6.2 Rulling og kombinert translasjon + rotasjon

Ren rulling er bevegelsen der et legeme ruller uten å skli: kontaktflaten mot underlaget står momentant stille i forhold til underlaget, akkurat i det øyeblikket den er i kontakt.

Sagt praktisk: legemet «vandrer» langs underlaget uten at det gnisser. Et hjul som ruller fritt, ruller rent. Et hjul som slår låsebrems og skrenser, gjør det ikke.

Gyldighetsbetingelsen er at friksjonen er sterk nok. Ren rulling krever en hvilefriksjon av en bestemt størrelse, og den kan bare leveres så lenge $\lvert f_s\rvert \le \mu_s N$. På glatt underlag svikter betingelsen, og legemet begynner å gli — da gjelder ingen av formlene i dette kapitlet lenger. Skriv derfor alltid ut at du antar ren rulling, og sjekk betingelsen når oppgaven ber om det.

$$v = \omega R \qquad \text{og, ved derivasjon,} \qquad a = \alpha R$$

der $v$ og $a$ gjelder massesenteret, mens $\omega$ og $\alpha$ gjelder rotasjonen om massesenteret.

Uten denne likningen har du to ubekjente ($a$ og $\alpha$) og bare to likninger som ikke henger sammen. Med den kobles kraftlikningen og momentlikningen, og systemet blir løsbart. Rullebetingelsen er derfor det steget sensor ser etter først i en rulleoppgave.

Gyldighetsbetingelsen er ren rulling. Glir legemet, er $v \neq \omega R$ — og å bruke rullebetingelsen på et legeme som skrenser, er en metodefeil som gjør hele resten av regnestykket ugyldig.

$$c = \frac{I}{MR^2}$$

Den er ren geometri: den avhenger bare av formen, ikke av masse eller størrelse. Det er nettopp derfor to kuler av ulik størrelse ruller likt ned det samme planet.

Friksjonen som håndhever rullebetingelsen. Den er statisk, ikke dynamisk, fordi kontaktpunktet ikke glir — og det har to store konsekvenser.

For det første er den ikke $\mu_s N$. Den er akkurat så stor som den må være for at $a = \alpha R$ skal holde, og den finnes ved å løse likningene, ikke ved å slå opp et friksjonstall. Grensen $\lvert f_s\rvert \le \mu_s N$ er en ulikhet, og den brukes bare til å sjekke om rullingen kan opprettholdes.

For det andre gjør den ikke arbeid. Angrepspunktet står momentant stille, så $W = \int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$, og ingen mekanisk energi går tapt. Det er derfor energibevaring er lovlig for et rullende legeme, selv om det åpenbart er friksjon i spill.

Retningen finner du av rollen den spiller: ruller legemet nedover et skråplan, må friksjonen gi et moment som setter det i spinn, og den peker derfor oppover langs planet.

Bevegelsen til et legeme som samtidig flytter seg og snurrer — en rullende sylinder, en jojo, en ball i lufta med skru.

Enhver slik bevegelse kan alltid deles i to deler: massesenterets bevegelse, som følger $\sum\mathbf{F} = M\mathbf{a}_{cm}$, og rotasjonen om massesenteret, som følger $\tau_{cm} = I_{cm}\alpha$. De to likningene er uavhengige, og det er nettopp derfor du trenger en tredje likning — rullebetingelsen — for å koble dem.

Oppdelingen gjelder også energien: $K = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$. Den ene halvdelen kan aldri erstatte den andre.

Den aksen legemet i et gitt øyeblikk kan sies å rotere rent om. For et legeme i ren rulling er dette kontaktpunktet, fordi det står momentant stille.

Dette gir en snarvei: du kan regne momenter om kontaktpunktet i stedet for om massesenteret. Da faller både friksjonen og normalkraften ut (begge går gjennom kontaktpunktet), og tyngden blir eneste bidrag. Til gjengjeld må $I$ regnes om kontaktpunktaksen, altså $I_{cm} + MR^2$ med parallellakseteoremet.

For en massiv sylinder: $\tau = MgR\sin\theta$ og $I = \tfrac32 MR^2$, som gir $\alpha = 2g\sin\theta/(3R)$ og $a = \alpha R = \tfrac23 g\sin\theta$ — samme svar som før. Aksen er «momentan» fordi den flytter seg hele tiden.

Tilstanden der kontaktflaten beveger seg i forhold til underlaget — legemet skrenser. Da gjelder ikke rullebetingelsen: $v \neq \omega R$.

Kjennetegnet er at friksjonen blir dynamisk og dermed kjent: $f_d = \mu_d N$. Det gjør på sett og vis regningen enklere, siden friksjonskraften ikke lenger er en ukjent — men til gjengjeld må translasjon og rotasjon regnes ut hver for seg.

Gliding oppstår når hvilefriksjonen ikke strekker til, altså når $\mu_s < \dfrac{c}{1+c}\tan\theta$ på et skråplan. Sjekk alltid denne betingelsen når oppgaven oppgir et friksjonstall — det er da et tegn på at nettopp dette skal drøftes.

$$\mu_s \ge \frac{c}{1+c}\tan\theta$$

Betingelsen kommer av å regne ut hvor stor hvilefriksjon rullebetingelsen krever, og deretter sammenligne med taket $\mu_s N$.

To ting leses direkte av: bratte plan er verre enn slake (tangens vokser), og rotasjonstunge legemer med stor $c$ krever mer friksjon enn kompakte. En tynn ring ($c = 1$) trenger dobbelt så stort friksjonstall som en massiv sylinder ($c = \tfrac12$) i samme bakke.

$$W_{f} = \int\mathbf{f}_s\cdot d\mathbf{r} = 0$$

fordi angrepspunktet — kontaktpunktet — står momentant stille, så $d\mathbf{r} = 0$ for kraftens angrepspunkt.

Dette er den enkeltinnsikten som gjør energibevaring lovlig for rullende legemer, og den skal skrives ut hver gang du bruker den. Uten den ser det ut som om du bruker energibevaring i en situasjon med friksjon, og det er en metodefeil sensor er på vakt mot.

Merk kontrasten til glidefriksjon, som gjør negativt arbeid $-\mu_d N s$ og omdanner mekanisk energi til varme.

$$v = \sqrt{\frac{2gh}{1+c}}$$

Uttrykket må kunne utledes — det kommer av $Mgh = \tfrac12(1+c)Mv^2$.

Legg merke til at verken masse eller radius inngår, bare formen gjennom $c$, og at $v$ alltid er mindre enn fritt falls $\sqrt{2gh}$. Setter du $c = 0$, får du nettopp $\sqrt{2gh}$ tilbake — en grensetilfelle-kontroll som tar fem sekunder og som sensorer premierer.

En egenskap ved alle rulleresultatene: akselerasjonen, sluttfarten og kravet til friksjonstall avhenger bare av formen ($c$) og av planets helning, ikke av $M$ eller $R$.

Grunnen er at både treghetsmomentet og rotasjonsenergien inneholder $MR^2$, som forkortes bort mot $M$ og $v^2/R^2$ i regnestykket.

Praktisk konsekvens: alle massive kuler ruller likt, uansett størrelse. En kulepennkule og en bowlingkule bruker like lang tid ned det samme planet. Får du et svar der $M$ eller $R$ henger igjen i et av standarduttrykkene, har du sannsynligvis regnet feil — det er en gratis kontroll.

Grunnen er at friksjonen alltid må gi det momentet som bremser spinnet i takt med at massesenteret bremses. Retardasjonen er den samme som akselerasjonen nedover:

$$a = \frac{g\sin\theta}{1+c}$$

altså mindre enn for et legeme som glir friksjonsfritt. Med samme startfart kommer det rullende legemet derfor lenger opp — svaret på den klassiske kvalitative deloppgaven «kommer det lengst opp med eller uten friksjon?».

$$v_{\text{kontakt}} = v - \omega R$$

Ved ren rulling er den null. Er den positiv, glir legemet framover under seg selv (typisk et hjul med for lite friksjon i en bakke). Er den negativt, spinner legemet raskere enn det beveger seg (typisk et bildekk som spinner på is ved start).

Fortegnet forteller også hvilken vei glidefriksjonen peker: den motsetter seg alltid den relative glidningen, altså motsatt vei av $v_{\text{kontakt}}$.

$$v_{\text{topp}} = v + \omega R = 2v$$

ved ren rulling — altså dobbelt så fort som kjøretøyet selv.

Dette er den mest håndfaste konsekvensen av rullebetingelsen, og den er lett å se: eikene ser skarpe ut nederst på et sykkelhjul i fart og utvisket øverst. Punktet er også et populært flervalgsspørsmål på midtveis, nettopp fordi svaret $2v$ overrasker.

- snordraget er ikke lenger likt på begge sider — forskjellen er det som gir trinsa moment;
- trinsa har et treghetsmoment som må med i regnskapet, typisk $I = \tfrac12 M_tR^2$ for en skive.

Snora ruller på trinsa uten å gli, så rullebetingelsen $a = \alpha R$ gjelder på trinsekanten. Systemets akselerasjon blir da

$$a = \frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2+I/R^2}$$

der leddet $I/R^2$ er trinsas «effektive masse». Sett $I = 0$, og du får Atwood-maskinen tilbake.

Kombinasjonen $I/R^2$, som dukker opp hver gang en rotasjon er koblet til en rettlinjet bevegelse gjennom rullebetingelsen.

Størrelsen har enheten kilogram og oppfører seg akkurat som en ekstra masse i systemet: for en trinse legges den til i nevneren, og for et rullende legeme gir den faktoren $(1+c)M$ i energiregnskapet.

Tolkningen er nyttig: et rullende legeme «føles» som om det veide $(1+c)M$ når du skyver på det, selv om vekta viser $M$. Det er derfor et tungt svinghjul er så vanskelig å få i gang.

Et skille som avgjør fortegnet på svaret i mange kvalitative deloppgaver.

Ved lik fart har det rullende legemet mest energi, fordi rotasjonen kommer i tillegg. Det kommer derfor lengst opp en bakke.

Ved lik energi — typisk ved start fra samme høyde — har det rullende legemet minst massesenterfart, fordi energien må deles på to bevegelsesformer. Det kommer derfor sist ned.

De to konklusjonene ser motstridende ut, men de svarer på hvert sitt spørsmål. Skriv alltid ned hva som er felles i sammenligningen før du konkluderer — det er der de fleste bommer.

$$\sum\mathbf{F}_{\text{ytre}} = M\mathbf{a}_{cm}$$

Massesenteret beveger seg altså som om hele massen var samlet der og alle ytre krefter angrep der — helt uavhengig av rotasjonen.

Dette er halvparten av oppskriften for kombinert bevegelse; den andre halvparten er $\tau_{cm} = I_{cm}\alpha$. At de to kan settes opp uavhengig og deretter kobles, er hele grunnen til at rulleoppgaver er løsbare.

Rullebetingelsen $v = \omega R$ er ikke en kraftlov, men en binding mellom to bevegelser — en kinematisk betingelse som geometrien pålegger systemet.

Konsekvensen er at systemet bare har én frihetsgrad: kjenner du $v$, kjenner du $\omega$, og omvendt. Det er derfor to likninger (kraft og moment) med tre ubekjente ($a$, $\alpha$, $f_s$) likevel er løsbare — bindingen leverer den tredje likningen.

Faller bindingen bort (legemet glir), går systemet fra én til to frihetsgrader, og du trenger en ny opplysning: glidefriksjonstallet $\mu_d$.

Standardresultatene, som må kunne utledes:

$$a = \frac{g}{1+c}, \qquad T = \frac{c}{1+c}\,mg$$

For en homogen sylinder gir det $a = \tfrac23 g$ og $T = \tfrac13 mg$.

Poenget som ofte etterspørres: snordraget er den eneste kraften med momentarm om massesenteret, siden tyngden angriper der. En ekte jojo har snora viklet om en tynn aksel med radius $r < R$, og da erstattes momentarmen $R$ av $r$ — akselerasjonen blir enda mindre.

Den lille bremsende virkningen som kommer av at hjulet og underlaget deformeres litt i kontaktflaten, slik at normalkraften ikke angriper nøyaktig rett under massesenteret.

Rullemotstand er ikke det samme som friksjonen som håndhever rullebetingelsen: rullemotstanden tapper faktisk energi, mens hvilefriksjonen ved ren rulling ikke gjør arbeid.

I FYS1100 neglisjeres rullemotstanden gjennomgående, og det gjøres også i denne boka. Begrepet er tatt med her fordi det er lett å blande de to, og fordi «friksjon som ikke tar energi» kan virke selvmotsigende inntil skillet er klart.

En påminnelse om at rullebetingelsen $v = \omega R$ gjelder farten i forhold til underlaget, ikke i forhold til bakken generelt.

Ruller en ball på et transportbånd som selv beveger seg, er det den relative farten mellom ball og bånd som skal være null i kontaktpunktet. Da blir betingelsen $v_{\text{ball}} - v_{\text{bånd}} = \omega R$.

Poenget er ikke pensum i seg selv, men det illustrerer hva betingelsen egentlig sier: kontaktflatene glir ikke mot hverandre. Alt annet er en konsekvens av det.