6.1 Dreiemoment, treghetsmoment og rotasjons-N2L

Formelt er det kryssproduktet av posisjonsvektoren fra aksen til angrepspunktet og kraften:

$$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}, \qquad \tau = rF\sin\varphi$$

der $\varphi$ er vinkelen mellom $\mathbf{r}$ og $\mathbf{F}$. Enheten er newtonmeter, $\text{N}\cdot\text{m}$.

Gyldighetsbetingelsen er at aksen må oppgis. Et kraftmoment er alltid om et bestemt punkt eller en bestemt akse — den samme kraften har ulikt moment om ulike akser, og kan godt være null om den ene og stor om den andre. Skriver du et moment uten å si hvilken akse det gjelder om, har du ikke sagt noe.

$$\text{momentarm} = r\sin\varphi \qquad \Longrightarrow \qquad \tau = F \cdot (\text{momentarm})$$

Dette er den regnemåten som går raskest under tidspress: finn den vinkelrette avstanden fra aksen ned på virkelinja, og gang med kraften. Peker kraften rett mot (eller rett bort fra) aksen, ligger aksen på virkelinja, momentarmen er null, og momentet er null — uansett hvor stor kraften er.

Det er dette som gjør at du ikke får løsnet en mutter ved å skyve rett inn mot den, og at en kraft som virker gjennom aksen aldri bidrar til momentet. Den siste setningen er blant de mest lønnsomme i hele delen: den lar deg fjerne hengselkrefter og opplagerkrefter fra regnskapet uten å kjenne dem.

For et legeme satt sammen av småbiter med masse $m_i$ i avstand $\rho_i$ fra aksen:

$$I = \sum_i m_i\rho_i^2 \qquad \text{og i grensen} \qquad I = \int \rho^2\,dm$$

Enheten er $\text{kg}\cdot\text{m}^2$. Treghetsmomentet er en skalar og skal aldri skrives med vektormarkering.

Gyldighetsbetingelsen er at aksen må oppgis. Det finnes ikke noe «treghetsmomentet til en stav» — bare treghetsmomentet til en stav om en bestemt akse. Skriv derfor alltid aksen i subskriptet: $I_{cm}$ om massesenteret, $I_{\text{hengsel}}$ om en hengselakse. Formelarket du får utdelt har en tabell for de vanlige legemene, så dette er ikke puggestoff — men du må vite hvilken linje i tabellen som gjelder for din akse.

$$I = I_{cm} + Md^2$$

der $d$ er avstanden mellom de to aksene og $M$ er legemets samlede masse.

Gyldighetsbetingelsen er at de to aksene må være parallelle, og at den ene må gå gjennom massesenteret. Teoremet kobler ikke to vilkårlige akser.

To ting følger med én gang. For det første er $Md^2 \ge 0$, så treghetsmomentet er alltid minst om en akse gjennom massesenteret — enhver forskyvning gjør legemet tregere å rotere. For det andre trenger du bare én linje fra formelarkets tabell per legeme: den om massesenteret. Resten regner du ut.

$$K_{\text{rot}} = \tfrac12 I\omega^2$$

Den måles i joule, akkurat som all annen energi, og den er en skalar uten retning.

Legg merke til hvor nøyaktig uttrykket speiler $K = \tfrac12 mv^2$: massen er byttet med treghetsmomentet og farten med vinkelfarten. Det er ikke tilfeldig — vi utledet nettopp $\tfrac12 I\omega^2$ ved å summere $\tfrac12 m_i v_i^2$ over alle bitene i legemet.

Gyldighetsbetingelsen er at $\omega$ måles i radianer per sekund, og at $I$ gjelder om den aksen legemet faktisk roterer om. Et legeme som både beveger seg og snurrer, har begge energiformene samtidig — den kombinasjonen tar vi i kap. 6.2.

Et legeme der avstanden mellom alle punktene er den samme uansett hvordan legemet beveger seg — det bøyer seg ikke, strekker seg ikke og deformeres ikke.

Idealiseringen er hele grunnlaget for rotasjonsmekanikken: nettopp fordi avstandene er faste, har alle punktene samme vinkelfart og samme vinkelakselerasjon, selv om banefartene er forskjellige. En stav, en sylinder og et hjul behandles som stive; en fjær, et tau og en vannstråle gjør det ikke.

Antakelsen skal skrives ut når du bruker den, og den er også grunnen til at den frie enden av en fallende stav kan akselerere raskere enn $g$: de indre kreftene som holder staven stiv, dytter ytterdelen ned.

Den linja legemet dreier om. Alle punkter på selve aksen står stille; alle andre punkter går i sirkel rundt den.

Aksen er ikke noe du observerer, den er noe du velger — og valget avgjør både momentene og treghetsmomentet. Er legemet lagret i et hengsel, er valget opplagt. Er legemet fritt (som en rullende sylinder eller et legeme i lufta), er massesenteraksen som regel det beste valget.

Praktisk regel: legg aksen der de ukjente kreftene angriper. Da får de null momentarm og forsvinner fra likningen. Skriv alltid ned hvilken akse du bruker, før du summerer momenter.

$$s = r\theta \qquad (\theta \text{ i radianer})$$

En hel omdreining er $2\pi$ radianer, altså omtrent $6{,}28$.

Radianen er dimensjonsløs — den er et forhold mellom to lengder — og det er derfor $\text{rad/s}$ i praksis er $\text{s}^{-1}$ i en benevningskontroll. Alle rotasjonsformlene i faget forutsetter radianer. Regner du med grader, blir både $v = \omega r$, $K_{\text{rot}}$ og bevegelseslikningene gale.

$$\boldsymbol{\omega} = \frac{d\theta}{dt}, \qquad [\omega] = \text{rad/s}$$

Den er en vektor som peker langs rotasjonsaksen, med retning gitt av høyrehåndsregelen: krøll høyre hånds fingre den veien legemet snurrer, og tommelen viser $\boldsymbol{\omega}$. I planet betyr det ut av papirplanet for rotasjon mot klokka.

Alle punkter i et stivt legeme har samme $\omega$, men banefarten varierer med avstanden fra aksen: $v = \omega\rho$. Det er derfor ytterst på et hjul går fortest.

$$\boldsymbol{\alpha} = \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}, \qquad [\alpha] = \text{rad/s}^2$$

Den er rotasjonens motstykke til akselerasjonen, og den peker samme vei som nettomomentet — ikke nødvendigvis samme vei som $\boldsymbol{\omega}$. Et hjul som bremses ned, har $\boldsymbol{\alpha}$ motsatt rettet av $\boldsymbol{\omega}$, akkurat som en bil som bremser har $\mathbf{a}$ motsatt $\mathbf{v}$.

Merk symbolkollisjonen: $\alpha$ betyr vinkelakselerasjon i hele denne delen av boka. Der en vinkel trenger et symbol, bruker vi $\theta$ eller $\varphi$.

Avtalen om hva som skal telle som positiv omdreiningsretning i planet. Standarden i faget:

- mot klokka er positivt — vektoren peker ut av papirplanet;
- med klokka er negativt — vektoren peker inn i papirplanet.

Konvensjonen er et valg, ikke en naturlov, men den må være konsekvent gjennom hele regnestykket: samme fortegn for momenter, vinkelfart og vinkelakselerasjon.

Skriv den ned i figuren din. Sensor er relativt mild på fortegnsfeil i rotasjonsoppgaver så lenge oppsettet er riktig og konvensjonen er oppgitt — men uten en oppgitt konvensjon er et fortegn umulig å vurdere.

Kryssproduktet $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ er en vektor som står vinkelrett på begge faktorene, med tallverdi $ab\sin\varphi$ — altså arealet av parallellogrammet de spenner ut.

For kraftmomentet betyr det to ting på én gang: tallverdien $rF\sin\varphi$ måler hvor effektivt kraften vrir, og retningen langs aksen forteller hvilken vei.

To egenskaper brukes hele tiden: kryssproduktet er null når vektorene er parallelle (kraft langs armen gir null moment), og det bytter fortegn når du bytter om faktorene ($\mathbf{r}\times\mathbf{F} = -\mathbf{F}\times\mathbf{r}$) — så rekkefølgen betyr noe. Repetisjon: Kryssproduktet.

Regelen som gir retningen til et kryssprodukt, og dermed til kraftmoment, vinkelfart og spinn.

Framgangsmåte: legg høyre hånds fingre langs den første vektoren ($\mathbf{r}$), krøll dem mot den andre ($\mathbf{F}$) — tommelen peker da langs $\mathbf{r}\times\mathbf{F}$.

I to dimensjoner koker det ned til to muligheter: ut av papirplanet (mot klokka) eller inn i det (med klokka). Da er det raskere å spørre «hvilken vei ville dette dreid legemet?» og skrive svaret. Regelen trenger du først når rotasjonsaksene ikke lenger ligger i samme retning.

$$\mathbf{R}_{cm} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{r}_i$$

For et homogent legeme med symmetri ligger massesenteret i det geometriske sentrum: midt på en stav, i sentrum av en kule eller en sylinder.

To konsekvenser brukes hele tiden i rotasjon: tyngden kan behandles som om den angriper i massesenteret når du regner moment om en annen akse, og tyngden gir null moment om en akse gjennom massesenteret. Uttrykket står på formelarket.

$$\tau_{\text{tyngde}} = Mg\,x$$

For en vannrett stav hengslet i enden er $x = \ell/2$. For den samme staven i en stilling der den har falt vinkelen $\theta$ under vannrett, er $x = (\ell/2)\cos\theta$ — momentet krymper altså mens staven faller, og er null når staven henger loddrett.

Det er nettopp derfor $\alpha$ ikke er konstant under fallet, og derfor energibevaring er raskere enn $\tau = I\alpha$ når du skal finne sluttfarten.

En kraft hvis virkelinje går gjennom rotasjonsaksen. Slike krefter har null momentarm og gir derfor null kraftmoment, uansett hvor store de er.

Dette er ikke en kuriositet, men et av de mest brukte grepene i sjanger F. Hengselkrefter, lagerkrefter og aksekrefter er nesten alltid ukjente. Velger du aksen slik at de går gjennom den, forsvinner de fra momentregnskapet, og oppgaven blir løsbar uten dem.

Motstykket: velger du en annen akse, må disse kreftene med — og da må du først finne dem fra $\sum\mathbf{F} = M\mathbf{a}_{cm}$. Begge veier er riktige; den ene er mye raskere.

En oversettelsestabell mellom rettlinjet bevegelse og rotasjon, der hver størrelse har et motstykke: masse $\leftrightarrow$ treghetsmoment, kraft $\leftrightarrow$ kraftmoment, fart $\leftrightarrow$ vinkelfart, akselerasjon $\leftrightarrow$ vinkelakselerasjon.

Analogien er ikke en huskeregel, men en konsekvens av at rotasjonslikningene utledes fra Newtons lover ved å gange med momentarmen og summere over legemet.

Praktisk verdi: alt du kan om rettlinjet bevegelse kan oversettes. Konstant $\alpha$ gir de samme bevegelseslikningene som konstant $a$; arbeid blir $W = \tau\theta$ i stedet for $W = Fs$; effekt blir $P = \tau\omega$ i stedet for $P = Fv$.

$$a_t = \alpha\rho$$

der $\rho$ er avstanden fra aksen. Enheten er $\text{m/s}^2$ — merk forskjellen fra $\alpha$, som måles i $\text{rad/s}^2$.

Dette er koblingen mellom rotasjonsstørrelser og vanlige bevegelsesstørrelser, og den er ofte det siste steget i en oppgave: «finn akselerasjonen til enden av staven» betyr $a_t = \alpha\ell$. Å sette $a = \alpha$ er en enhetsfeil som en rask benevningskontroll fanger.

$$a_r = \omega^2\rho = \frac{v^2}{\rho}$$

Den er der så snart legemet roterer, også når vinkelfarten er konstant. Den tangentielle akselerasjonen er null ved konstant $\omega$; den radielle er det ikke.

Samlet akselerasjon til et punkt er vektorsummen av de to, og de står vinkelrett på hverandre: $a = \sqrt{a_t^2 + a_r^2}$. Dette er den samme oppdelingen som baneakselerasjonen i kap. 2.1 og sentripetalakselerasjonen i kap. 4.1.

$$I = Mk^2 \qquad \Longrightarrow \qquad k = \sqrt{I/M}$$

For en tynn ring er $k = R$ (all massen sitter jo allerede der), for en massiv skive $k = R/\sqrt2 \approx 0{,}71R$, og for en massiv kule $k = R\sqrt{2/5} \approx 0{,}63R$.

Størrelsen er nyttig som rimelighetssjekk: $k$ skal alltid ligge mellom null og legemets største utstrekning fra aksen. Får du $k > R$ for et legeme med ytre radius $R$, har du regnet feil.

$$I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots$$

Dette gjør sammensatte legemer overkommelige. En stav med en kule i enden: legg sammen $\tfrac13 M\ell^2$ og $m\ell^2$. En skive med et hull i: regn skiva som om den var hel, og trekk fra treghetsmomentet til det materialet som er borte (med parallellakseteoremet, hvis hullet ikke er sentrert).

Betingelsen er absolutt: samme akse for alle leddene. Å legge sammen et treghetsmoment om massesenteret og ett om en hengsel gir et tall uten mening.

Et legeme der massen er jevnt fordelt — tettheten er den samme overalt.

Antakelsen er det som gjør at massesenteret ligger i det geometriske sentrum, og at formelarkets tabellverdier ($\tfrac{1}{12}M\ell^2$, $\tfrac12 MR^2$, $\tfrac25 MR^2$) i det hele tatt gjelder. Står ordet «homogen» i oppgaveteksten, er det ikke pynt: det er lisensen til å bruke tabellen.

Er legemet ikke homogent — for eksempel en stav som er tykkere i den ene enden — må massesenteret oppgis eller regnes ut, og treghetsmomentet må enten oppgis eller finnes ved integrasjon.

$$\sum\mathbf{F} = 0 \qquad \text{og} \qquad \sum\tau = 0 \ \text{om en vilkårlig akse}$$

Kraftlikevekt alene er ikke nok: to like store, motsatt rettede krefter som angriper ulike steder gir null resultantkraft, men setter legemet i rotasjon.

Et nyttig triks: når kraftlikevekten er oppfylt, gir alle aksevalg det samme momentregnskapet. Du kan derfor legge aksen der det passer deg best — typisk i et ukjent opplager, slik at den kraften faller ut.

Et hengsel (eller lager) er et feste som holder ett punkt av legemet i ro, men lar det dreie fritt om det punktet.

Kraften fra hengselet, opplagerkraften, er som regel ukjent i både størrelse og retning, og den er sjelden loddrett — den justerer seg til akkurat det som trengs for å holde punktet på plass. For en stav som slippes fra vannrett stilling er den for eksempel mindre enn tyngden, fordi massesenteret akselererer nedover.

Nettopp fordi den er ukjent, velger vi hengselaksen når vi skal finne $\alpha$: da har opplagerkraften null momentarm og faller ut. Trenger du selve opplagerkraften, finner du den etterpå fra $\sum\mathbf{F} = M\mathbf{a}_{cm}$.

$$\tau = Fd$$

der $d$ er avstanden mellom virkelinjene.

Det spesielle med et kraftpar er at momentet er det samme om enhver akse — du trenger ikke oppgi noe punkt. Det er derfor et kraftpar kalles et «rent moment»: det gir rotasjon uten å flytte massesenteret.

Praktiske eksempler: hendene på et ratt, de to fingrene på en kork, eller de to kreftene fra en skrutrekker. Merk skillet fra Newtons 3. lovs kraftpar, som virker på ulike legemer; her virker begge kreftene på samme legeme.

$$W = \tau\theta \qquad (\theta \text{ i radianer, konstant } \tau)$$

og den momentane effekten er

$$P = \tau\omega$$

Begge er nøyaktig de rettlinjede uttrykkene $W = Fs$ og $P = Fv$ oversatt gjennom analogien.

Arbeids–energi-teoremet gjelder i samme form: nettoarbeidet fra momentene er lik endringen i rotasjonsenergi, $W_{\text{net}} = \Delta\left(\tfrac12 I\omega^2\right)$. Det er denne sammenhengen som gjør energibevaring til et lovlig alternativ til $\tau = I\alpha$ når momentet varierer med vinkelen.