1.1 Dimensjonsanalyse, benevning og størrelsesorden

Å utlede formens skjelett fra enheter alene, sjekke uttrykk med benevningskontroll, og tenke i tierpotenser.

45 min

8 oppgaver

Dimensjonsanalysebenevningstørrelsesorden

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.2Taylor-utvikling og linearisering 1.3Fermi-estimering og størrelsesorden

Dette kapitlet gir deg en gratis kvalitetssjekk på hvert eneste svar du skriver på eksamen — og av og til hele svaret.

Dimensjonsanalyse er den nyeste av verktøysjangrene i FYS1100. Analysen av arkivet gir den ikke et eget frekvenstall slik de store temaene har, fordi den opptrer i to former:

- som rent flervalgsspørsmål på midtveiseksamen (den digitale flervalgsprøven midt i semesteret, som teller 20 % av karakteren) — «hvilket av uttrykkene kan ikke være riktig?»;
- som verktøy inne i en større oppgave på den avsluttende skoleeksamenen — i settet fra høsten 2025 skulle banefarten til en satellitt utledes ved dimensjonsanalyse før den ble regnet ut.

I tillegg er benevningskontroll — å sjekke at venstre og høyre side i en likning har samme enhet — noe sensor forventer at du gjør uoppfordret. Det koster deg femten sekunder og redder deg fra å levere et svar der en fart har enhet $\text{m}^2/\text{s}$ .

Prioritet: bør sitte. Kapitlet er kort, og ferdigheten brukes i alle de ti neste delene av boka.

Kapitlet trener også sjanger J — de kvalitative oppgavene der du blir bedt om å forklare, begrunne eller kritisere noe i ord i stedet for å regne. Minst én deloppgave av den typen finnes i hvert eneste eksamenssett.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette er bokas første fagkapittel, og det krever nesten ingenting på forhånd. Det du trenger, er trygg regning med tierpotenser:

$10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}, \qquad \frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}, \qquad (10^a)^b = 10^{ab}, \qquad \sqrt{10^a} = 10^{a/2}$

Her er $a$ og $b$ vanlige tall (de kan gjerne være negative eller brøker). Trenger du å friske opp dette, ligger det i Potenser og logaritmer.

Ellers skal du kjenne igjen de vanligste SI-enhetene fra videregående: meter $\text{m}$ , kilogram $\text{kg}$ , sekund $\text{s}$ , newton $\text{N}$ og joule $\text{J}$ . Alt annet — hva en dimensjon er, hvordan man skriver den, og hvordan man bruker den — bygger vi opp fra bunnen her.

Heng en nøkkelknippe i en snor og la den svinge. Bytt til en tyngre nøkkelknippe i samme snor. Svinger den saktere?

Nei. Svingetiden er nøyaktig den samme. Det virker urimelig første gang du ser det — en tyngre klump burde da være tregere? — men du kan komme fram til svaret uten å kunne en eneste formel for pendler. Du trenger bare å spørre: hvilke enheter har størrelsene som er i spill, og hvordan kan de settes sammen slik at det kommer et sekund ut?

Det er hele ideen i dette kapitlet. Vi skal gjøre tre ting:

1. lære å skrive dimensjonen til en fysisk størrelse — et slags DNA-kort som sier hvor mye masse, lengde og tid som stikker i den;
2. bruke dimensjonen til å kontrollere svar (fem sekunders arbeid, ofte flere poeng verdt);
3. bruke dimensjonen til å utlede formen på et uttrykk vi ikke husker — og forstå nøyaktig hvor metoden slutter å virke.

Kapitlet er bygd som tre korte læringsløkker: teori, gjennomregnet eksempel, og deretter en oppgave på nettopp det du nettopp leste.

Løkke 1 — dimensjon, enhet og benevningskontroll (~15 min)

Dimensjon

X

SI-grunnenhet

\text{m}

Størrelse	SI-grunnenhet	Symbol
lengde	meter	$\text{m}$
masse	kilogram	$\text{kg}$
tid	sekund	$\text{s}$

De tre mekaniske grunnstørrelsene

[M]

[L]

[T]

[M]

Avledet enhet

1\,\text{N}

Dimensjonsformel

[X] = [M]^a\,[L]^b\,[T]^c

Slik finner du dimensjonen til hva som helst

Oppskriften er kort: finn en definisjon eller en lov som størrelsen står alene i, og oversett den til dimensjoner. Dimensjonene følger de vanlige regnereglene for potenser.

Steg 1 — start fra definisjonen. Fart er strekning delt på tid, altså $v = \Delta x/\Delta t$ . I dimensjoner:

$[v] = \frac{[L]}{[T]} = [L][T]^{-1}$

Intuisjon: en brøkstrek mellom størrelser blir en brøkstrek mellom dimensjoner. Ingenting mer.

Steg 2 — bygg videre på det du allerede har. Akselerasjon er endring i fart per tid, $a = \Delta v/\Delta t$ :

$[a] = \frac{[L][T]^{-1}}{[T]} = [L][T]^{-2}$

Intuisjon: hver gang du deler på en tid til, går tidseksponenten ned med én. «Meter per sekund per sekund» er nøyaktig det $[L][T]^{-2}$ sier.

Steg 3 — bruk en fysisk lov når definisjonen ikke holder. Kraft har ingen enkel «strekning delt på noe»-definisjon, men Newtons 2. lov binder den til masse og akselerasjon, $\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a}$ :

$[F] = [M]\cdot[L][T]^{-2} = [M][L][T]^{-2}$

Intuisjon: en lov er en likhet, og en likhet må stemme dimensjonelt. Derfor kan enhver lov leses baklengs som en definisjon av dimensjonen til den størrelsen du mangler.

Steg 4 — ledd som legges sammen, må ha samme dimensjon. I $v = v_0 + at$ har både $v$ , $v_0$ og $at$ dimensjonen $[L][T]^{-1}$ . Det er ikke en tilfeldighet, det er et krav — og det kravet er hele grunnlaget for resten av kapitlet.

Intuisjon: du kan ikke legge tre meter til fem sekunder. Summen ville ikke bety noe.

✏️Eksempel 1: dimensjonskort for seks vanlige størrelser

Finn dimensjonsformelen $[X] = [M]^a[L]^b[T]^c$ for fart, akselerasjon, kraft, arbeid (energi), effekt og trykk. Oppgi også SI-enheten uttrykt i grunnenheter.

Metodevalg: hver størrelse har en definisjon eller en lov som binder den til størrelser vi allerede kjenner dimensjonen til. Vi starter nederst i kjeden (fart) og bygger oppover.

Fart, $v = \Delta x/\Delta t$ :
$[v] = [L][T]^{-1}, \qquad \text{SI: } \text{m}/\text{s}$

Akselerasjon, $a = \Delta v/\Delta t$ :
$[a] = [L][T]^{-2}, \qquad \text{SI: } \text{m}/\text{s}^2$

Kraft, fra $\sum\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ :
$[F] = [M][L][T]^{-2}, \qquad \text{SI: } \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2 = \text{N}$

Arbeid og energi, fra $W = Fs$ (kraft ganger strekning langs kraftretningen):
$[W] = [M][L][T]^{-2}\cdot[L] = [M][L]^2[T]^{-2}, \qquad \text{SI: } \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2 = \text{J}$

Kontroll: kinetisk energi er $\tfrac12 mv^2$ , og $[M]\cdot([L][T]^{-1})^2 = [M][L]^2[T]^{-2}$ — samme svar. To ulike energiformer må ha samme dimensjon, ellers kunne vi ikke lagt dem sammen i et energiregnskap.

Effekt, energi per tid:
$[P] = [M][L]^2[T]^{-3}, \qquad \text{SI: } \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^3 = \text{W}$

Trykk, kraft per areal:
$[p] = \frac{[M][L][T]^{-2}}{[L]^2} = [M][L]^{-1}[T]^{-2}, \qquad \text{SI: } \text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2) = \text{Pa}$

Merk: trykk har negativ lengdeeksponent. Negative eksponenter er helt vanlige og betyr bare at størrelsen står i en nevner.

📝Oppgave 1

(Innsteg. Ren gjengivelse av metoden fra eksempel 1.)

Finn dimensjonsformelen $[X] = [M]^a[L]^b[T]^c$ for hver av størrelsene under. Skriv også SI-enheten i grunnenheter.

a) Tetthet, definert som $\rho = m/V$ der $V$ er et volum.

b) Kraftmoment, som i den enkleste formen er kraft ganger arm: $\tau = rF$ .

c) Fjærkonstanten $k$ i kraftmodellen $F = kx$ , der $x$ er en lengde.

d) Gravitasjonskonstanten $G$ i $F = GMm/r^2$ .

Dimensjonsløs størrelse

[X] = [M]^0[L]^0[T]^0 = 1

Dimensjonshomogenitet

\underbrace{v}_{[L][T]^{-1}} = \underbrace{v_0}_{[L][T]^{-1}} + \underbrace{at}_{[L][T]^{-2}\cdot[T] = [L][T]^{-1}} \qquad \checkmark

Benevningskontroll

\text{m}/\text{s}^2

✏️Eksempel 2: fire uttrykk gjennom benevningskontroll

En student har skrevet ned fire uttrykk fra hukommelsen. Bruk benevningskontroll til å avgjøre hvilke som umulig kan være riktige, og hvilke som passerer kontrollen.

1. $s = v_0 t + \tfrac12 a t$
2. $v^2 = v_0^2 + 2as$
3. $P = Fv^2$
4. $U = \tfrac12 k x^2$ (potensiell energi i en fjær, $k$ fra $F=kx$ )

Metodevalg: vi bruker dimensjonshomogenitet. Et uttrykk der to ledd har ulik dimensjon, kan avvises uten videre; et uttrykk som er homogent, kan være riktig, men er ikke dermed bevist.

1. Venstre side: $[s] = [L]$ . Første ledd til høyre: $[v_0 t] = [L][T]^{-1}\cdot[T] = [L]$ ✓. Andre ledd: $[at] = [L][T]^{-2}\cdot[T] = [L][T]^{-1}$ ✗.

De to leddene på høyre side har ulik dimensjon — en lengde pluss en fart. Umulig. Riktig form er $\tfrac12 a t^2$ , som gir $[L][T]^{-2}\cdot[T]^2 = [L]$ .

2. Venstre: $[v^2] = [L]^2[T]^{-2}$ . Høyre, ledd for ledd: $[v_0^2] = [L]^2[T]^{-2}$ ✓ og $[2as] = [L][T]^{-2}\cdot[L] = [L]^2[T]^{-2}$ ✓ (tallet 2 er dimensjonsløst).

Passerer. (Og dette er faktisk den riktige formelen for konstant akselerasjon.)

3. Venstre: $[P] = [M][L]^2[T]^{-3}$ . Høyre: $[Fv^2] = [M][L][T]^{-2}\cdot[L]^2[T]^{-2} = [M][L]^3[T]^{-4}$ ✗.

Umulig. Riktig er $P = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$ , altså kraft ganger fart, som gir $[M][L][T]^{-2}\cdot[L][T]^{-1} = [M][L]^2[T]^{-3}$ ✓.

4. $[k] = [M][T]^{-2}$ (fra oppgave 1c). Høyre: $[k x^2] = [M][T]^{-2}\cdot[L]^2 = [M][L]^2[T]^{-2}$ , som er dimensjonen til energi ✓.

Passerer.

Oppsummert: to av de fire faller på benevningskontroll (uttrykk 1 og 3), to passerer (uttrykk 2 og 4). Legg merke til at kontrollen aldri sier «riktig» — den sier bare «ikke avvist».

📝Oppgave 2

(Sjanger: dimensjonsanalyse som flervalg — nøyaktig formen den har på midtveiseksamen.)

Nøyaktig ett av uttrykkene under er dimensjonelt umulig. Finn det, og forklar i én setning hva som er galt.

a) $E = mgh$ (masse, tyngdeakselerasjon, høyde)

b) $\omega = \sqrt{k/m}$ (vinkelfart, fjærkonstant, masse) — skal ha enhet $\text{s}^{-1}$

c) $p = \rho g h$ (trykk, tetthet, tyngdeakselerasjon, dybde)

d) $F = \dfrac{mv}{r}$ (kraft, masse, fart, radius)

📝Oppgave 3

(Eksamensnær. Benevningskontroll på et uttrykk du møter igjen i luftmotstandskapitlet.)

For et legeme som faller gjennom luft, brukes ofte kraftmodellen $F_D = D v^2$ , der $D$ er en konstant som avhenger av legemets form og lufta. Når tyngden og luftmotstanden balanserer, faller legemet med konstant fart — terminalfarten:

$v_T = \sqrt{\frac{mg}{D}}$

a) Finn dimensjonen til $D$ , og oppgi SI-enheten.

b) Vis ved benevningskontroll at uttrykket for $v_T$ har riktig dimensjon.

c) En tennisball har $m = 0{,}060\ \text{kg}$ og $D = 1{,}06\cdot 10^{-3}\ \text{kg/m}$ . Regn ut $v_T$ med to gjeldende siffer, og avslutt med en benevningskontroll av tallregningen.

Typiske feil — dimensjon og enhet

Feil A: å blande enhet og dimensjon. Dimensjonen

[L]

er «lengde». Enheten er meter, tomme eller lysår. Et sluttsvar oppgis alltid i enheter; en dimensjonsanalyse føres i dimensjoner. Blander du de to, ender du med å skrive

[\text{m}]

, som ikke betyr noe.

Feil B: å blande prefikser midt i et regnestykke. Gram og kilogram, centimeter og meter, gram per kubikkcentimeter og kilogram per kubikkmeter. Gjør alltid om til SI-grunnenheter før du regner. En faktor $10^3$ på feil sted er en av de vanligste kildene til svar som er tusen ganger for store.

Feil C: å hoppe over benevningskontrollen på sluttsvaret. Dette er den billigste kvalitetssjekken i hele faget. Sensor forventer at du gjør den uoppfordret.

*Feil D: å tro at dimensjonen forteller hva størrelsen er. Kraftmoment og energi har begge dimensjonen $[M][L]^2[T]^{-2}$ , men de er ikke samme fysiske størrelse og kan ikke legges sammen. Dimensjonskontroll utelukker feil — den bekrefter aldri.

Alle fire henger sammen med felle #1 — tallsvar uten resonnement*, den dyreste enkeltfeilen på FYS1100-eksamen: et tall uten enhet og uten kontroll er et tall sensor ikke kan gi poeng for. Feilene i boka har numre fordi de går igjen; du finner hele registeret samlet i eksamenskartet.

Løkke 2 — å utlede formens skjelett (~20 min)

— naturlig pausepunkt —

Til nå har vi brukt dimensjoner til å kontrollere uttrykk. Nå snur vi det: vi bruker dem til å finne uttrykk vi ikke har.

Dimensjonsanalyse

X

📜Oppskriften for dimensjonsanalyse

Gitt: størrelsen

X

antas å avhenge av

A

B

C

1. Sett opp ansatsen $X = k\, A^{\alpha} B^{\beta} C^{\gamma}$ , der $k$ er en ukjent, dimensjonsløs konstant.
2. Skriv dimensjonsformelen for hver størrelse i $[M]$ , $[L]$ , $[T]$ .
3. Krev homogenitet: eksponenten til $[M]$ på venstre side må være lik eksponenten til $[M]$ på høyre side, og likeens for $[L]$ og $[T]$ . Det gir tre likninger i de ukjente eksponentene.
4. Løs likningssettet for $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
5. Skriv svaret som $X \sim A^{\alpha}B^{\beta}C^{\gamma}$ , og si eksplisitt at den dimensjonsløse faktoren $k$ ikke kan bestemmes med denne metoden.
6. Kontrollér ved å sette dimensjonene inn i sluttuttrykket.

Steg 5 er ikke en formalitet. På eksamen er det å skrive ut hva metoden ikke kan gi, en del av begrunnelsen sensor ser etter.

Utledningen steg for steg — pendelen

La oss ta nøkkelknippet fra innledningen. Vi vil finne svingetiden $T_p$ til en pendel med masse $m$ i en snor med lengde $\ell$ , i et tyngdefelt med tyngdeakselerasjon $g$ .

Steg 1 — ansatsen.
$T_p = k\, m^{\alpha}\, \ell^{\beta}\, g^{\gamma}$

Intuisjon: vi later som vi ikke aner hvordan formelen ser ut, men vi tør å tippe at den er et rent produkt av potenser. Det er en antakelse — og den holder overraskende ofte i mekanikk.

Steg 2 — dimensjonene.
$[T_p] = [T], \qquad [m] = [M], \qquad [\ell] = [L], \qquad [g] = [L][T]^{-2}$

Intuisjon: nå er all fysikken borte. Det som står igjen, er ren bokføring av masse, lengde og tid.

Steg 3 — homogenitetskravet.
$[T] = [M]^{\alpha}\,[L]^{\beta}\,\big([L][T]^{-2}\big)^{\gamma} = [M]^{\alpha}\,[L]^{\beta+\gamma}\,[T]^{-2\gamma}$

Sammenlign eksponentene grunnstørrelse for grunnstørrelse:

$[M]: \quad 0 = \alpha$
$[L]: \quad 0 = \beta + \gamma$
$[T]: \quad 1 = -2\gamma$

Intuisjon: venstre side er ren tid, så både masse- og lengdeeksponenten der er null. Det er de tre nullene og énerne som gir oss likningene.

Steg 4 — løs. Fra tidslikningen: $\gamma = -\tfrac12$ . Satt inn i lengdelikningen: $\beta = \tfrac12$ . Og masselikningen ga oss $\alpha = 0$ direkte.

Steg 5 — svaret.
$T_p \sim \sqrt{\frac{\ell}{g}}$

Intuisjon: $\alpha = 0$ er hele poenget — massen faller ut av seg selv. Vi trengte ikke vite noe om pendelfysikk for å se det. Det er ingen kombinasjon av kilogram, meter og sekund som gir et rent sekund og samtidig har masse i seg.

Steg 6 — kontroll. $\left[\sqrt{\ell/g}\right] = \sqrt{[L]/([L][T]^{-2})} = \sqrt{[T]^2} = [T]$ ✓

Den eksakte formelen for små utslag er $T_p = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ . Dimensjonsanalysen traff alt bortsett fra tallet $2\pi \approx 6{,}28$ — og det tallet finnes det ingen måte å hente ut av enheter alene.

✏️Eksempel 3: pendelen med tall, og hva $\alpha = 0$ er verdt

a) En pendel har snorlengde

\ell = 1{,}00\ \text{m}

. Bruk dimensjonsanalysens resultat

T_p \sim \sqrt{\ell/g}

til å anslå svingetiden, og sammenlign med den eksakte verdien

T_p = 2\pi\sqrt{\ell/g}

b) Hvor lang må snoren være for at svingetiden skal bli $1{,}00\ \text{s}$ ?

c) En student sier: «Formelen må være feil — en tung kule må da svinge saktere enn en lett.» Svar på innvendingen.

Metodevalg: vi bruker resultatet fra dimensjonsanalysen for skaleringen, og den eksakte formelen når vi trenger et tall. Poenget med a) er å se nøyaktig hva metoden ga oss, og hva den ikke ga.

a) Uten forfaktor:
$\sqrt{\frac{\ell}{g}} = \sqrt{\frac{1{,}00\ \text{m}}{9{,}81\ \text{m/s}^2}} = 0{,}319\ \text{s}$

Med den eksakte forfaktoren $2\pi$ :
$T_p = 2\pi \cdot 0{,}319\ \text{s} = 2{,}01\ \text{s}$

Dimensjonsanalysen bommet altså med en faktor $2\pi \approx 6{,}3$ — men den fant strukturen: kvadratrot, lengde i telleren, tyngdeakselerasjon i nevneren, ingen masse.

b) Løs den eksakte formelen for $\ell$ :
$\ell = \frac{g\,T_p^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81\ \text{m/s}^2 \cdot (1{,}00\ \text{s})^2}{4\pi^2} = 0{,}248\ \text{m} \approx 25\ \text{cm}$

Benevningskontroll: $\text{m/s}^2 \cdot \text{s}^2 = \text{m}$ ✓.

c) Innvendingen bygger på en riktig intuisjon (tunge ting er tregere å sette i bevegelse) som glemmer den andre halvparten: den kraften som driver pendelen tilbake, er også proporsjonal med massen. Tyngdekomponenten langs banen er $mg\sin\theta$ , og akselerasjonen blir derfor $a = g\sin\theta$ — massen forsvinner. Tregheten vokser og drivkraften vokser i takt.

Dimensjonsanalysen ser dette uten å kjenne fysikken: masse er den eneste av de tre størrelsene som inneholder $[M]$ , så hvis $[M]$ skal ha eksponent null i svaret, kan massen ikke være med i det hele tatt.

📝Oppgave 4

(Eksamensnær. Klassisk dimensjonsanalyse med tre gitte størrelser.)

En stram streng har strammekraft $S$ (en kraft) og masse per lengde $\mu = m/\ell$ . En bølge løper langs strengen med fart $v$ .

a) Finn dimensjonene til $S$ og $\mu$ .

b) Anta $v = k\,S^{\alpha}\mu^{\beta}$ og bestem $\alpha$ og $\beta$ ved dimensjonsanalyse.

c) En gitarstreng har $S = 100\ \text{N}$ og $\mu = 5{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{kg/m}$ . Anslå bølgefarten, og si tydelig hva anslaget ikke tar hensyn til.

Entydighetsbetingelsen for dimensjonsanalyse

[M]

✏️Eksempel 4: banefarten til en satellitt (eksamensnivå)

En satellitt går i sirkelbane rundt en planet med masse $M$ , i avstand $r$ fra planetens sentrum. Farten $v$ antas å avhenge av gravitasjonskonstanten $G$ , planetmassen $M$ og avstanden $r$ .

a) Bestem formen på $v$ ved dimensjonsanalyse.

b) Kontrollér at entydighetsbetingelsen er oppfylt.

c) Regn ut farten for en satellitt $300\ \text{km}$ over jordoverflaten. Bruk $M = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$ , jordradius $R = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}$ og $G = 6{,}674\cdot 10^{-11}\ \text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{s}^2)$ . Den eksakte forfaktoren er 1.

d) Hvor lang tid bruker satellitten på ett omløp?

Metodevalg: dette er den formen dimensjonsanalyse har hatt på avsluttende eksamen: den brukes til å utlede skjelettet, og deretter settes tall inn. Vi følger de seks stegene i oppskriften.

a) Steg 1 — ansats.
$v = k\,G^{\alpha}M^{\beta}r^{\gamma}$

Steg 2 — dimensjoner. Fra oppgave 1d har vi $[G] = [M]^{-1}[L]^{3}[T]^{-2}$ . Videre $[M] = [M]$ , $[r] = [L]$ og $[v] = [L][T]^{-1}$ .

Steg 3 — homogenitet.
$[L][T]^{-1} = \big([M]^{-1}[L]^{3}[T]^{-2}\big)^{\alpha}[M]^{\beta}[L]^{\gamma} = [M]^{-\alpha+\beta}\,[L]^{3\alpha+\gamma}\,[T]^{-2\alpha}$

$[M]: \quad 0 = -\alpha + \beta$
$[L]: \quad 1 = 3\alpha + \gamma$
$[T]: \quad -1 = -2\alpha$

Steg 4 — løs. $[T]$ -likningen gir $\alpha = \tfrac12$ . $[M]$ -likningen gir $\beta = \tfrac12$ . $[L]$ -likningen gir $\gamma = 1 - \tfrac32 = -\tfrac12$ .

Steg 5 — svar.
$v \sim \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Den dimensjonsløse faktoren $k$ kan ikke bestemmes av metoden. (Her er den tilfeldigvis 1, som oppgaven opplyser.)

Steg 6 — kontroll.
$\left[\sqrt{\frac{GM}{r}}\right] = \sqrt{\frac{[M]^{-1}[L]^{3}[T]^{-2}\cdot[M]}{[L]}} = \sqrt{[L]^{2}[T]^{-2}} = [L][T]^{-1} \;\checkmark$

b) Tre gitte størrelser ( $G$ , $M$ , $r$ ), og alle tre grunnstørrelsene $[M]$ , $[L]$ , $[T]$ opptrer. Tre likninger, tre ukjente, og likningssettet hadde nøyaktig én løsning. Entydig ✓

c) Avstanden fra sentrum er $r = R + h = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m} + 3{,}00\cdot 10^{5}\ \text{m} = 6{,}671\cdot 10^{6}\ \text{m}$ .

$v = \sqrt{\frac{6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{6{,}671\cdot 10^{6}}}\ \text{m/s} = \sqrt{5{,}973\cdot 10^{7}}\ \text{m/s} = 7{,}73\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

Altså $v \approx 7{,}7\ \text{km/s}$ , rettet tangentielt langs banen (vinkelrett på linja ut til planetsentrum).

Benevningskontroll: $\displaystyle \frac{\text{m}^3/(\text{kg}\cdot\text{s}^2)\cdot\text{kg}}{\text{m}} = \text{m}^2/\text{s}^2$ , rota gir $\text{m/s}$ ✓

d) Omkretsen av banen er $2\pi r$ , og med konstant fart:
$T_p = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 6{,}671\cdot 10^{6}\ \text{m}}{7{,}73\cdot 10^{3}\ \text{m/s}} = 5{,}42\cdot 10^{3}\ \text{s} \approx 90\ \text{min}$

Rimelighetsvurdering: en omløpstid på halvannen time for en lav bane rundt jorda stemmer godt med det man vet om romstasjoner. Det er slik en rimelighetsvurdering ser ut, og den er verdt poeng.

📝Oppgave 5

(Eksamensnær, sjanger K — gravitasjonsoppgaven, altså bevegelse i tyngdefeltet fra en stor masse.)

Unnslipningsfarten $v_u$ fra en planet er den minste starthastigheten et legeme må ha rett oppover for aldri å falle tilbake. Anta at den avhenger av gravitasjonskonstanten $G$ , planetmassen $M$ og planetradien $R$ .

a) Bestem formen på $v_u$ ved dimensjonsanalyse, og kontrollér entydighetsbetingelsen.

b) Den eksakte formelen har den dimensjonsløse faktoren $\sqrt{2}$ . Regn ut $v_u$ for jorda med $M = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$ og $R = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}$ .

c) Forklar i to setninger hvorfor svaret ditt i a) ikke avhenger av massen til legemet som skytes opp.

Den dimensjonsløse forfaktoren

2\pi

Skaleringslov

T_p \sim \sqrt{\ell}

📝Oppgave 6

(Krevende. Denne oppgaven har ikke ett svar — det er poenget.)

En liten kule med radius $r$ faller gjennom en tyktflytende væske og når til slutt en konstant fart $v_T$ . En student antar at $v_T$ avhenger av kuleradien $r$ , tyngdeakselerasjonen $g$ og en materialkonstant $b$ med enhet $\text{s}^{-1}$ .

a) Sett opp homogenitetslikningene for ansatsen $v_T = k\,r^{\alpha}g^{\beta}b^{\gamma}$ .

b) Vis at likningssettet ikke har entydig løsning, og forklar hvorfor ut fra entydighetsbetingelsen.

c) Finn to konkrete kombinasjoner av $r$ , $g$ og $b$ som begge har enhet $\text{m/s}$ .

d) Hva må studenten gjøre for å komme videre?

Løkke 3 — størrelsesorden og tierpotenser (~10 min)

Dimensjonsanalyse forteller deg hvilken form et svar har. Størrelsesorden forteller deg hvor stort det er — grovt, men raskt. De to hører sammen, og størrelsesorden er direkte forberedelse til Fermi-estimering i kap. 1.3.

Standardform (tierpotensform)

a \cdot 10^{n}, \qquad 1 \le a < 10, \qquad n \text{ et helt tall}

Størrelsesorden

n

Gjeldende siffer

23{,}6\ \text{m/s}

✏️Eksempel 5: regning i tierpotenser

Regn ut, uten kalkulator, og oppgi svaret på standardform med to gjeldende siffer:

a) $\dfrac{6\cdot 10^{24}\ \text{kg}}{1{,}1\cdot 10^{21}\ \text{m}^3}$ (jordas masse delt på jordas volum — altså middeltettheten)

b) $\sqrt{4{,}0\cdot 10^{7}\ \text{m}^2/\text{s}^2}$

c) Hvor mange størrelsesordener større er jordas masse enn massen til en person på $70\ \text{kg}$ ?

Metodevalg: vi skiller sifrene fra tierpotensene, regner hver del for seg, og setter sammen til slutt. Det er nettopp denne oppdelingen som gjør hoderegning i tierpotenser mulig.

a) Sifrene: $6/1{,}1 = 5{,}45\ldots \approx 5{,}5$ . Tierpotensene: $10^{24}/10^{21} = 10^{3}$ . Enhetene: $\text{kg}/\text{m}^3$ .

$\rho \approx 5{,}5\cdot 10^{3}\ \text{kg/m}^3$

Rimelighetsvurdering: vann har $1{,}0\cdot 10^{3}\ \text{kg/m}^3$ og jern rundt $7{,}9\cdot 10^{3}\ \text{kg/m}^3$ . At jorda i snitt er drøyt fem ganger tettere enn vann, og litt lettere enn rent jern, passer med en steinmantel rundt en jernkjerne.

b) Skriv om slik at eksponenten blir et partall — da blir kvadratrota et helt tierpotenstall:
$\sqrt{4{,}0\cdot 10^{7}} = \sqrt{40\cdot 10^{6}} = \sqrt{40}\cdot 10^{3} = 6{,}3\cdot 10^{3}$
Med enhet: $6{,}3\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$ .

Intuisjon: $\sqrt{10^{n}} = 10^{n/2}$ , så oddetallseksponenter må «låne» en tier fra sifferdelen først.

c) Jorda: størrelsesorden $24$ . Personen: $70 = 7{,}0\cdot 10^{1}$ , altså størrelsesorden $1$ . Differansen er $24 - 1 = 23$ .

Jordas masse er altså rundt 23 størrelsesordener — en faktor omtrent $10^{23}$ — større enn en persons.

📝Oppgave 7

(Innøving i tierpotensregning. Ingen kalkulator.)

a) Skriv $0{,}00047$ og $384\,000\,000$ på standardform, og oppgi størrelsesorden til hver.

b) Regn ut $\dfrac{(3{,}0\cdot 10^{8})^2}{6{,}0\cdot 10^{5}}$ og oppgi svaret på standardform med to gjeldende siffer.

c) Lysfarten er $3{,}0\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ og avstanden til månen er $3{,}84\cdot 10^{8}\ \text{m}$ . Hvor lang tid bruker lyset dit? Oppgi svaret med to gjeldende siffer og med enhet.

d) En sirkelbane har radius $r$ . Med $v \sim r^{-1/2}$ fra eksempel 4: hva skjer med banefarten hvis radien nidobles?

📝Oppgave 8

Sjanger J

a) Forklar hvorfor dimensjonsanalyse aldri kan gi faktoren

2\pi

i pendelformelen

T_p = 2\pi\sqrt{\ell/g}

b) En medstudent sier: «Uttrykket mitt bestod benevningskontrollen, så det må være riktig.» Er det et gyldig resonnement? Begrunn.

c) Gi ett argument for hvorfor det likevel lønner seg å bruke tid på benevningskontroll under en fire timers eksamen med tidspress.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Enhet mot dimensjon — skillet

[L]

Ansats

X

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.