefter som virker PÅ legemet, med navngitte symboler ($\mathbf{N}$, $m\mathbf{g}$, $T$, …);
3. riktig retning og riktig angrepspunkt for hver kraft;
4. rimelig lengde på pilene i forhold til hverandre;
5. tegn inn koordinatsystemet du skal bruke;
6. ingen krefter som ikke finnes — ingen «bevegelseskraft» framover, ingen egen kraft inn mot sentrum.

Punkt 2 er det som oftest koster poeng: en pil uten navn, eller et symbol du aldri forklarer, trekkes typisk 2 poeng selv om resten er riktig.

Å bestemme nøyaktig hvilket legeme diagrammet gjelder — og holde seg til det. Er det klossen? Klossen og vogna til sammen? Hele systemet?

Valget er fritt, men det må være konsekvent: krefter fra ting utenfor systemet er ytre og skal tegnes, krefter mellom deler inne i systemet er indre og skal ikke tegnes (de opphever hverandre parvis). Går du med to legemer, trenger du to diagrammer — ett per legeme. Å slå sammen to legemer i én figur og likevel tegne snordraget mellom dem, er en av de vanligste feilene i sjangeren.

To forskjellige figurer med hvert sitt formål:

- Situasjonsskissen viser oppsettet: skråplanet, trinsa, snora, vinklene. Den er til for å forstå geometrien.
- Frilegemediagrammet viser bare ett legeme og kreftene på det. Underlaget er borte, snora er borte — de er erstattet av kreftene de utøver.

Blander du dem, ender du med å tegne kraften snora utøver på klossen og snora selv, eller å ha med krefter som virker på underlaget. Tegn dem som to figurer ved siden av hverandre, slik eksemplene i dette kapitlet gjør.

Kontaktkraften fra et underlag på et legeme, alltid rettet vinkelrett ut fra flaten (derav navnet: normal betyr vinkelrett). Symbol: $\mathbf{N}$, tallverdi $N$.

Normalkraften er ikke en fast størrelse — den er akkurat så stor som den trenger å være. På et vannrett bord uten andre loddrette krefter er $N = mg$, men trekker du samtidig i legemet skrått oppover, blir den mindre; på et skråplan blir den $mg\cos\theta$. Å anta $N = mg$ uten å sjekke er en av de dyreste vanene i faget. Normalkraften kan bare skyve, aldri dra: blir den negativ i regningen din, betyr det at kontakten er brutt.

$$\mathbf{F}_g = m\mathbf{g}, \qquad F_g = mg$$

Den peker mot jordas sentrum, altså «rett ned», og den virker på alle legemer i alle situasjoner — også når legemet ligger på et bord, henger i en snor eller er i fritt fall. Tyngden skal derfor alltid være med i et frilegemediagram, og den skal tegnes én gang, uansett hvor mange snorer eller kontaktflater legemet har.

Notasjon: i denne boka skrives tyngden $m\mathbf{g}$ eller $\mathbf{F}_g$. Symbolet $G$ er reservert gravitasjonskonstanten, som kommer i delen om gravitasjon.

Kraften en stram snor, et tau eller en kjetting utøver, alltid rettet langs snora og bort fra legemet — en snor kan bare dra, aldri skyve. Symbol: $T$ (tallverdi).

For en masseløs snor er snordraget det samme i begge ender, og det endres ikke av en masseløs, friksjonsfri trinse: trinsa endrer bare retningen. Er snora slakk, er $T = 0$. Får du et negativt snordrag ut av regningen, betyr det at snora skulle ha skjøvet — altså at den i virkeligheten er slakk, og at forutsetningene dine ikke holder.

Notasjon: $T$ er snordrag i hele denne boka. Perioden i en svingning skrives $T_p$ der begge opptrer, nettopp for å unngå kollisjon.

De to kreftene i Newtons 3. lov, som alltid opptrer sammen. Test på om to krefter virkelig utgjør et kraftpar: bytt om rollene i setningen. «Bordet skyver på klossen» ↔ «klossen skyver på bordet» — det er et kraftpar.

Prøv nå med tyngden: «jorda trekker klossen ned» ↔ «klossen trekker jorda opp». Også et kraftpar — men motkraften virker på jorda, ikke på bordet. Derfor er ikke normalkraften fra bordet motkraften til tyngden, selv om de to er like store når klossen ligger i ro. At de er like store der, følger av Newtons 2. lov med $a = 0$, ikke av den tredje. Dette er den vanligste misforståelsen i hele mekanikken.

Velger du et system av flere legemer, deles kreftene i to:

- Ytre krefter kommer fra noe utenfor systemet og påvirker systemets samlede bevegelse;
- indre krefter virker mellom deler inne i systemet, og de opptrer alltid i kraftpar etter Newtons 3. lov.

Fordi hvert indre kraftpar består av to like store, motsatt rettede krefter, summerer alle indre krefter seg til null. Et system kan derfor aldri akselerere seg selv med indre krefter alene: du kan ikke løfte deg selv etter beltestroppene, og en bil kommer ingen vei uten friksjon mot veien — det er den ytre friksjonskraften fra veien som driver bilen framover, ikke motoren i seg selv.

Enheten for kraft: $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$. Definisjonen kommer rett fra Newtons 2. lov — én newton er den kraften som gir én kilogram akselerasjonen én meter per sekund i andre.

Nyttige referanseverdier for rimelighetssjekk: et eple veier omtrent $1\ \text{N}$, en liter melk omtrent $10\ \text{N}$, et voksent menneske omtrent $700\ \text{N}$. Får du en kraft på $10^6\ \text{N}$ i en oppgave om en kloss på et bord, er noe galt.

En kraft som virker uten at legemene berører hverandre: tyngden, gravitasjonen mellom planeter, elektriske og magnetiske krefter. I denne delen av boka er tyngden den eneste fjernkraften som opptrer.

Praktisk konsekvens for et frilegemediagram: fjernkreftene finner du ikke ved å se etter berøringspunkter. Oppskriften blir derfor todelt — først alle kontaktkreftene (én for hvert sted noe berører legemet), så tyngden. Er du usikker på om du har fått med alt, er det som regel en kontaktkraft du har oversett, ikke en fjernkraft.

Enhver kraft som krever at to legemer berører hverandre: normalkraft, friksjon, snordrag, kraften fra en fjær eller en hånd. Motstykket er fjernkrefter som tyngden, som virker uten kontakt.

Praktisk bruk i et frilegemediagram: gå rundt legemet og se hvor noe berører det. Hvert berøringspunkt gir minst én kontaktkraft. Legg deretter til fjernkreftene — i denne delen av boka betyr det tyngden, og bare den. Da har du garantert med alle kreftene, og ingen flere.

Akselerasjonen $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ som alle legemer i fritt fall nær jordoverflaten får, uavhengig av masse. Den er ikke en kraft, men en akselerasjon — tyngden er $mg$, og den er en kraft.

Merk skillet i språket: «$g$» er tyngdeakselerasjonen, «$mg$» er tyngden. Verdien varierer litt med breddegrad og høyde (fra $9{,}78$ ved ekvator til $9{,}83$ ved polene), og den er en helt annen på andre himmellegemer — noe kastoppgaver med ukjent planet utnytter.

Punktet på legemet der en kraft virker. Tyngden angriper i massesenteret, normalkraften i kontaktflaten, snordraget der snora er festet.

Så lenge legemet ikke roterer, spiller angrepspunktet ingen rolle for akselerasjonen, og det er derfor vanlig å tegne alle piler fra ett punkt i enkle diagrammer. Så snart rotasjon er med i bildet, blir angrepspunktet avgjørende, fordi det bestemmer kraftmomentet — og da trekkes et klart feil angrepspunkt typisk 1 poeng.

$$\sum F_x = ma_x, \qquad \sum F_y = ma_y$$

Oppskriften: velg akser, dekomponer hver skrå kraft, og legg sammen med fortegn etter retning. Er akselerasjonen null i én retning (typisk normalt på underlaget), gir den likningen en ren likevektsbetingelse — det er slik du finner normalkraften. To likninger lar deg finne to ukjente, og de fleste eksamensoppgaver er nettopp konstruert slik.

Aksene er ditt valg, men et smart valg halverer arbeidet. To regler som nesten alltid gjelder:

- legg én akse langs akselerasjonen — da blir akselerasjonen null i den andre retningen;
- på et skråplan legger du aksene langs og normalt på planet, ikke vannrett og loddrett.

Valget skal tegnes inn i frilegemediagrammet og nevnes i teksten. Bytter du akser midt i regningen uten å si fra, blir fortegnene uleselige for sensor — og for deg selv.

Det en badevekt eller en fjærvekt viser: tallverdien av normalkraften (eller snordraget), ikke tyngden. I en heis som akselererer oppover er $N = m(g+a) > mg$, og vekta viser mer enn massen din.

Dette er den vanligste «heis-oppgaven» på midtveis, og den løses alltid likt: sett opp $N - mg = ma$ for personen alene, med positiv retning oppover, og løs for $N$. Den tilsynelatende vekten er altså en opplysning om akselerasjonen, ikke om massen.

Tilstanden der normalkraften er null fordi legemet og underlaget faller likt. En person i en heis i fritt fall, en astronaut i bane og en stuper i svevet er alle vektløse.

Tyngden er ikke borte — i lav bane rundt jorda er $g$ fortsatt rundt $8{,}7\ \text{m/s}^2$. Romstasjonen er i fritt fall mot jorda hele tiden; den har bare så stor sidelengs fart at den bommer. Å kalle tilstanden «tyngdeløshet» er derfor misvisende: det er kontaktkraften som mangler, ikke tyngden.

Krefter legges sammen som vektorer, ikke som tall. To krefter på $3\ \text{N}$ og $4\ \text{N}$ gir resultanten $7\ \text{N}$ om de peker samme vei, $1\ \text{N}$ om de peker motsatt, og $5\ \text{N}$ om de står vinkelrett på hverandre.

I praksis regner vi alltid komponentvis i stedet for grafisk: legg sammen $x$-komponentene for seg og $y$-komponentene for seg, og sett dem eventuelt sammen til slutt med Pytagoras og arctangens. Grafisk sammensetting er nyttig som rimelighetssjekk — peker resultanten omtrent dit figuren tilsier?

To pilfeller sensor ser etter, og som begge trekker:

- «bevegelseskraft» i fartsretningen på noe som er i bevegelse. Newtons 1. lov: bevegelse krever ingen kraft;
- en egen kraft inn mot sentrum i en sirkelbevegelse. Kraften inn mot sentrum er resultanten av de virkelige kreftene (snordrag, normalkraft, tyngde), ikke en kraft i tillegg til dem.

Testen er alltid den samme: hvilket legeme utøver denne kraften? Finnes det ikke noe svar, skal pila bort. En resultant tegnes heller ikke inn, for da telles kreftene dobbelt.

En formel som sier hvor stor en bestemt kraft er i en gitt situasjon — for eksempel $F_g = mg$ for tyngden, $f_d = \mu_d N$ for dynamisk friksjon eller $F = -k(x - x_0)$ for en fjær.

Kraftmodellene er noe annet enn Newtons 2. lov. Andre lov forteller hva summen av kreftene gjør; kraftmodellene forteller hvor store de enkelte kreftene er. En full løsning trenger begge deler: modellene fyller inn venstresiden, loven kobler den til akselerasjonen. Modellene for friksjon, fjær og skråplan bygges i kap. 3.2.

En idealisering der snorens (og trinsas) egen masse settes til null. Konsekvensene brukes i nesten hver flerlegemeoppgave:

- snordraget er det samme i begge ender av snora — hadde snora hatt masse, ville det trengs en netto kraft for å akselerere den selv;
- en masseløs, friksjonsfri trinse endrer bare retningen på snordraget, ikke tallverdien;
- snora er uttøyelig, så alle legemer koblet med den har samme fart og samme akselerasjon langs snora.

Alle tre forutsetningene skal nevnes når du bruker dem — det er en del av begrunnelsen.