6.4 Drill: rotasjonsoppgaven (sjanger F)

Sjangerdrill på stiv-legeme-oppgaven: FBD → moment → `τ = Iα` eller energi/spinnbevaring, for stav, sylinder, jojo, kule.

90 min

19 oppgaver

Drillrotasjonsoppgaven (sjanger F)

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.3Spinn, spinnbevaring og «kritiser løsningen»

Brukes videre i

6.PPrøver til del 6: Rotasjon og stive legemer

Dette er treningsbanken for hele Del 6. Ingen ny teori — bare sjanger F, rotasjonsoppgaven, kjørt gjennom alle variantene sine på eksamensnivå.

Sjangeren står i 7 av 7 sett (100 %), og i grunnmalen for et moderne sett er den oppgave 2 — den nest første av fem flertrinnsoppgaver. Variantene som går igjen i arkivet:

- fallende stav i hengsel — moment, $\tau = I\alpha$ , energibevaring til loddrett;
- jojo — snordraget som eneste moment om massesenteret;
- sylinder på skråplan — både ren rulling og tilfellet der den ruller og glir;
- rullende kule opp en bakke — energiregnskap med rotasjon;
- kule skutt inn i en stav — spinnbevaring, energitap, oppsving;
- treghetsmoment-rangering — konseptvarianten, som passer midtveiseksamens flervalgsformat;
- trinse med masse — der snordraget ikke lenger er likt på begge sider.

Slik ligger poengene, ut fra sensorveiledningene i H2023, V2024 og V2025:

Steg	Typisk uttelling
Frilegemediagram med navngitte krefter og riktige angrepspunkter	selvstendig poenggivende
Riktig valg av akse	bærende — feil akse gjør resten ugyldig
Riktig $I$ om den aksen (parallellakse ved behov)	kjernen i oppgaven
Rullebetingelsen eller bevaringsbegrunnelsen skrevet ut	eget poeng
Retning og enhet på svaret	trekkes når det mangler

Sensor er relativt mild på fortegnsfeil i rotasjonsoppgaver, men krever riktig oppsett. Et fortegn som glipper når konvensjonen er oppgitt, koster lite; en momentlikning satt opp om feil akse koster alt. Prioriter derfor oppsettet: akse, frilegemediagram, riktig

I

.
Bruk kapitlet slik: løs oppgavene med formelarket og Rottmann ved siden av, slik eksamen faktisk er, og skriv for hånd. Tegn hvert frilegeme- og momentdiagram, også når du ser svaret.

Forkunnskaper — sist du var her

Kapitlet forutsetter kap. 6.1, kap. 6.2 og kap. 6.3. Alt du trenger, samlet på én side:

Kraftmoment og rotasjonens Newtons 2. lov:

$\tau = rF\sin\varphi = F\cdot(\text{momentarm}), \qquad \tau_{\text{net}} = I\alpha$

En kraft gjennom aksen gir null moment. Det er dette som lar deg fjerne hengsel- og lagerkrefter fra regnskapet.

Treghetsmoment — formelarket gir tabellen, du velger linje og flytter aksen:

$I_{\text{stav, ende}} = \tfrac13 M\ell^2, \quad I_{\text{sylinder}} = \tfrac12 MR^2, \quad I_{\text{kule}} = \tfrac25 MR^2, \quad I_{\text{ring}} = MR^2$

$I = I_{cm} + Md^2 \quad \text{(parallellakseteoremet)}$

Energi og rulling:

$K_{\text{rot}} = \tfrac12 I\omega^2, \qquad v = \omega R, \qquad a = \alpha R, \qquad c = \frac{I}{MR^2}$

$a = \frac{g\sin\theta}{1+c}, \qquad v = \sqrt{\frac{2gh}{1+c}}, \qquad \mu_s \ge \frac{c}{1+c}\tan\theta$

Spinn og spinnbevaring:

$L = I\omega, \qquad L = p\cdot(\text{momentarm}), \qquad \mathbf{L}_{\text{før}} = \mathbf{L}_{\text{etter}} \ \text{når} \ \tau_{\text{ytre}} = 0$

Notasjon: vi bruker $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ; stavens lengde er $\ell$ (spinn er $\mathbf{L}$ ); tyngden er $M\mathbf{g}$ , aldri $\mathbf{G}$ ; $\alpha$ er vinkelakselerasjon og $\theta$ er vinkel; friksjonstall skrives $\mu_s$ og $\mu_d$ .

📜Løsningsoppskriften for sjanger F

Seks steg. Følg dem i rekkefølge, hver gang, også når oppgaven ser enkel ut.

1. Tegn frilegemediagram og velg rotasjonsakse. Legg aksen der de ukjente kreftene angriper — da får de null momentarm og forsvinner. Skriv ned hvilken akse du bruker, og hvilken omdreiningsretning som er positiv.
2. Avgjør metode. Skal du finne en akselerasjon eller en kraft, bruk dynamikk ( $\tau = I\alpha$ , eventuelt sammen med $\sum\mathbf{F} = M\mathbf{a}$ og rullebetingelsen). Skal du finne en sluttfart eller en høyde, bruk energibevaring. Går det et støt gjennom oppgaven, bruk spinnbevaring om aksen gjennom støtet.
3. Finn riktig $I$ om den valgte aksen. Hent linja fra formelarket, og flytt aksen med parallellakseteoremet hvis den ikke går gjennom massesenteret. Er legemet sammensatt, legg sammen bidragene — men bare om samme akse.
4. Koble translasjon og rotasjon der begge finnes: rullebetingelsen $a = \alpha R$ , eller snorens $a = \alpha R$ på en trinse.
5. Løs symbolsk så lenge som mulig, og sett inn tall til slutt.
6. Oppgi enhet og retning, og verifiser med et grensetilfelle der uttrykket inviterer til det.

Steg 1 og 3 er de dyreste. Feil akse eller feil $I$ gjør hele resten ugyldig, uansett hvor pen regningen er. Steg 6 er det som skiller: en grensetilfelle-kontroll tar femten sekunder og er ofte en egen deloppgave med egne poeng.

Bevaringslovene, valgt på betingelse — ikke på vane:

Lov	Bevart når	Typisk situasjon i sjanger F
Mekanisk energi	bare konservative krefter gjør arbeid	rulling uten gliding, oppsving etter støt
Spinn om en akse	ytre kraftmoment om aksen er null	støt mot hengslet legeme, fri rotasjon
Bevegelsesmengde	ytre kraft i retningen er null	ikke når det finnes et hengsel

✏️Gjennomregnet eksamenscase: jojoen, med sensorblikk

En jojo modelleres som en homogen sylinder med masse $m = 0{,}120\,\text{kg}$ og radius $R = 0{,}030\,\text{m}$ . Snora er viklet rundt kanten og festet i taket. Jojoen slippes fra hvile.

a) Tegn frilegemediagram og sett opp likningene.

b) Finn massesenterets akselerasjon med $\tau = I\alpha$ og rullebetingelsen.

c) Finn snordraget.

d) Finn farten og vinkelfarten etter et fall på $0{,}80\,\text{m}$ , og kontroller med energi.

e) Sammenlign med fritt fall, og forklar forskjellen.

Metodevalg først: vi bruker Newtons 2. lov for massesenterets fall, rotasjonens Newtons 2. lov om massesenteret, og rullebetingelsen

a = \alpha R

langs snora. Snora er masseløs og uttøyelig.

a) To krefter virker på jojoen: tyngden $m\mathbf{g}$ nedover i massesenteret, og snordraget $T$ oppover langs snora, med angrepspunkt der snora forlater kanten. Positiv retning settes nedover.

$mg - T = ma, \qquad TR = I\alpha = \tfrac12 mR^2\alpha, \qquad a = \alpha R$

Sensorblikk: her ligger de første poengene, og de er billige. Begge pilene skal ha navn, angrepspunktene skal være riktige, og du skal skrive ut at tyngden har null momentarm om massesenteret — det er nettopp derfor momentlikningen bare har ett ledd. Å la tyngden bidra her er felle #15 og koster typisk 2 poeng. Feilene har et samlet register i bokas kap. 0.1.

b) Fra momentlikningen med $\alpha = a/R$ :

$TR = \tfrac12 mR^2\frac{a}{R} \quad \Longrightarrow \quad T = \tfrac12 ma$

Satt inn i kraftlikningen:

$mg - \tfrac12 ma = ma \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{g}{1+c} = \frac{2g}{3} = 6{,}54\,\text{m/s}^2$

nedover.

Sensorblikk: rullebetingelsen $a = \alpha R$ er et eget poeng. Uten den har du to likninger og tre ukjente ( $a$ , $\alpha$ , $T$ ), og oppgaven er ikke løsbar. Skriv den ned eksplisitt, ikke bare bruk den.

c) $T = \tfrac12 ma = \tfrac12 \cdot 0{,}120 \cdot 6{,}54 = 0{,}392\,\text{N}$

oppover langs snora. Til sammenligning er tyngden $mg = 1{,}18\,\text{N}$ — snordraget er nøyaktig en tredjedel av den.

Sensorblikk: en linje om at $T < mg$ , og at det må være slik fordi jojoen faktisk faller, viser at du har lest svaret ditt. Det tar ti sekunder og er akkurat den typen kontroll toppbesvarelsene gjør uoppfordret.

— naturlig pausepunkt —

d) Akselerasjonen er konstant, så bevegelseslikningene gjelder:

$v = \sqrt{2ah} = \sqrt{2 \cdot 6{,}54 \cdot 0{,}800} = \sqrt{10{,}46} = 3{,}23\,\text{m/s}$

nedover, og

$\omega = \frac{v}{R} = \frac{3{,}235}{0{,}030} = 108\,\text{rad/s}$

Energikontroll:

$mgh = 0{,}120 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}800 = 0{,}942\,\text{J}$

$\tfrac12(1+c)mv^2 = \tfrac12 \cdot 1{,}500 \cdot 0{,}120 \cdot 10{,}46 = 0{,}942\,\text{J} \ ✓$

Sensorblikk: når to metoder gir samme svar, si det. Fasitene viser ofte begge veier, og en kandidat som kontrollerer seg selv med den andre metoden signaliserer nettopp den sikkerheten toppsjiktet har. Merk også at $33\,\%$ av energien sitter i rotasjonen: $c/(1+c) = 1/3$ .

e) Fritt fall ville gitt $a = g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ og $v = \sqrt{2gh} = 3{,}96\,\text{m/s}$ etter samme fall.

Jojoen faller altså saktere — to tredjedeler av tyngdens akselerasjon — fordi en del av arbeidet tyngden gjør, går til å sette den i spinn i stedet for å øke farten nedover. Snora er koblingen som tvinger fram den fordelingen: uten snor ville jojoen falt fritt uten å rotere i det hele tatt.

Grensetilfelle: setter vi $c = 0$ (all massen i sentrum, ingen rotasjonstreghet), gir formelen $a = g$ og $T = 0$ . Det stemmer — da har snora ingenting å ta tak i.

Sensorblikk: en kvalitativ deloppgave som denne gir full uttelling for et presist resonnement uten regning. «Energien deles mellom translasjon og rotasjon» er kjernen; nevner du i tillegg at forholdet er $c/(1+c)$ , er svaret på toppnivå.

Typiske feil

Feilkatalogen for hele sjanger F, samlet. Bruk den som en sjekkliste når du retter deg selv etter hver drilloppgave. Kodene har et samlet register i bokas kap. 0.1.

Moment og treghetsmoment regnet om ulike akser. Den dyreste feilen i delen. Skriv ned hvilken akse du bruker før du summerer momenter, og bruk $I$ om nøyaktig den aksen. For en stav gir forveksling av $I_{cm}$ og $I_{\text{ende}}$ en faktor 3 i feil.

Tyngden gitt moment om massesenteret (felle #15, typisk −2 p). Tyngden angriper i massesenteret. I momentlikningen for et rullende legeme bidrar bare friksjonen; for en jojo bare snordraget.

Glemt rullebetingelsen. Uten $a = \alpha R$ har du to likninger og tre ukjente. Skriv den ut som en egen linje — det er et eget poeng, og det er den likningen som oftest mangler.

Glemt rotasjonsenergien. $Mgh = \tfrac12 Mv^2$ for et rullende legeme gir alltid for stor fart. Rullende legemer har to kinetiske energiledd.

Hvilefriksjonen satt lik $\mu_s N$ . Ved ren rulling er friksjonen akkurat så stor som rullebetingelsen krever, og som regel mindre enn taket. Ulikheten brukes til å sjekke om rullingen holder, ikke til å regne ut kraften.

Bevegelsesmengde brukt der spinn skal brukes. Finnes det et hengsel, er bevegelsesmengden ikke bevart. Spinnet om hengselaksen er det — fordi hengselkraften ikke har momentarm.

Masse forvekslet med treghetsmoment. $(m+M)$ i en spinnlikning er den mest siterte feilen i sjangeren. Et roterende stivt legeme har ikke én felles fart.

Bevaringslov brukt uten begrunnelse (felle #7, typisk −1 p). Skriv ut hvorfor loven gjelder, hver gang. Dette er den hyppigste enkeltfeilen i Del 6.

Energibevaring gjennom et uelastisk støt (felle #2, 0 p). Regn energien ut i begge tilstander og sammenlign — anta aldri at den er den samme.

Manglende retning på moment, vinkelfart eller spinn (felle #9, typisk −2 p). Alle tre er vektorstørrelser. «Mot klokka, altså ut av papirplanet» hører med i svaret.

Grader i stedet for radianer. Alle rotasjonsformlene forutsetter radianer, også $v = \omega R$ og $K_{\text{rot}}$ .

Drilloppgavene (~65 min)

Tretten oppgaver på eksamensnivå, stigende. De dekker alle variantene fra Eksamensvinkel-boksen: stav, skive, rulling, jojo, spinnbevaring, trinse med masse, rangering og en «kritiser løsningen».

Ta dem gjerne over to økter — naturlig pausepunkt etter oppgave 7.

📝Oppgave 1

(Rangering, midtveisformat.) Fire legemer har alle massen $M = 1{,}50\,\text{kg}$ og ytre radius $R = 0{,}200\,\text{m}$ : en massiv kule, en massiv sylinder, et kuleskall og en tynn ring. Alle roterer om en akse gjennom massesenteret.

a) Regn ut treghetsmomentet for hvert av dem, og ranger dem.

b) Den massive sylinderen skal i stedet rotere om en akse langs kanten, parallell med symmetriaksen. Finn treghetsmomentet om den aksen.

c) Alle fire får det samme kraftmomentet. Ranger dem etter vinkelakselerasjon, og forklar sammenhengen med a).

📝Oppgave 2

(Skive med snordrag.) Et svinghjul med treghetsmoment $2{,}40\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ er lagret slik at det kan snurre fritt. En snor er viklet om en trommel med radius $0{,}150\,\text{m}$ på samme aksel, og trekkes med den konstante kraften $40{,}0\,\text{N}$ . Hjulet starter i ro.

a) Finn kraftmomentet og vinkelakselerasjonen.

b) Finn vinkelfarten etter $3{,}00\,\text{s}$ .

c) Finn rotasjonsenergien på det tidspunktet, og kontroller den mot arbeidet kraften har gjort.

📝Oppgave 3

(Fallende stav.) En homogen stav med masse $1{,}80\,\text{kg}$ og lengde $0{,}90\,\text{m}$ er hengslet i den ene enden og holdes vannrett. Så slippes den.

a) Finn treghetsmomentet om hengselaksen og vinkelakselerasjonen i det staven slippes.

b) Finn akselerasjonen til den frie enden, og sammenlign med $g$ .

c) Finn vinkelfarten når staven passerer loddrett stilling, og farten til den frie enden der.

📝Oppgave 4

(Rullende kule.) En massiv kule med masse $2{,}20\,\text{kg}$ og radius $0{,}110\,\text{m}$ ruller uten å gli fra hvile ned et skråplan med helning $18{,}0^\circ$ , en strekning $2{,}50\,\text{m}$ langs planet.

a) Finn massesenterets akselerasjon.

b) Finn farten og vinkelfarten ved slutten av strekningen, og kontroller farten med energibevaring.

c) Finn friksjonskraften og det minste friksjonstallet som gjør ren rulling mulig.

📝Oppgave 5

(Jojo.) En jojo modellert som en homogen sylinder har masse $0{,}250\,\text{kg}$ og radius $0{,}040\,\text{m}$ . Den slippes fra hvile.

a) Finn akselerasjonen, vinkelakselerasjonen og snordraget.

b) Finn farten og vinkelfarten etter et fall på $0{,}500\,\text{m}$ .

c) Hvor stor andel av den kinetiske energien sitter i rotasjonen?

📝Oppgave 6

(Ruller og glir.) En homogen sylinder med radius $0{,}150\,\text{m}$ ligger på et skråplan med helning $30{,}0^\circ$ . Friksjonstallene er $\mu_s = \mu_d = 0{,}120$ .

a) Vis at sylinderen ikke kan rulle rent.

b) Finn massesenterets akselerasjon.

c) Finn vinkelakselerasjonen, og vis at $a > \alpha R$ .

d) Forklar hva ulikheten i c) betyr fysisk, og hva som ville måttet endres for at ren rulling skulle blitt mulig.

📝Oppgave 7

(Trinse med masse.) To lodd med masse $4{,}00\,\text{kg}$ og $2{,}50\,\text{kg}$ henger i hver sin ende av en snor som går over en trinse. Trinsa er en homogen skive med masse $1{,}20\,\text{kg}$ og radius $0{,}080\,\text{m}$ , og snora glir ikke på den.

a) Forklar hvorfor snordraget ikke lenger er likt på begge sider.

b) Finn akselerasjonen.

c) Finn de to snordragene, og kontroller mot trinsas momentlikning.

d) Sammenlign med resultatet for en masseløs trinse.

📝Oppgave 8

(Kule i stav — spinnbevaring.) En homogen stav med masse $2{,}50\,\text{kg}$ og lengde $1{,}40\,\text{m}$ henger i ro fra et hengsel i den øvre enden. En kule med masse $0{,}060\,\text{kg}$ kommer vannrett med farten $30{,}0\,\text{m/s}$ , treffer staven $1{,}20\,\text{m}$ under hengselet og setter seg fast.

a) Begrunn hvilken bevaringslov som gjelder gjennom støtet, og finn vinkelfarten rett etter.

b) Finn hvor stor andel av den kinetiske energien som går tapt.

c) Finn den største vinkelen staven svinger ut til.

📝Oppgave 9

(Spinnbevaring.) En dreieskive med treghetsmoment $0{,}60\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ snurrer fritt med $4{,}50\,\text{rad/s}$ . To klumper à $0{,}30\,\text{kg}$ senkes forsiktig rett ned og festes samtidig i avstanden $0{,}50\,\text{m}$ fra aksen, på hver sin side.

a) Begrunn at spinnet om den loddrette aksen er bevart, og finn den nye vinkelfarten.

b) Finn rotasjonsenergien før og etter.

c) Hvorfor er det viktig at klumpene festes på hver sin side?

📝Oppgave 10

(Rulling oppover, med sammenligning.) En massiv kule ruller uten å gli langs et vannrett underlag med farten $5{,}00\,\text{m/s}$ og fortsetter opp en bakke med helning $22{,}0^\circ$ .

a) Hvor høyt kommer kula, målt loddrett, og hvor langt langs bakken?

b) Hvor høyt ville en kloss med samme fart kommet, om den gled helt friksjonsfritt?

c) Begrunn forskjellen både med et energiargument og med Newtons 2. lov.

d) Hvilken vei peker friksjonen på kula mens den ruller oppover?

📝Oppgave 11

(Kvalitativ — «forklar/begrunn»-typen som det er minst én av i hvert eksamenssett.)

a) Hvorfor er det lurt å velge hengselaksen som rotasjonsakse i en oppgave om en fallende stav, i stedet for massesenteret?

b) En sylinder og en ring med samme masse og radius slippes samtidig ned et skråplan. Hvem kommer først, og hvorfor er svaret uavhengig av hvor bratt planet er?

c) En medstudent sier: «Siden spinnet er bevart i støtet, må energien også være bevart — begge er jo bevaringslover.» Hva er galt?

📝Oppgave 12

(Kvalitativ, «kritiser løsningen».) En besvarelse på oppgaven «en homogen sylinder ruller uten å gli ned et skråplan med helning $\theta$ — finn massesenterets akselerasjon» lyder:

> «Kreftene langs planet er $Mg\sin\theta$ nedover og friksjonen $f = \mu_s N = \mu_s Mg\cos\theta$ oppover. Newtons 2. lov gir
> $a = g(\sin\theta - \mu_s\cos\theta)$
> Rotasjonen påvirker ikke massesenterets bevegelse, siden tyngden angriper i massesenteret og derfor gir null moment.»

a) Pek ut feilene med fagbegrep.

b) Sett opp riktig framgangsmåte.

c) Er den siste setningen i besvarelsen riktig eller gal? Svar presist.

📝Oppgave 13

(Eksamensklone, flertrinns.) En homogen skive med masse $M = 2{,}0\,\text{kg}$ og radius $R = 0{,}15\,\text{m}$ er lagret slik at den kan snurre fritt om symmetriaksen. En snor er viklet om kanten, og i enden av snora henger en kloss med masse $m = 3{,}0\,\text{kg}$ . Systemet slippes fra hvile.

a) Tegn frilegemediagram for klossen og for skiva, og sett opp likningene.

b) Finn klossens akselerasjon og snordraget.

c) Finn klossens fart etter et fall på $1{,}5\,\text{m}$ , med både dynamikk og energi.

d) Hvor stor andel av den frigjorte potensielle energien sitter i skivas rotasjon?

Sjangerkortet

Dette er et drillkapittel, ikke en begrepsbank — de åtte kortene under er repetisjonsstoff som samler grepene fra Del 6 i den formen du trenger dem under tidspress. Hopp trygt over ved førstegangslesing.

Aksevalget i en rotasjonsoppgave

I

Metodevalget: dynamikk eller bevaring

\tau = I\alpha

Rullebetingelsen som tredje likning

\sum F = Ma

Standarduttrykkene for rulling

c = I/(MR^2)

Faseinndeling i støtoppgaver

Grepet som gjør de sammensatte oppgavene overkommelige: del prosessen i faser, og avgjør for hver fase hvilken lov som gjelder og hvorfor . 1. Gjennom støtet (millisekunder, store krefter): spinnbevaring om aksen. Energi går tapt. 2. Etter støtet (sekunder, tyngden dominerer): energibevaring under oppsvinget. Skriv fasene som overskrifter i besvarelsen. Det gjør både tenkningen din og sensors retting enklere — og det hindrer den vanligste feilen, som er å bruke én lov gjennom hele forløpet.

Grensetilfeller som sluttkontroll

c \to 0

Effektiv masse

I/R^2

a = \dfrac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2+I/R^2}

Tidsbudsjett for en rotasjonsoppgave

En flertrinns rotasjonsoppgave med fire-fem deloppgaver er dimensjonert for omtrent 48 minutter på en fire timers eksamen med fem oppgaver. En realistisk fordeling: - 5 min: les hele oppgaven, tegn situasjonsskisse og frilegemediagram, velg akse. - 10 min: sett opp likningene symbolsk, inkludert rullebetingelse eller bevaringsbegrunnelse. - 20 min: løs deloppgavene i rekkefølge, med tall og enheter. - 8 min: de kvalitative deloppgavene, som ofte er de billigste poengene i hele oppgaven. - 5 min: grensetilfeller, retninger, enheter, gjennomlesing. Ta a-deloppgavene i alle oppgavene før du graver deg ned i én. Inntil 5 poeng per deloppgave, alle teller likt — bredde lønner seg.

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.